- 453.00 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2008年江苏省高考数学试卷
一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分)
1.(5分)(2008•江苏)若函数最小正周期为,则ω= _________ .
2.(5分)(2008•江苏)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为4的概率是 _________ .
3.(5分)(2008•江苏)若将复数表示为a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式,则a+b= _________ .
4.(5分)(2008•江苏)若集合A={x|(x﹣1)2<3x+7,x∈R},则A∩Z中有 _________ 个元素.
5.(5分)(2008•江苏)已知向量和的夹角为120°,,则= _________ .
6.(5分)(2008•江苏)在平面直角坐标系xoy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随机投一点,则所投点在E中的概率是 _________ .
7.(5分)(2008•江苏)某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了50位老人进行调查,下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表:
序号i
分组
(睡眠时间)
组中值(Gi)
频数
(人数)
频率(Fi)
1
[4,5)
4.5
6
0.12
2
[5,6)
5.5
10
0.20
3
[6,7)
6.5
20
0.40
4
[7,8)
7.5
10
0.20
5
[8,9]
8.5
4
0.08
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图,则输出的S的值为 _________ .
8.(5分)(2008•江苏)设直线y=x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为
_________ .
9.(5分)(2008•江苏)如图,在平面直角坐标系xoy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)在线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F,某同学已正确求得直线OE的方程为,请你完成直线OF的方程: _________ .
10.(5分)(2008•江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为 _________ .
11.(5分)(2008•江苏)设x,y,z为正实数,满足x﹣2y+3z=0,则的最小值是 _________ .
12.(5分)(2008•江苏)在平面直角坐标系xOy中,椭圆的焦距为2c,以O为圆心,a为半径作圆M,若过作圆M的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为 _________ .
13.(5分)(2008•江苏)满足条件AB=2,AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是 _________ .
14.(5分)(2008•江苏)f(x)=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1,1]总有f(x)≥0成立,则a= _________ .
二、解答题(共12小题,满分90分)
15.(15分)(2008•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点.已知A,B两点的横坐标分别是,.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
16.(15分)(2008•江苏)如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E,F分别是AB,BD的中点.求证:
(1)直线EF∥面ACD;
(2)平面EFC⊥面BCD.
17.(15分)(2008•江苏)如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处.AB=20km,BC=10km.为了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与A,B等距的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为ykm.
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设∠BAO=θ(rad),将y表示成θ的函数;
(ii)设OP=x(km),将y表示成x的函数;
(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短.
18.(15分)(2008•江苏)在平面直角坐标系xOy中,记二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点.经过三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆C的方程;
(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b的无关)?请证明你的结论.
19.(15分)(2008•江苏)(1)设a1,a2,…,an是各项均不为零的n(n≥4)项等差数列,且公差d≠0,若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列.
(i)当n=4时,求的数值;
(ii)求n的所有可能值.
(2)求证:对于给定的正整数n(n≥4),存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1,b2,…,bn,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.
20.(15分)(2008•江苏)已知函数,(x∈R,p1,p2为常数).函数f(x)定义为:对每个给定的实数x,
(1)求f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件(用p1,p2表示);
(2)设a,b是两个实数,满足a<b,且p1,p2∈(a,b).若f(a)=f(b),求证:函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为(闭区间[m,n]的长度定义为n﹣m)
21.(2008•江苏)如图,△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.求证:ED2=EB•EC.
22.(2008•江苏)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆4x2+y2=1在矩阵对应的变换作用下得到曲线F,求F的方程.
23.(2008•江苏)在平面直角坐标系xOy中,点P(x,y)是椭圆上的一个动点,求S=x+y的最大值.
24.(2008•江苏)设a,b,c为正实数,求证:.
25.(2008•江苏)记动点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上一点,记.当∠APC为钝角时,求λ的取值范围.
26.(2008•江苏)请先阅读:
在等式cos2x=2cos2x﹣1(x∈R)的两边求导,得:(cos2x)′=(2cos2x﹣1)′,由求导法则,得(﹣sin2x)•2=4cosx•(﹣sinx),化简得等式:sin2x=2cosx•sinx.
(1)利用上题的想法(或其他方法),结合等式(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn(x∈R,正整数n≥2),证明:.
