2020高考数学三轮冲刺 专题 离散型随机变量及其分布练习（含解析） 15页

离散型随机变量及其分布 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1. 若，且，，则 ‎ A. B. ‎3 C. D. 2‎ ‎（正确答案）A 解：随机变量，且，，‎ ‎，且，解得，．‎ 故选：A．‎ 根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，得到关于n和p的方程组，整体计算求解方程组得答案．‎ 本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查二项分布的期望公式与方差公式的应用，是基础题．‎ ‎2. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足，‎ ‎，可得，可得即．‎ 15‎ 因为，可得，解得或舍去．‎ 故选：B．‎ 利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．‎ 本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎3. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差 ‎ A. 2 B. ‎1 C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：每一次红球被摸到的概率．‎ 由题意可得：，1，2，．‎ 则．‎ 故选：C．‎ 每一次红球被摸到的概率由题意可得：，1，2，即可得出．‎ 本小题主要考查二项分布列的性质及其数学期望等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎4. 袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止若抽取的次数为，则表示“放回5个红球”事件的是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：由题意知，袋中装有10个红球、5个黑球，取得黑球则另换1个红球放回袋中，‎ 所以“放回5个红球”表示前五次抽取黑球，第六次抽取红球，‎ 即，‎ 故选C．‎ 根据题意和无放回抽样的性质求出表示“放回5个红球”事件的值．‎ 15‎ 本题考查了离散型随机变量的取值，以及无放回抽样的性质，是基础题．‎ ‎5. 已知随机变量，若，则，分别是 ‎ A. 6和 B. 4和 C. 4和 D. 6和 ‎（正确答案）C 解：由题意，知随机变量X服从二项分布，，，‎ 则均值，方差，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ 先由，得均值，方差，然后由得，再根据公式求解即可．‎ 解题关键是若两个随机变量Y，X满足一次关系式b为常数，当已知、时，则有，．‎ ‎6. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则 ‎ A. 3 B. C. D. 4‎ ‎（正确答案）B 解：由题意知的可能取值为2，3，4，‎ ‎，‎ ‎，‎ 15‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ 由题意知的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出．‎ 本题离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．‎ ‎7. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势设甲赢乙的局数为，则随机变量的数学期望是 ‎ A. B. C. D. 1‎ ‎（正确答案）D 解：由题意可得随机变量的可能取值为：0、1、2、3，‎ 每一局中甲胜的概率为，平的概率为，输的概率为，‎ 故，，‎ ‎，，‎ 故，故E ‎ 故选D 的可能取值为：0、1、2、3，每一局中甲胜的概率为，进而可得，由二项分布的期望的求解可得答案．‎ 本题考查离散型随机变量的期望的求解，得出是解决问题的关键，属中档题．‎ 15‎ ‎8. 设，随机变量的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 则当p在内增大时， ‎ A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 ‎（正确答案）D 解：设，随机变量的分布列是 ‎；‎ 方差是 ‎，‎ 时，单调递增；‎ 时，单调递减；‎ 先增大后减小．‎ 故选：D．‎ 求出随机变量的分布列与方差，再讨论的单调情况．‎ 本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．‎ 15‎ ‎9. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为b，，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为 ‎ A. B. C. D. 4‎ ‎（正确答案）C 解：由题意可得：，即，b，，‎ ‎，当且仅当时取等号．‎ 故选：C．‎ 由题意可得：，即，b，，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ 本题考查了数学期望计算公式、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎10. 口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以表示取出球的最小号码，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：由题意可得，1，2．‎ 则，，．‎ 可得分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ 故选：B．‎ 15‎ 由题意可得，1，可得，，即可得出．‎ 本题考查了随机变量分布列及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎11. 设离散型随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则的充要条件是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：由离散型随机变量X的分布列知：‎ 当时，，解得，‎ 当时，．‎ ‎．‎ 的充要条件是．‎ 故选：C．‎ 当时，由离散型随机变量X的分布列的性质列出方程组得，当时，能求出从而得到的充要条件是．‎ 本题考查离散型随机变量的数学期望为2的充要条件的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的性质的合理运用．‎ ‎12. 