上海市高考数学模拟试卷7 7页

‎2013学年上海高三第二学期期初考试(数学）‎ ‎（满分：150分，考试时间：120分钟）‎ 考生注意：‎ ‎1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题纸相应位置填写清楚；‎ ‎2．本试卷共三个大题，23小题；‎ ‎3．请考生用钢笔或圆珠笔将答案填写在答题纸的相应位置上，解答题如无特别说明必须写出解体步骤．‎ 一、填空题(本大题满分56分) 本大题共14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1．已知，则 ▲ ‎ ‎2.设（i为虚数单位），则 ▲ ‎ ‎3.函数的最小正周期为 ▲ ‎ ‎4.若不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是 ▲ ‎ ‎5.已知角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边经过点， 的值为 ▲ ‎ ‎6.数列 的第100项是 ▲ ‎ ‎7.设 定义，则等于 ▲ ‎ ‎8.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：关于直线l：对称的圆C2的方程为 ▲ ‎ 9. 已知平面向量，若，则 ▲ ‎ ‎10.设，行列式中第3行第2列的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则　 ▲ ‎ ‎11.已知集合，．设集合同时满足下列三个条件：‎ ‎ ①；②若，则；‎ ‎③若，则．‎ 当时，满足条件的集合的个数为　 ▲ ‎ ‎12.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.‎ ‎ 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 ▲ 小时后，学生才能回到教室. ‎ ‎13. 已知数列满足设，则数列的通项公式为 ▲ ‎ ‎14.已知是函数图象上的任意一点，该图象的两个端点， 点满足，（其中是轴上的单位向量），若(为常数)在区间上恒成立，则称在区间上具有 “性质”.现有函数：‎ ‎①; ②； ③； ④.‎ 则在区间上具有“性质”的函数为 ▲ ‎ 二、选择题(本大题满分20分) 本大题共4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15．已知，且，则下列不等式中不正确的是 ‎ A. B. C. D.‎ 16. 为了得到的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度或者向右平移个单位长度，和均为正数，则的最小值为 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎17.设的内角所对的边为；则下列命题正确的是 ①若；则 ②若；则 ③若；则 ④若；则 A.②③④ B.①②③ C.①②④ D. ①③④ ‎ ‎18.关于的方程，给出下列四个命题：‎ ‎①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；‎ ‎②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；‎ ‎③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；‎ ‎④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；‎ 其中假命题的个数是 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 三、解答题(本大题满分74分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ ‎19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.‎ ‎ 在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设. ‎ （1） 求的值；‎ ‎ （2）设是上的任意一点，求到平面的 ‎ 距离.‎ ‎20．(本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分8分,第3小题满分4分 ‎ 已知：,‎ ‎ 即 ‎（1）请利用已知的结论证明：‎ ‎（2）请你把（2）的结论推广到更一般的情形，使之成为推广后的特例，并加以证明 ‎（3）化简．‎ ‎21．(本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图，已知椭圆C：＋y2＝1，A、B是 四条直线x＝±2，y＝±1所围成的两个顶点．‎ (1) 设P是椭圆C上任意一点，若 ＝m＋n，求证：动点Q(m，n)‎ 在定圆上运动，并求出定圆的方程；‎ ‎(2)若M、N是椭圆C上两上动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由． ‎ ‎22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.‎ 设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值. （1）若，求； （2）若，求数列的前2m项和公式； （3）是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围；如果不存在，请说明理由 ‎23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ ‎ 对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数. ‎ ‎（1）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；‎ 第一组：；‎ 第二组：；‎ ‎（2）设，生成函数.若不等式 在上有解，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设，取，生成函数图像的最低点坐标为. 若对于任意正实数且.试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由.‎ 参考答案 一、填空题(本大题满分56分) 本大题共14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1． 2. 3. 4. 5.‎ ‎6. 14 7. 8. 9. 10.‎ ‎11. ‎12. 0.6‎ 13.  14.①③④ ‎ 二、 选择题(本大题满分20分) 本大题共4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15．D 16.A 17.B 18. A 三、解答题(本大题满分74分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.‎ ‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ （1），‎ 就是异面直线与所成的角，‎ 即， ‎ 又连接，，则 为等边三角形， ‎ 由，，‎ ‎。‎ ‎（2）易知平面，又是上的任意一点，‎ 所以点到平面的距离等于点到平面的距离。‎ 设其为，连接，‎ 则由三棱锥的体积等于三棱锥的体积，求，‎ 的面积，的面积，‎ 所以，即到平面的距离等于。‎ ‎20．(本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分8分,第3小题满分4分 ‎（1）.‎ ‎（2）一般地，‎ ‎=（）。‎ 证明:,‎ ‎,‎ 以此类推得=（）‎ ‎（3）‎ ‎=‎ ‎21．(本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ‎ ‎(1)证明易求A(2,1)，B(－2,1)．‎ ‎ 设P(x0，y0)，则＋y＝1.由＝m＋n，得 ‎ 所以＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝.故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝上．‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝－.‎ ‎ 平方得xx＝16yy＝(4－x)(4－x)，即x＋x＝4. ‎ ‎ 因为直线MN的方程为(x2－x1)x－(y2－y1)y＋x1y2－x2y1＝0，‎ ‎ 所以O到直线MN的距离为d＝， ‎ ‎ 所以△OMN的面积S＝MN·d＝|x1y2－x2y1|＝ ＝‎ ＝＝1.故△OMN的面积为定值1. ‎ ‎22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.‎ ‎（1）由题意，得，解，得 ‎ ∴成立的所有n中的最小整数为，即. （2）由题意，得， 对于正整数，由，得. 根据的定义可知 当时，；当时，. ∴ .‎ ‎（3）假设存在和满足条件，由不等式及得. ∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有 ，即对任意的正整数m都成立. 当（或）时，得（或）， 这与上述结论矛盾！ 当，即时，得，解得. ∴ 存在和，使得； 存在和的取值范围分别是，. ‎ ‎23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ ‎（1）①‎ 所以是的生成函数 ‎② 设，即，‎ 则，该方程组无解.所以不是的生成函数. ‎ ‎（2） ‎ 若不等式在上有解， ‎ ‎，‎ 即 设，则，， ‎ ‎，故，. ‎ ‎ （3）由题意，得，则 ‎，解得，所以 ‎ 假设存在最大的常数，使恒成立.‎ 于是设 ‎= ‎ ‎ ‎ 令，则，即 ‎ 设在上单调递减， ‎ ‎，故存在最大的常数