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- 2021-05-13 发布
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高考数学考点归纳之 函数的单调性与最值
一、基础知识
1．增函数、减函数
定义：设函数 f(x)的定义域为 I：
(1)增函数：如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数．
增(减)函数定义中的 x1，x2的三个特征
一是任意性；二是有大小，即 x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．
2．单调性、单调区间
若函数 y＝f(x)在区间 D上是增函数或减函数，则称函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)
单调性，区间 D叫做函数 y＝f(x)的单调区间.
有关单调区间的两个防范
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用
“逗号”或“和”连接．
3．函数的最值
设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足：
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M或 f(x)≥M.
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M.
那么，我们称 M是函数 y＝f(x)的最大值或最小值．
函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定
在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、常用结论
在公共定义域内：
(1)函数 f(x)单调递增，g(x)单调递增，则 f(x)＋g(x)是增函数；
(2)函数 f(x)单调递减，g(x)单调递减，则 f(x)＋g(x)是减函数；
(3)函数 f(x)单调递增，g(x)单调递减，则 f(x)－g(x)是增函数；
(4)函数 f(x)单调递减，g(x)单调递增，则 f(x)－g(x)是减函数；
(5)若 k>0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k<0，则 kf(x)与 f(x)单调性相反；
(6)函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 1
fx
的单调性相反；
(7)复合函数 y＝f[g(x)]的单调性与 y＝f(u)和 u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
考点一 确定函数的单调性区间)
[典例] (1)求函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
(2)试讨论函数 f(x)＝ ax
x－1
(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
[解] (1)易知 f(x)＝
－x2＋2x＋1，x≥0，
－x2－2x＋1，x<0
＝
－x－12＋2，x≥0，
－x＋12＋2，x<0.
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，
单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)法一：定义法
设－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当 a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，
函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；
当 a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)0时，f′(x)<0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；
当 a<0时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递增．
[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法
(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．
(2)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的上升
或下降确定单调性．
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．
(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复
合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．
[题组训练]
1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且 x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是( )
A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝1
x
－x D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选 C 由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，
f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于 f(x)＝1
x
－x，因为 y＝1
x
与 y＝－
x在(0，＋∞)上单调递减，因此 f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
2．函数 f(x)＝log1
2
(x2－4)的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
解析：选 D 令 t＝x2－4，则 y＝log1
2
t.因为 y＝log1
2
t在定义域上是减函数，所以求原函
数的单调递增区间，即求函数 t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间
为(－∞，－2)．
3．判断函数 f(x)＝x＋a
x
(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．
解：设 x1，x2是任意两个正数，且 x10，即 f(x1)>f(x2)，
所以函数 f(x)在(0， a ]上是减函数；
当 a≤x1a，x1－x2<0，
所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)0)在(0， a ]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数．
考点二 求函数的值域最值)
[典例] (1)(2019•深圳调研)函数 y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
(2)若函数 f(x)＝－
a
x
＋b(a>0)在
1
2
，2
上的值域为
1
2
，2
，则 a＝________，b＝________.
(3)函数 f(x)＝
－x2－4x，x≤0，
sin x，x>0
的最大值为________．
[解析] (1)图象法
函数 y＝
－2x＋1，x≤－1，
3，－10)在
1
2
，2
上是增函数，
∴f(x)min＝f
1
2 ＝
1
2
，f(x)max＝f(2)＝2.
即
－2a＋b＝1
2
，
－
a
2
＋b＝2，
解得 a＝1，b＝5
2
.
(3)当 x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时 f(x)在 x＝－2处
取得最大值，且 f(－2)＝4；当 x>0时，f(x)＝sin x，此时 f(x)在区间(0，＋∞)上的最大值为 1.
综上所述，函数 f(x)的最大值为 4.
[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 5
2
(3)4
[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．
(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数
的最大值，最小的作为分段函数的最小值．
[题组训练]
1．函数 f(x)＝x2＋4
x
的值域为________．
解析：当 x>0时，f(x)＝x＋4
x
≥4，
当且仅当 x＝2时取等号；
当 x<0时，－x＋
－
4
x ≥4，
即 f(x)＝x＋4
x
≤－4，
当且仅当 x＝－2取等号，
所以函数 f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)
2．若 x∈
－
π
6
，
2π
3 ，则函数 y＝4sin2x－12sin x－1 的最大值为________，最小值为
________．
解析：令 t＝sin x，因为 x∈
－
π
6
，
2π
3 ，
所以 t∈
－
1
2
，1
，y＝f(t)＝4t2－12t－1，
因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为 t＝3
2
，所以当 t∈
－
1
2
，1
时，函数 f(t)
单调递减，
所以当 t＝－
1
2
时，ymax＝6；
当 t＝1时，ymin＝－9.