(2)对于正整数n≥3,求证:
(i);
(ii);
(iii).
2008年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分)
1.(5分)
考点:
三角函数的周期性及其求法.4664233
专题:
计算题.
分析:
根据三角函数的周期公式,即T=可直接得到答案.
解答:
解:.
故答案为:10
点评:
本小题考查三角函数的周期公式,即T=.
2.(5分)
考点:
古典概型及其概率计算公式.4664233
专题:
计算题.
分析:
分别求出基本事件数,“点数和为4”的种数,再根据概率公式解答即可.
解答:
解析:基本事件共6×6个,
点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个,
故.
故填:.
点评:
本小题考查古典概型及其概率计算公式,考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
3.(5分)
考点:
复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.4664233
专题:
计算题.
分析:
利用复数除法的法则:分子分母同乘以分母的共轭复数.
解答:
解:.∵,
∴a=0,b=1,
因此a+b=1
故答案为1
点评:
本小题考查复数的除法运算.
4.(5分)
考点:
交集及其运算.4664233
分析:
先化简集合A,即解一元二次不等式(x﹣1)2<3x+7,再与Z求交集.
解答:
解:由(x﹣1)2<3x+7得x2﹣5x﹣6<0,∴A=(﹣1,6),因此A∩Z={0,1,2,3,4,5},共有6个元素.
故答案是 6
点评:
本小题考查集合的运算和解一元二次不等式.
5.(5分)
考点:
向量的模.4664233
专题:
计算题.
分析:
根据向量的数量积运算公式得,化简后把已知条件代入求值.
解答:
解:由题意得,
=,
∴=7.
故答案为:7.
点评:
本小题考查向量模的求法,即利用数量积运算公式“”进行求解.
6.(5分)
考点:
古典概型及其概率计算公式.4664233
专题:
计算题.
分析:
本题是一个几何概型,试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界),满足条件的事件表示单位圆及其内部,根据几何概型概率公式得到结果.
解答:
解析:本小题是一个几何概型,
∵试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界),面积是42=16,
满足条件的事件表示单位圆及其内部,面积是π×12
根据几何概型概率公式得到
∴
故答案为:.
点评:
本题考查几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到,本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值.本题可以以选择和填空形式出现.
7.(5分)
考点:
频率分布表;工序流程图(即统筹图).4664233
专题:
图表型.
分析:
观察算法流程图知,此图包含一个循环结构,即求G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5的值,再结合直方图中数据即可求解.
解答:
解:由流程图知:
S=G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5
=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.2+8.5×0.08
=6.42,
故填:6.42.
点评:
本题考查读频率分布直方图、算法流程图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用图表获取信息时,必须认真观察、分析、研究图表,才能作出正确的判断和解决问题.
8.(5分)
考点:
利用导数研究曲线上某点切线方程.4664233
专题:
计算题.
分析:
欲实数b的大小,只须求出切线方程即可,故先利用导数求出在切点处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,最后求出切线方程与已知直线方程对照即可.
解答:
解:y′=(lnx)′=,令=得x=2,
∴切点为(2,ln2),代入直线方程y=x+b,
∴ln2=×2+b,∴b=ln2﹣1.
故答案为:ln2﹣1
点评:
本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.
9.(5分)
考点:
直线的一般式方程;归纳推理.4664233
专题:
转化思想.
分析:
本题考查的知识点是类比推理,我们类比直线OE的方程为,分析A(0,a),B(b,0),C(c,0),P(0,p),我们可以类比推断出直线OF的方程为:.
解答:
解:由截距式可得直线AB:,
直线CP:,
两式相减得,
显然直线AB与CP的交点F满足此方程,
又原点O也满足此方程,
故为所求直线OF的方程.
故答案为:.
点评:
类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).
10.(5分)
考点:
归纳推理;等比数列的前n项和.4664233
专题:
压轴题;规律型.
分析:
观察图例,我们可以得到每一行的数放在一起,是从一开始的连续的正整数,故n行的最后一个数,即为前n项数据的个数,故我们要判断第n行(n≥3)从左向右的第3个数,可先判断第n﹣1行的最后一个数,然后递推出最后一个数据.
