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- 2021-05-13 发布
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专题05 平面向量
一.基础题组
1.【2006天津,理12】设向量与的夹角为,且,,则__________.
【答案】
【解析】设向量与的夹角为且∴ ,则
2.【2007天津,理10】设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解不等式得因而解得.故选A
3.【2007天津,理15】如图,在中,是边上一点,则.
B
A
C
D
【答案】
【解析】
由余弦定理得可得,又夹角大小为,,所以.
4.【2008天津,理14】如图,在平行四边形中,,则 .
【答案】3
5.【2009天津,理15】在四边形ABCD中,,,则四边形ABCD的面积为_________________.
【答案】
【解析】由于,则四边形ABCD是平行四边形且,又由,得BC、CD(BA)与BD三者之间的边长之比为1∶1∶,那么可知∠DAB=120°,所以AB边上的高为.所以四边形ABCD的面积为.
6.【2010天津,理15】如图,在△ABC中,AD⊥AB,,||=1,则=__________.
【答案】
【解析】
解析:∵
∴·=(1-)+ ]·=(1-)·+ = =.
7.【2012天津,理7】已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足=λ,=(1-λ) ,λ∈R.若,则λ=( )
A. B. C. D.
【答案】A
即(2λ-1)2=0,∴.
8.【2013天津,理12】在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为__________.
【答案】
【解析】如图所示,在平行四边形ABCD中,=+,=+=+.
所以·=(+)·=||2+||2+·=||2+||+1=1,解方程得||=(舍去||=0),所以线段AB的长为.
9. 【2017天津,理13】在中,,,.若,
,且,则的值为___________
【答案】
【考点】向量的数量积
【名师点睛】根据平面向量基本定理,利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量,利用向量的定比分点公式表示向量,则可获解.本题中已知模和夹角,作为基底易于计算数量积.
二.能力题组
1.【2005天津,理14】在直角坐标系xOy中,已知点A (0,1)和点B (3,4),若点C在∠AOB的平分线上且| OC | = 2,则OC = __________。
【答案】
【解析】设,则的终边在第2象限,即且,
又
由 ,得
所以:,
得:
本题答案填写:
2.【2014天津,理8】已知菱形的边长为2,,点分别在边上,,.若,,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C.
【解析】
考点:1.平面向量共线充要条件;2.向量的数量积运算.
3. 【2015高考天津,理14】在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为,,
,,
当且仅当即时的最小值为.
【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.
三.拔高题组
1.【2011天津,理14】已知直角梯形中,//,,,是腰上的动点,则的最小值为____________.
【答案】5
A
B
C
D
o
x
y
2. 【2016高考天津理数】已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则的值为
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】
试题分析:设,,∴,,
,∴.
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积问题,一般有两个思路,一是建立直角坐标系,利用坐标研究向量数量积;二是利用一组基底表示所有向量,两种实质相同,坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”,实质是将“形”化为“数”.向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来.