2014年高考理科数学试题及答案-全国卷2 12页

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）‎ 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知全集，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 设复数z满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）‎ A．若则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎5. 设是非零向量，学科 网已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）‎ A．144 B．120 C．72 D．24‎ ‎7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）‎ A．在区间上单调递减 ‎ B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 ‎ D．在区间上单调递增 ‎10. 已知点在抛物线C：的准线上，学 科网过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 已知定义在上的函数满足：‎ ‎①；‎ ‎②对所有，且，有.‎ 若对所有，，则k的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 执行右侧的程序框图，若输入，则输出 . ‎ ‎14. 正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是 ‎ ‎.‎ ‎15. 已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 . ‎ ‎16. 对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：‎ ‎（1）a和c的值；‎ ‎（2）的值.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：‎ 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.‎ ‎（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；‎ ‎（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，和所在平面互相垂直，且 ‎，，E、F分别为AC、DC的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数，.‎ 证明：（1）存在唯一，使；‎ ‎（2）存在唯一，使，且对（1）中的.‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.‎ ‎（1）求证：AB为圆的直径；‎ ‎（2）若AC=BD，求证：AB=ED.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎（1）写出C的参数方程；‎ ‎（2）设直线与C的交点为 ‎，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数，，记的解集为M，的解集为N.‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）当时，证明：.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.D 2.A 3.C 4.B 5.A 6.D ‎7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.B 二、填空题 ‎13. 14. 15. 12 16. -2‎ 三、解答题 ‎17.解：‎ ‎（Ⅰ）由得，又，所以，‎ 由余弦定理，得 又，所以 解，得或 因为，所以 ‎（Ⅱ）在中，‎ 由正弦定理，得 因，所以C为锐角，因此 于是 ‎18.解：‎ ‎（Ⅰ）设表示事件“日销售量不低于100个”， 表示事件“日销售量低于50个”， 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”，因此 ‎（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.064‎ ‎0.288‎ ‎0.432‎ ‎0.216‎ 因为（3，0.6），所以期望，方差 ‎19.（Ⅰ）证明：‎ 方法一：过点做，垂足为，连接 由可证出，‎ 所以，即 又,，‎ 所以平面，又平面，‎ 所以 方法二：由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线，并将其作为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线，并将其作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得 ‎，，，，‎ 因而，，‎ 所以，，‎ 因此 从而，所以 ‎（Ⅱ）方法一：在图1中，过点做，垂足为G，连接EG，因为平面平面，所以面，又，所以由三垂线定理知，‎ 因此为二面角的平面角 在中，‎ 由知，，‎ 因此 从而得 即二面角的正弦值为 方法二：在图2中，平面的一个法向量为 设平面的法向量，‎ 又，‎ 所以得其中一个 设二面角的大小为，且由题知为锐角，‎ 则 因此，即所求二面角的正弦值为 ‎20.解：‎ ‎（Ⅰ）设切点坐标为，则切线斜率为，‎ 切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为，‎ 由知，当且仅当时有最大值，即有最小值，因此点P的坐标为 由题意知，‎ 解得，故的方程为 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦点坐标为，由此设的方程为，其中 由在上，得 解得，因此方程为 显然，不是直线，设的方程为，点，‎ 由 得，又是方程的根，因此 ‎ ①‎ 由，得 ‎ ②‎ 因，由题意知，所以 ‎ ③‎ 将①②代入③式整理得 解得或，因此直线的方程为 或 ‎21.证明：‎ ‎（Ⅰ）当时，，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使 ‎（Ⅱ）考虑函数 令，则时，‎ 记，则 由（Ⅰ）得，当时，，当时，‎ 在上是增函数，又，从而当时，，所以在上无零点 在上是减函数，由，知存在唯一，使 所以存在唯一的，使 因此存在唯一的，使 因为当时，，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使 因，所以 ‎22.证明：‎ ‎（Ⅰ）因为，所以 由于为切线，故，又由于，故，‎ 所以，从而 由于，所以，于是，故是直径。‎ ‎（Ⅱ）连接 由于是直径，故 在与中，，从而，于是 由因为，所以，故 由于，所以，为直角。‎ 于是为直径，由（Ⅰ）得 ‎23.解：‎ ‎（Ⅰ）设为圆上的点，在已知变换下变为上点，依题意，得 由得，即曲线的方程为 故的参数方程为（为参数）‎ ‎（Ⅱ）由解得：，或 不妨设，则线段的中点坐标为，所求直线斜率为，于是所求直线方程为，‎ 化为极坐标方程，并整理得 ‎，即 ‎24.解：‎ ‎（Ⅰ），‎ 当时，由得，故；‎ 当时，由得，故 所以的解集为 ‎（Ⅱ）由得，解得 因此，故 当时，，于是