随机变量X的分布列如表所示，若，则 ‎ X ‎0‎ ‎1‎ P a b A. 9 B. ‎7 C. 5 D. 3‎ ‎（正确答案）C 15‎ 解：，‎ 由随机变量X的分布列得：‎ ‎，解得，，‎ ‎．‎ ‎．‎ 故选：C．‎ 由，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果．‎ 本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则 ______ ．‎ ‎（正确答案）‎ 解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，，，‎ 则．‎ 故答案为：．‎ 判断概率满足的类型，然后求解方差即可．‎ 本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键．‎ ‎14. 随机变量的取值为0，1，2，若，，则 ______ ．‎ 15‎ ‎（正确答案）‎ 解析：设，，则由已知得，，‎ 解得，，‎ 所以．‎ 故答案为： ‎ 结合方差的计算公式可知，应先求出，，根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得．‎ 本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．‎ ‎15. 射击比赛每人射2次，约定全部不中得0分，只中一弹得10分，中两弹得15分，某人每次射击的命中率均为，则他得分的数学期望是______分 ‎（正确答案）‎ 解：射击的命中的得分为X，X的取值可能为0，10，15．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ 射击的命中得分为X，X的取值可能为0，10，15，然后分别求出相应的概率，根据数学期望公式解之即可．‎ 本题主要考查了二项分布与n次独立重复试验的模型，同时考查了离散型随机变量的数学期望，属于中档题．‎ 15‎ ‎16. 随机变量的分布列为： ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P x 随机变量的方差 ______ ．‎ ‎（正确答案）1‎ 解：由随机变量的分布列的性质得：‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：1．‎ 由随机变量的分布列的性质得求出，从而得，由此能求出．‎ 本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共40分）‎ ‎17. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ 求X的分布列；‎ 15‎ 若要求，确定n的最小值；‎ 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？‎ ‎（正确答案）解：Ⅰ由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的分布列为：‎ ‎ X ‎ 16‎ ‎ 17‎ ‎ 18‎ ‎ 19‎ ‎ 20‎ ‎ 21‎ ‎ 22‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ Ⅱ由Ⅰ知：‎ ‎．‎ ‎．‎ 15‎ 中，n的最小值为19．‎ Ⅲ由Ⅰ得：‎ ‎．‎ 买19个所需费用期望：‎ ‎，‎ 买20个所需费用期望：‎ ‎，‎ ‎，‎ 买19个更合适．‎ Ⅰ由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．‎ Ⅱ由X的分布列求出，由此能确定满足中n的最小值．‎ Ⅲ由X的分布列得求出买19个所需费用期望和买20个所需费用期望，由此能求出买19个更合适．‎ 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．‎ ‎18. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 15‎ 最高气温 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．‎ 求六月份这种酸奶一天的需求量单位：瓶的分布列；‎ 设六月份一天销售这种酸奶的利润为单位：元，当六月份这种酸奶一天的进货量单位：瓶为多少时，Y的数学期望达到最大值？‎ ‎（正确答案）解：由题意知X的可能取值为200，300，500，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的分布列为：‎ ‎ X ‎ 200‎ ‎ 300‎ ‎ 500‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，‎ 只需考虑，‎ 当时，‎ 若最高气温不低于25，则；‎ 若最高气温位于区间，则；‎ 若最高气温低于20，则，‎ ‎，‎ 当时，‎ 若最高气温不低于20，则，‎ 15‎ 若最高气温低于20，则，‎ ‎．‎ 时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．‎ 本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题．‎ 由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．‎ 由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑，‎ 根据和分类讨论经，能得到当时，EY最大值为520元．‎ ‎19. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．‎ Ⅰ求至少有一种新产品研发成功的概率；‎ Ⅱ若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．‎ ‎（正确答案）解：Ⅰ设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，‎ 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．‎ 则，‎ 再根据对立事件的概率之间的公式可得，‎ 故至少有一种新产品研发成功的概率为．‎ Ⅱ由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，‎ 由独立试验的概率计算公式可得，‎ 15‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以X的分布列如下： ‎ X ‎0‎ ‎120‎ ‎100‎ ‎220‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则数学期望．‎ Ⅰ利用对立事件的概率公式，计算即可，‎ Ⅱ求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可．‎ 本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年高考题目的常考的题型．‎ 15‎