高考试题——数学理重庆卷 7页

‎ ‎ ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学 一. 填空题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分。在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1.在等差数列中，,则的前5项和=‎ ‎ A.7 B.15 C.20 D.25 ‎ 2. 不等式的解集为 ‎ A. B. C. D. ‎ 3. 对任意的实数k，直线y=kx+1与圆的位置关系一定是 A. 相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 4. 的展开式中常数项为 A. B. C. D.105‎ ‎5、设是方程的两个根，则的值为 ‎（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3‎ ‎6、设R，向量，且，则 ‎（A） （B） （C） （D）10‎ ‎7、已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为[0，1]上的增函数”是“为[3，4]上的减函数”的 ‎（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件 ‎ ‎（C）必要而不充分的条件 （D）充要条件 ‎8、设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 ‎（A）函数有极大值和极小值 ‎ ‎（B）函数有极大值和极小值 ‎ ‎（C）函数有极大值和极小值 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（D）函数有极大值和极小值 ‎9、设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎10、设平面点集，则所表示的平面图形的面积为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案分别填写在答题卡相应位置上 ‎11、若，其中为虚数单位，则 ；‎ ‎12、 。‎ ‎13、设的内角的对边分别为，且则 ‎ ‎14、过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则 ‎= 。‎ ‎15、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.‎ 三 解答题：本大题共6小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）‎ 设其中，曲线在点处的切线垂直于轴.‎ ‎（Ⅰ） 求的值；‎ ‎（Ⅱ） 求函数的极值.‎ ‎17、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）‎ 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.‎ ‎（Ⅰ） 求甲获胜的概率；‎ ‎（Ⅱ） 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18、（本小题满分13分（Ⅰ）小问8分（Ⅱ）小问5分）‎ 设，其中 ‎（Ⅰ）求函数 的值域 ‎（Ⅱ）若在区间上为增函数，求 的最大值。‎ ‎19、（本小题满分12分（Ⅰ）小问4分（Ⅱ）小问8分）‎ ‎ 如图，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点 ‎（Ⅰ）求点C到平面 的距离;‎ ‎（Ⅱ）若,求二面角 的平面角的余弦值。‎ ‎20、（本小题满分12分（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分）‎ ‎ 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为，线段的中点分别为，且△ 是面积为4的直角三角形。‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过做直线交椭圆于P，Q两点，使，求直线的方程 ‎21、（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分。）‎ ‎ 设数列的前项和满足，其中。‎ ‎ （I）求证：是首项为1的等比数列；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件。‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ B A C B A B D D A D ‎11、4 12、 13、 14、 15、‎ 三、解答题：‎ ‎16：解：（1）因，故 由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即，‎ 从而，解得 ‎（2）由（1）知，‎ 令，解得（因不在定义域内，舍去），‎ 当时，，故在上为减函数 当时，，故在上为增函数；‎ 故在处取得极小值。‎ ‎17、解：设分别表示甲、乙在第次投篮投中，则 ‎，， ‎ ‎（1）记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知，‎ ‎（2）的所有可能为：‎ 由独立性知：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综上知，有分布列 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 从而，（次）‎ ‎18、解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因，所以函数的值域为 ‎（2）因在每个闭区间上为增函数，故在每个闭区间上为增函数。‎ 依题意知对某个成立，此时必有，于是 ‎，解得，故的最大值为。‎ ‎19、解：（1）由,为的中点，得，又，故,所以点到平面的距离为 ‎(2)如图，取为的中点，连结,则,又由（1）知，故，所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 为所求的二面角的平面角。‎ 因为在面上的射影，又已知，由三垂线定理的逆定理得，从而都与互余，因此，所以，因此，,即,得。‎ 从而,所以，在中，‎ ‎20、解：设所求椭圆的标准方程为，右焦点为。‎ ‎ 因是直角三角形，又,故为直角，因此,得。‎ 结合得，故，所以离心率。‎ ‎ 在中，，故 由题设条件，得，从而。‎ 因此所求椭圆的标准方程为：‎ ‎（2）由（1）知，由题意知直线的倾斜角不为0，故可设直线的方程为：，代入椭圆方程得，‎ ‎ 设，则是上面方程的两根，因此 ‎,‎ 又，所以 ‎ ‎ 由,得,即，解得，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：和 21、 ‎（1）证明：由，得，即。‎ ‎ 因，故，得，又由题设条件知，‎ ‎ 两式相减得，即，由，知，因此 ‎ 综上，对所有成立，从而是首项为1，公比为的等比数列。‎ （2） 当或时，显然，等号成立。‎ ‎ 设，且，由（1）知，，，所以要证的不等式化为：‎ 即证：‎ 当时，上面不等式的等号成立。‎ 当时，与，（）同为负；‎ 当时， 与，（）同为正； ‎ 因此当且时，总有 （）（）>0,即 ‎，（）。‎ 上面不等式对从1到求和得，‎ 由此得 综上，当且时，有，当且仅当或时等号成立。‎ ‎ ‎