解答:
解:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.
前n﹣1行共有正整数1+2+…+(n﹣1)个,
即个,
因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个,
即为.
点评:
归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
11.(5分)
考点:
基本不等式.4664233
分析:
由x﹣2y+3z=0可推出,代入中,消去y,再利用均值不等式求解即可.
解答:
解:∵x﹣2y+3z=0,
∴,
∴=,当且仅当x=3z时取“=”.
故答案为3.
点评:
本小题考查了二元基本不等式,运用了消元的思想,是高考考查的重点内容.
12.(5分)
考点:
椭圆的简单性质.4664233
专题:
计算题;压轴题.
分析:
抓住△OAP是等腰直角三角形,建立a,c的关系,问题迎刃而解.
解答:
解:设切线PA、PB互相垂直,又半径OA垂直于PA,所以△OAP是等腰直角三角形,
故,
解得,
故答案为.
点评:
本题考查了椭圆的离心率,有助于提高学生分析问题的能力.
13.(5分)
考点:
三角形中的几何计算.4664233
专题:
计算题;压轴题.
分析:
设BC=x,根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积,再根据余弦定理用x表示出sinB,代入三角形的面积表达式,进而得到关于x的三角形面积表达式,再根据x的范围求得三角形面积的最大值.
解答:
解:设BC=x,则AC=x,
根据面积公式得S△ABC=AB•BCsinB
=×2x,
根据余弦定理得cosB=
==,
代入上式得
S△ABC=x=,
由三角形三边关系有,
解得2﹣2<x<2+2.
故当x=2时,S△ABC取得最大值2.
点评:
本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用.当涉及最值问题时,可考虑用函数的单调性和定义域等问题.
14.(5分)
考点:
利用导数求闭区间上函数的最值.4664233
专题:
计算题;压轴题.
分析:
这类不等式在某个区间上恒成立的问题,可转化为求函数最值的问题,本题要分三类:①x=0,②x>0,③x<0等三种情形,当x=0时,不论a取何值,f(x)≥0都成立;当x>0时有a≥,可构造函数g(x)=,然后利用导数求g(x)的最大值,只需要使a≥g(x)max,同理可得x<0时的a的范围,从而可得a的值.
解答:
解:若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0都成立;
当x>0即x∈(0,1]时,f(x)=ax3﹣3x+1≥0可化为:a≥
设g(x)=,则g′(x)=,
所以g(x)在区间(0,]上单调递增,在区间[,1]上单调递减,
因此g(x)max=g()=4,从而a≥4;
当x<0即x∈[﹣1,0)时,f(x)=ax3﹣3x+1≥0可化为:a≤,
g(x)=在区间[﹣1,0)上单调递增,
因此g(x)min=g(﹣1)=4,从而a≤4,综上a=4.
答案为:4
点评:
本题考查的是含参数不等式的恒成立问题,考查分类讨论,转化与化归的思想方法,利用导数和函数的单调性求函数的最大值,最小值等知识与方法.在讨论时,容易漏掉x=0的情形,因此分类讨论时要特别注意该问题的解答.
二、解答题(共12小题,满分90分)
15.(15分)
考点:
两角和与差的正切函数.4664233
分析:
(1)先由已知条件得;再求sinα、sinβ进而求出tanα、tanβ;
最后利用tan(α+β)=解之.
(2)利用第一问把tan(α+2β)转化为tan[(α+β)+β]求之,再根据α+2β的范围确定角的值.
解答:
解:(1)由已知条件即三角函数的定义可知,
因为α为锐角,则sinα>0,从而
同理可得,
因此.
所以tan(α+β)=;
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=,
又,故,
所以由tan(α+2β)=﹣1得.
点评:
本题主要考查正切的和角公式与转化思想.
16.(15分)
考点:
直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.4664233
专题:
证明题.
分析:
(1)根据线面平行关系的判定定理,在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可,根据中位线可知EF∥AD,EF⊄面ACD,AD⊂面ACD,满足定理条件;
(2)需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直,由线面垂直推出面面垂直,根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC,而BD⊂面BCD,满足定理所需条件.
