高考文科数学分类解析立体几何 31页

‎013年高考数学（文科）分类解析 专题7：立体几何 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1 ．（2013年高考重庆卷（文8））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为 ‎ （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】本题考查三视图以及空间几何体的表面积公式。由三视图可知该几何体是个四棱柱。棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯形的上底为2，下底为8，高为4，腰长为5。所以梯形的面积为，梯形的周长为。所以四棱柱的表面积为，选D.‎ ‎2 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文9））一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A. ‎ ‎3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文11））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为 ‎ ‎ （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知，该几何体的下部分是平放的半个圆柱，圆柱的底面半径为2,圆柱的高为4。上部分是个长方体，长方体的棱长分别为2,2,4.所以半圆柱的体积为，正方体的体积为，所以该几何体的体积为，选A.‎ ‎4 ．（2013年高考大纲卷（文11））已知正四棱锥的正弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】如图，因为BD⊥平面ACC‎1A1，所以平面ACC‎1A1⊥平面BDC1，在Rt△CC1O中，过C作CH⊥C1O于H，连结DH，则∠CDH即为所求，令，显然，所以，故选A.‎ ‎5 ．（2013年高考四川卷（文2））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（　　）‎ A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由三视图可知，该几何体为圆台.‎ ‎6 ．（2013年高考浙江卷（文5））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 ‎ （　　）‎ A．‎108cm3 B．‎100 cm3 ‎C．‎92cm3 D．‎84cm3‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】此图的直观图是一个底面边长为6和3，高为6的长方体截去一个角，对应三棱锥的的三条侧棱上分别为3,4,4.如图。所以该几何体的体积为，选B.‎ ‎7 ．（2013年高考北京卷（文8））如图,在正方体中,为对角线的三等分点,则到各顶点的距离的不同取值有 ‎ ‎ （　　）‎ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 ‎【答案】B ‎ ‎【解析】设正方体边长为3，则，，，，，，故共有4个不同的取值。‎ ‎8 ．（2013年高考广东卷（文））某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是 ‎ （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.‎ ‎9 ．（2013年高考湖南（文7））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于_____（　　）‎ A． B．‎1 ‎C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】本题考查三视图的计算。因为侧视图是一个面积为的矩形，所以侧视图的底长为，即侧视图看到的是正方形的对角线，所以正视图和侧面图面积相同，即为，选D.‎ ‎10．（2013年高考浙江卷（文4））设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,（　　）‎ A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥α,m∥β,则α∥β ‎ C．若m∥n,m⊥α,则n⊥α D．若m∥α,α⊥β,则m⊥β ‎【答案】C ‎ ‎【解析】平行的传递性只有在线性和面面之间成立，其他的线面混合的不成立，所以A,B错误。两条平行线中的一条直线垂直于某个平面，则另一条也垂直该平面，所以C正确，选C.‎ ‎11．（2013年高考辽宁卷（文10））已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M。计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径R=,选C.‎ ‎12．（2013年高考广东卷（文））设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　　）‎ A．若,,则 B．若,,则 ‎ C．若,,则 D．若,,则 ‎【答案】B ‎ ‎【解析】平行的传递性只有在线性和面面之间成立，其他的线面混合的不成立，所以A错误.垂直于同一条直线的两个平面平行，所以B正确。C中，，所以错误。D中，也有可能。所以选B.‎ ‎13．（2013年高考山东卷（文4））一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是 ‎（　　）‎ A． B． C． D．8,8‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】由三视图可知四棱锥的底面边长是2，高为2，侧面上的斜高是，所以，故选B.‎ ‎14．（2013年高考江西卷（文8））一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为 ‎ （　　）‎ A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π ‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】本题考查三视图以及空间几何体的体积。由三视图可在，该几何体下半部分为长方体，边长分别为810,4,5，所以体积为。上半部分为平放的半圆柱，上底半径为3，高是2，所以半圆柱的体积为，所以该几何体的体积为，选A.‎ 二、填空题 ‎15．（2013年高考课标Ⅱ卷（文15））已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的表面积为________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正四棱锥的高为，则，解得高。则底面正方形的对角线长为，所以,所以球的表面积为.‎ ‎16．（2013年高考湖北卷（文16））我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸. ‎ ‎(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)‎ ‎【答案】3 ‎ ‎【解析】本题考查圆台的体积公式。