2014年版高考数学理32数学归纳法二轮考点专练 3页

考点32 数学归纳法 一、填空题 ‎1. （2013·湖北高考理科·Ｔ14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为，记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：‎ 三角形数 N(n,3)= ，‎ 正方形数 N(n,4)=n2，‎ 五边形数 N(n,5)= ，‎ 六边形数 N(n,6)=，‎ ‎………………………………………‎ 可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)= ‎ ‎【解题指南】归纳出结论，代入数值计算。‎ ‎【解析】‎ 三角形数 ，‎ ‎ 正方形数 =，‎ ‎ 五边形数 =，‎ ‎ 六边形数 ==， ‎ ‎ ………………………………………‎ ‎ 推测k边形 ‎.‎ 所以.‎ ‎【答案】1000‎ 二、解答题 ‎2.（2013·江苏高考数学科·Ｔ23）设数列1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，………，…,即当时。记.对于，定义集合Pl={n|Sn为an的整数倍,,且1≤n≤}‎ ‎(1)求P11中元素个数.‎ ‎(2)求集合P2000中元素个数.‎ ‎【解题指南】主要考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识, 考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力 ‎【解析】由数列的定义得 = 1, = - 2, = - 2, = 3, = 3, = 3, = - 4, = -4, = - 4, = - 4, = 5, 所以 ‎= 1, = - 1, = - 3, = 0, = 3, = 6, = 2, = -2, = -6, = -10, = -5, 从而= ，= 0,= , = 2, = -,所以集合中元素的个数为5.‎ ‎（2）先证:Si(2i+1)= -i(2i+1)(iN*).‎ 事实上, ①当 i = 1 时, Si(2i+1)= S3 = -3, -i(2i+1)= -3, 故原等式成立;‎ ‎②假设 i =m 时成立, 即 Sm(2m+1)= -m(2m+1), 则 i =m+1 时, S(m+1)(2m+3) = Sm(2m+1) + (2m+1)2-(2m+2)2= -m(2m+1)-4m-3 = -(2m2+5m+3)= -(m+1)(2m+3)‎ 综合①②可得 Si(2i+1)= -i(2i+1). ‎ 于是S(i+1)(2i+1)= Si(2i+1) +(2i+1)2= -i(2i+1)+(2i+1)2= (2i+1)(i+1).‎ 由上述内容可知 Si(2i+1)是 2i+1 的倍数, 而 ai(2i+1)+j= 2i+1( j = 1, 2, …, 2i+1),‎ 所以Si(2i+1)+j=Si(2i+1) +j(2i+1)是 ai(2i+1)+j(j = 1, 2, …, 2i+1)的倍数. 又 S(i+1)(2i+1) = (i+1)(2i+1)不是 2i + 2 的倍数, 而 a(i+1)(2i+1)+j= - (2i + 2) (j =1, 2, …, 2i+2),‎ 所以S(i+1)(2i+1)+j=S(i+1)(2i+1)-j(2i+2)=(2i+1)(i+1)-j(2i+2)不是a(i+1)(2i+1)+j ，(j =1, 2, …, 2i+2)的倍数, 故当 =i(2i+1)时, 集合中元素的个数为1+3+…+(2i-1)=i2, 于是=i(2i+1)+j (1j2i+1)时, 集合中元素的个数为i2+j.‎ 又2000 = 31(231+1)+47, 故集合P2000中元素的个数为312+47=1 008.‎