解答:
证明:(1)∵E,F分别是AB,BD的中点.
∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥AD,
∵EF⊄面ACD,AD⊂面ACD,∴直线EF∥面ACD;
(2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD,
∵CB=CD,F是BD的中点,∴CF⊥BD
又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC,
∵BD⊂面BCD,∴面EFC⊥面BCD
点评:
本题主要考查线面平行的判定定理,以及面面 垂直的判定定理.考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力.
17.(15分)
考点:
在实际问题中建立三角函数模型.4664233
分析:
(1)(i)根据题意知PQ垂直平分AB,在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP,从而得出y的函数关系式,注意最后要化为最简形式,确定自变量范围.(ii)已知OP,可得出OQ的表达式,由勾股定理推出OA,易得y的函数关系式.
(2)欲确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题,(1)中已求出函数关系式,故可以利用导数求解最值,注意结果应与实际情况相符合.
解答:
解:(Ⅰ)①由条件知PQ垂直平分AB,若∠BAO=θ(rad),
则,故,又OP=10﹣10tanθ,
所以,
所求函数关系式为
②若OP=x(km),则OQ=10﹣x,所以OA=OB=
所求函数关系式为
(Ⅱ)选择函数模型①,
令y′=0得sin,因为,所以θ=,
当时,y′<0,y是θ的减函数;当时,y′>0,y是θ的增函数,所以当θ=时,.这时点P位于线段AB的中垂线上,在矩形区域内且距离AB边km处.
点评:
本小题主要考查函数最值的应用.
①生活中的优化问题,往往涉及到函数的最值,求最值可利用单调性,也可直接利用导数求最值,要掌握求最值的方法和技巧.
②在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点也就是最值点.
18.(15分)
考点:
二次函数的图象;圆的标准方程.4664233
专题:
计算题.
分析:
(1)由题意知,由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0,然后抛物线与x轴有两个交点即令f(x)=0的根的判别式大于0即可求出b的范围;
(2)设出圆的一般式方程,根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知:令y=0得到与f(x)=0一样的方程;令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程;
(3)设圆的方程过定点(x0,y0),将其代入圆的方程得x02+y02+2x0﹣y0+b(1﹣y0)=0,因为x0,y0不依赖于b得取值,所以得到1﹣y0=0即y0=1,代入x02+y02+2x0﹣y0=0中即可求出定点的坐标.
解答:
解:.(1)令x=0,得抛物线与y轴交点是(0,b);
令f(x)=x2+2x+b=0,由题意b≠0且△>0,解得b<1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b.
令x=0得y2+Ey+F=0,方程有一个根为b,代入得出E=﹣b﹣1.
所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣(b+1)y+b=0.
(3)圆C必过定点,证明如下:
假设圆C过定点(x0,y0)(x0,y0不依赖于b),将该点的坐标代入圆C的方程,
并变形为x02+y02+2x0﹣y0+b(1﹣y0)=0(*)
为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立,必须有1﹣y0=0,结合(*)式得x02+y02+2x0﹣y0=0,解得
经检验知,(﹣2,1)均在圆C上,因此圆C过定点.
点评:
本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.是一道综合题.
19.(15分)
考点:
等差数列的性质;等比关系的确定;等比数列的性质.4664233
专题:
探究型;分类讨论;反证法.
分析:
(1)根据题意,对n=4,n=5时数列中各项的情况逐一讨论,利用反证法结合等差数列的性质进行论证,进而推广到n≥4的所有情况.
(2)利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可.
解答:
解:(1)①当n=4时,a1,a2,a3,a4中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d=0.
若删去a2,则a32=a1•a4,即(a1+2d)2=a1•(a1+3d)化简得a1+4d=0,得
若删去a3,则a22=a1•a4,即(a1+d)2=a1•(a1+3d)化简得a1﹣d=0,得
综上,得或.
②当n=5时,a1,a2,a3,a4,a5中同样不可能删去a1,a2,a4,a5,否则出现连续三项.