答案：6 －9
3．已知 f(x)＝x2＋2x＋a
x
，x∈[1，＋∞)，且 a≤1.若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，
则实数 a的取值范围是________．
解析：对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立等价于 x2＋2x＋a>0 在 x∈[1，＋∞)上恒成
立，即 a>－x2－2x在 x∈[1，＋∞)上恒成立．
又函数 y＝－x2－2x在[1，＋∞)上单调递减，
∴(－x2－2x)max＝－3，故 a>－3，
又∵a≤1，∴－3f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)f(3)>f(2)，即 f(π)>f(－3)>f(－2)．
[答案] A
[解题技法] 比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化
到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
考法(二) 解函数不等式
[典例] 设函数 f(x)＝
2x，x<2，
x2，x≥2.
若 f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数 a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，2]
C．[2,6] D．[2，＋∞)
[解析] 易知函数 f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，
∴a＋1≥2a－1，解得 a≤2.故实数 a的取值范围是(－∞，2]．
[答案] B
[解题技法] 求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为 f(g(x))>f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉
“f”，得到一般的不等式 g(x)>h(x)(或 g(x)1.
∵函数 f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－
a
x1
＋
a
2
－
x2－a
x2
＋
a
2
＝(x1－x2)
1＋ a
x1x2 <0.
∵x1－x2<0，∴1＋ a
x1x2
>0，即 a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞)．
[答案] [－1，＋∞)
[解题技法]
利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单
调区间比较求参数；
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
[题组训练]
1．已知函数 f(x)的图象向左平移 1个单位后关于 y轴对称，当 x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2
－x1)<0恒成立，设 a＝f
－
1
2 ，b＝f(2)，c＝f(3)，则 a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
解析：选 D 由于函数 f(x)的图象向左平移 1个单位后得到的图象关于 y轴对称，故函
数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，所以 a＝f
－
1
2 ＝f
5
2 .当 x2>x1>1 时，[f(x2)－f(x1)](x2－
x1)<0恒成立，等价于函数 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以 b>a>c.
2．已知函数 f(x)＝
ax2－x－1
4
，x≤1，
logax－1，x>1
是 R上的单调函数，则实数 a的取值范围是
( )
A.
1
4
，
1
2 B.
1
4
，
1
2
C.
0，1
2 D.
1
2
，1
解析：选 B 由对数函数的定义可得 a>0，且 a≠1.
又函数 f(x)在 R上单调，而二次函数 y＝ax2－x－1
4
的图象开口向上，
所以函数 f(x)在 R上单调递减，
故有
00时，f(x)＝3－x为减函数；当 x∈
0，3
2 时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当 x∈
3
2
，＋∞
时，f(x)＝x2－3x为增函数；当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－
1
x＋1
为增函数；当
x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
2．若函数 f(x)＝ax＋1 在 R上单调递减，则函数 g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是
( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，4)
解析：选 B 因为 f(x)＝ax＋1在 R上单调递减，所以 a<0.
而 g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a.
因为 a<0，所以 g(x)在(－∞，2)上单调递增．
3．已知函数 f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 f(2x
－1)＜f
1
3 的 x的取值范围是( )
A.
1
3
，
2
3 B.
1
3
，
2
3
C.
1
2
，
2
3 D.
1
2
，
2
3
解析：选 D 因为函数 f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足 f(2x－1)＜f
1
3 .
所以 0≤2x－1＜1
3
，解得
1
2
≤x＜2
3
.
4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当 a≥b时，a⊕b＝a；当 a1 是 R上的增函数，则实数 a的取值范围是
( )
A．[－3,0) B．(－∞，－2]
C．[－3，－2] D．(－∞，0)
解析：选 C 若 f(x)是 R上的增函数，则应满足
－
a
2
≥1，
a<0，
－12－a×1－5≤a
1
，
解得－3≤a≤
－2.