若删去a3,则a1•a5=a2•a4,即a1(a1+4d)=(a1+d)•(a1+3d)化简得3d2=0,因为d≠0,所以a3不能删去;
当n≥6时,不存在这样的等差数列.事实上,在数列a1,a2,a3,…,an﹣2,an﹣1,an中,由于不能删去首项或末项,
若删去a2,则必有a1•an=a3•an﹣2,这与d≠0矛盾;
同样若删去an﹣1也有a1•an=a3•an﹣2,这与d≠0矛盾;
若删去a3,,an﹣2中任意一个,则必有a1•an=a2•an﹣1,这与d≠0矛盾.(或者说:当n≥6时,无论删去哪一项,剩余的项中必有连续的三项)
综上所述,n=4.
(2)假设对于某个正整数n,存在一个公差为d的n项等差数列b1,b2,bn,其中bx+1,by+1,bz+1(0≤x<y<z≤n﹣1)为任意三项成等比数列,则b2y+1=bx+1•bz+1,即(b1+yd)2=(b1+xd)•(b1+zd),化简得(y2﹣xz)d2=(x+z﹣2y)b1d(*)
由b1d≠0知,y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0或同时不为0
当y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0时,有x=y=z与题设矛盾.
故y2﹣xz与x+z﹣2y同时不为0,所以由(*)得
因为0≤x<y<z≤n﹣1,且x、y、z为整数,所以上式右边为有理数,从而为有理数.
于是,对于任意的正整数n(n≥4),只要为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数列.
例如n项数列1,,,,满足要求.
点评:
本题是一道探究性题目,考查了等差数列和等比数列的通项公式,以及学生的运算能力和推理论证能力.
20.(15分)
考点:
指数函数综合题.4664233
专题:
计算题;压轴题;分类讨论.
分析:
(1)根据题意,先证充分性:由f(x)的定义可知,f(x)=f1(x)对所有实数成立,等价于f1(x)≤f2(x)对所有实数x成立等价于,即对所有实数x均成立,分析容易得证;再证必要性:对所有实数x均成立等价于,即|p1﹣p2|≤log32,
(2)分两种情形讨论:①当|p1﹣p2|≤log32时,由中值定理及函数的单调性得到函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度;②当|p1﹣p2|>log32时,a,b是两个实数,满足a<b,且p1,p2∈(a,b).若f(a)=f(b),根据图象和函数的单调性得到函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度.
解答:
解:(1)由f(x)的定义可知,f(x)=f1(x)(对所有实数x)等价于f1(x)≤f2(x)(对所有实数x)这又等价于,即对所有实数x均成立.(*)
由于|x﹣p1|﹣|x﹣p2|≤|(x﹣p1)﹣(x﹣p2)|=|p1﹣p2|(x∈R)的最大值为|p1﹣p2|,
故(*)等价于,即|p1﹣p2|≤log32,这就是所求的充分必要条件
(2)分两种情形讨论
(i)当|p1﹣p2|≤log32时,由(1)知f(x)=f1(x)(对所有实数x∈[a,b])
则由f(a)=f(b)及a<p1<b易知,
再由的单调性可知,
函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度
为(参见示意图)
(ii)|p1﹣p2|>log32时,不妨设p1<p2,,则p2﹣p1>log32,于是
当x≤p1时,有,从而f(x)=f1(x);
当x≥p2时,有
从而f(x)=f2(x);当p1<x<p2时,,及,由方程
解得f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标为(1)
显然,
这表明x0在p1与p2之间.由(1)易知
综上可知,在区间[a,b]上,(参见示意图)
故由函数f1(x)及f2(x)的单调性可知,f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为(x0﹣p1)+(b﹣p2),由于f(a)=f(b),即,得p1+p2=a+b+log32(2)
故由(1)、(2)得
综合(i)(ii)可知,f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度和为.
点评:
考查学生理解充分必要条件的证明方法,用数形结合的数学思想解决问题的能力,以及充分必要条件的证明方法.
21.(2008•江苏)
考点:
与圆有关的比例线段;二阶行列式与逆矩阵;简单曲线的极坐标方程;不等式的证明.4664233
分析:
根据已知EA是圆的切线,AC为过切点A的弦得两个角相等,再结合角平分线条件,从而得到△EAD是等腰三角形,再根据切割线定理即可证得.