7．已知函数 f(x)＝ x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为________．
解析：设 t＝x2－2x－3，由 t≥0，即 x2－2x－3≥0，解得 x≤－1或 x≥3，所以函数 f(x)
的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数 t＝x2－2x－3的图象的对称轴为 x＝1，所以
函数 t＝x2－2x－3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数 f(x)的单调
递增区间为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
8．函数 f(x)＝
1
x
，x≥1，
－x2＋2，x<1
的最大值为________．
解析：当 x≥1时，函数 f(x)＝1
x
为减函数，所以 f(x)在 x＝1处取得最大值，为 f(1)＝1；
当 x<1时，易知函数 f(x)＝－x2＋2在 x＝0处取得最大值，为 f(0)＝2.故函数 f(x)的最大值为
2.
答案：2
9．若函数 f(x)＝1
x
在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为
3
4
，则 a＝________.
解析：由 f(x)＝1
x
的图象知，f(x)＝1
x
在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a]⊆(0，＋∞)，
∴f(x)＝1
x
在[2，a]上也是减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝1
2
，f(x)min＝f(a)＝1
a
，
∴
1
2
＋
1
a
＝
3
4
，∴a＝4.
答案：4
10．(2019·甘肃会宁联考)若 f(x)＝x＋a－1
x＋2
在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数 a的
取值范围是________．
解析：f(x)＝x＋a－1
x＋2
＝
x＋2＋a－3
x＋2
＝1＋a－3
x＋2
，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，
需使 a－3<0，解得 a<3.
答案：(－∞，3)
11．已知函数 f(x)＝1
a
－
1
x
(a＞0，x＞0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若 f(x)在
1
2
，2
上的值域是
1
2
，2
，求 a的值．
解：(1)证明：任取 x1＞x2＞0，
则 f(x1)－f(x2)＝1
a
－
1
x1
－
1
a
＋
1
x2
＝
x1－x2
x1x2
，
∵x1＞x2＞0，
∴x1－x2＞0，x1x2＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
即 f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知，f(x)在
1
2
，2
上是增函数，
∴f
1
2 ＝
1
a
－2＝1
2
，f(2)＝1
a
－
1
2
＝2，
解得 a＝2
5
.
12．已知 f(x)＝ x
x－a
(x≠a)．
(1)若 a＝－2，试证 f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若 a＞0且 f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求 a的取值范围．
解：(1)证明：当 a＝－2时，f(x)＝ x
x＋2
.
任取 x1，x2∈(－∞，－2)，且 x1＜x2，
则 f(x1)－f(x2)＝
x1
x1＋2
－
x2
x2＋2
＝
2x1－x2
x1＋2x2＋2
.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，
所以 f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)任取 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1＜x2，
则 f(x1)－f(x2)＝
x1
x1－a
－
x2
x2－a
＝
ax2－x1
x1－ax2－a
.
因为 a＞0，x2－x1＞0，又由题意知 f(x1)－f(x2)＞0，
所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以 a≤1.
所以 0＜a≤1.
所以 a的取值范围为(0,1]．
B级
1．若 f(x)＝－x2＋4mx与 g(x)＝ 2m
x＋1
在区间[2,4]上都是减函数，则 m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(0,1] B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0，＋∞) D．(0,1]
解析：选 D 函数 f(x)＝－x2＋4mx的图象开口向下，且以直线 x＝2m为对称轴，若在
区间[2,4]上是减函数，则 2m≤2，解得 m≤1；g(x)＝ 2m
x＋1
的图象由 y＝2m
x
的图象向左平移一
个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则 2m>0，解得 m>0.综上可得，m的取值范围
是(0,1]．
2．已知函数 f(x)＝ln x＋x，若 f(a2－a)>f(a＋3)，则正数 a的取值范围是________．
解析：因为 f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上是增函数，
所以
a2－a>a＋3，
a2－a>0，
a＋3>0，
解得－33.
又 a>0，所以 a>3.
答案：(3，＋∞)
3．已知定义在 R上的函数 f(x)满足：
①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当 x>0时，f(x)>－1.
(1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R上是单调增函数;
(2)若 f(1)＝1，解关于 x的不等式 f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
解：(1)令 x＝y＝0，得 f(0)＝－1.
在 R上任取 x1>x2，则 x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.
又 f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，
所以函数 f(x)在 R上是单调增函数．
(2)由 f(1)＝1，得 f(2)＝3，f(3)＝5.
由 f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得 f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函数 f(x)在 R上是增函数，故 x2＋x＋1>3，
解得 x<－2或 x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或 x>1}．
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