解答:
证明:因为EA是圆的切线,AC为过切点A的弦,
所以∠CAE=∠CBA.
又因为AD是ÐBAC的平分线,所以∠BAD=∠CAD
所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE
所以,△EAD是等腰三角形,所以EA=ED.
又EA2=EC•EB,
所以ED2=EB•EC.
点评:
此题主要是运用了弦切角定理的切割线定理.注意:切线长的平方应是EB和EC的乘积.
22.(2008•江苏)
考点:
圆的标准方程;矩阵变换的性质.4664233
专题:
计算题.
分析:
由题意先设椭圆上任意一点P(x0,y0),根据矩阵与变换的公式求出对应的点P′(x0′,y0′),得到两点的关系式,再由点P在椭圆上代入化简.
解答:
解:设P(x0,y0)是椭圆上任意一点,
则点P(x0,y0)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x0′,y0′)
则有,即,所以
又因为点P在椭圆上,故4x02+y02=1,从而(x0′)2+(y0′)2=1
所以,曲线F的方程是x2+y2=1
点评:
本题主要考查了矩阵与变换的运算,结合求轨迹方程得方法:代入法求解;是一个较综合的题目.
23.(2008•江苏)
考点:
椭圆的参数方程.4664233
专题:
计算题;转化思想.
分析:
先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点,然后利用三角函数的辅助角公式进行化简,即可求出所求.
解答:
解:因椭圆的参数方程为(ϕ为参数)
故可设动点P的坐标为,其中0≤ϕ<2π.
因此
所以,当时,S取最大值2.
点评:
本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力.
24.(2008•江苏)
考点:
平均值不等式;不等式的证明.4664233
专题:
证明题.
分析:
先根据平均值不等式证明 ,再证 .
解答:
证明:因为a,b,c为正实数,由平均不等式可得 ,
即 ,
所以,,
而 ,
所以,
点评:
本题考查平均值不等式的应用,n个正数的算术平均数 大于或等于它们的几何平均数 .
25.(2008•江苏)
考点:
用空间向量求直线间的夹角、距离.4664233
专题:
计算题;压轴题.
分析:
由题意易知∠APC不可能为平角,则∠APC为钝角等价于,即,再将用关于λ的字母表示,根据向量数量积的坐标运算即可
解答:
解:由题设可知,以、、为单位正交基底,
建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz,
则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,1)
由,得,所以
显然∠APC不是平角,所以∠APC为钝角等价于,则等价于
即(1﹣λ)(﹣λ)+(﹣λ)(1﹣λ)+(λ﹣1)2=(λ﹣1)(3λ﹣1)<0,得
因此,λ的取值范围是
点评:
本题考查了用空间向量求直线间的夹角,一元二次不等式的解法,属于基础题.
26.(2008•江苏)请先阅读:
考点:
微积分基本定理;二项式定理;类比推理.4664233
专题:
证明题;综合题;压轴题.
分析:
(1)对二项式定理的展开式两边求导数,移项得到恒等式.
(2)(i)对(1)中的x 赋值﹣1,整理得到恒等式.
(ii)对二项式的定理的两边对x求导数,再对得到的等式对x两边求导数,给x赋值﹣1化简即得证.
(iii)对二项式定理的两边求定积分;利用微积分基本定理求出两边的值,得到要证的等式.
解答:
证明:(1)在等式(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2++Cnnxn两边对x求导得n(1+x)n﹣1=Cn1+2Cn2x++(n﹣1)Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1
移项得(*)
(2)(i)在(*)式中,令x=﹣1,整理得
所以
(ii)由(1)知n(1+x)n﹣1=Cn1+2Cn2x+…+(n﹣1)Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1,n≥3
两边对x求导,得n(n﹣1)(1+x)n﹣2=2Cn2+3•2Cn3x+…+n(n﹣1)Cnnxn﹣2
在上式中,令x=﹣1,得0=2Cn2+3•2Cn3(﹣1)+…+n(n﹣1)Cn2(﹣1)n﹣2
即,
亦即(1)
又由(i)知(2)
由(1)+(2)得
(iii)将等式(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn两边在[0,1]上对x积分
由微积分基本定理,得
所以
点评:
本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查微积分基本定理.