做出圆台的轴截面如图,由题意知，（单位寸，下同），,,即是中点，所以为梯形的中位线，所以，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为。喷口的面积为，所以，即平地降雨量是3寸。‎ ‎ ‎ ‎17．（2013年高考课标Ⅰ卷（文15））已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为截球所得截面的面积为，所以截面小圆的半径.设球半径为，则，所以.在直角三角形中，，即，解得，所以球的表面积为。‎ ‎18．（2013年高考卷（文10））某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.‎ ‎1‎ 俯视图 侧（左）视图 正（主）视图 ‎ 2 1 1 2 ‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由题意，该四棱锥底面为边长等于3的正方形，体高为1，.‎ ‎19．（2013年高考陕西卷（文12））某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________. ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 综合三视图可知，立体图是一个半径r=1的半个球体。其表面积 = 。‎ ‎ ‎ ‎20．（2013年高考大纲卷（文16））已知圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,则球的表面积等于______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】如图，公共弦MN=R,中点为E，连OE、KE，则，所以，在Rt△OME中，，即，所以.所以球的表面积为.‎ ‎21．（2013年上海高考数学试题（文科10））已知圆柱的母线长为,底面半径为,是上地面圆心,、是下底面圆周上两个不同的点,是母线,如图.若直线与所成角的大小为,则________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ‎ ‎22．（2013年高考天津卷（文10））已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 ______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设正方体的棱长为，则正方体的体对角线为直径，即，即球半径。若球的体积为，即，解得。‎ ‎23．（2013年高考辽宁卷（文13））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】直观图是圆柱中去除正四棱柱。.‎ ‎24．（2013年高考江西卷（文15））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】本题考查空间立体几何中的线面位置关系的判断在正四面体题中，取CD的中点H,则,又AB//CD，所以平面平行于正方体的左右两个侧面，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数由图象可知4。‎ ‎25．（2013年高考安徽（文））如图,正方体的棱长为1,为的中点,为线段上的动点,过点的平面截该正方体所得的截面记为,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).‎ ‎①当时,为四边形;②当时,为等腰梯形;③当时,与的交点满足;④当时,为六边形;⑤当时,的面积为.‎ ‎【答案】①②③⑤‎ ‎【解析】（1），S等腰梯形，②正确，图如下：‎ ‎（2），S是菱形，面积为，⑤正确，图如下：‎ ‎（3），画图如下：，③正确 ‎（4），如图是五边形，④不正确；‎ ‎（5），如下图，是四边形，故①正确 ‎【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。‎ 三、解答题 ‎26．（2013年高考辽宁卷（文））如图,‎ ‎(I)求证:‎ ‎(II)设 ‎【答案】‎ (I) 由AB式圆O的直径，得AC⊥BC.‎ 由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC,‎ 又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC,‎ 所以BC⊥平面PAC.‎ ‎（II） 连OG并延长交AC与M，链接QM，QO.‎ 由G为∆AOC的重心，得M为AC中点，‎ 由G为PA中点，得QM//PC.‎ 又O为AB中点，得OM//BC.‎ 因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO.‎ 所以QG//平面PBC. ‎ ‎27．（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.‎ ‎(Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ; ‎ ‎(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与APC所成的角的正切值;‎ ‎(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求 的值.‎ ‎【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形是等腰三角形,且底角等于30°,且,所以;、,又因为; ‎ ‎(Ⅱ)设,由(1)知,连接,所以与面所成的角是,由已知及(1)知:, ‎ ‎,所以与面所成的角的正切值是; ‎ ‎(Ⅲ)由已知得到:,因为,在中,,设 ‎ ‎ ‎ ‎28．（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, . ‎ ‎(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1; ‎ ‎(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积. ‎ ‎【答案】解: (Ⅰ) 设. ‎ ‎. ‎ ‎ ‎ ‎.(证毕) ‎ ‎(Ⅱ) . ‎ 在正方形AB CD中,AO = 1 . ‎ ‎. ‎ 所以,. ‎ ‎29．（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥中,,,,,,,.‎ ‎(1)当正视图方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);‎ ‎(2)若为的中点,求证:;‎ ‎(3)求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形中,过点作,垂足为, ‎ 由已知得,四边形为矩形, ‎ 在中,由,,依勾股定理得: ‎ ‎,从而 ‎ 又由平面得, ‎ 从而在中,由,,得 ‎ 正视图如右图所示: ‎ ‎(Ⅱ)取中点,连结, ‎ 在中,是中点, ‎ ‎∴,,又, ‎ ‎∴, ‎ ‎∴四边形为平行四边形,∴ ‎ 又平面,平面 ‎ ‎∴平面 ‎ ‎(Ⅲ) ‎ 又,,所以 ‎ 解法二: ‎ ‎(Ⅰ)同解法一 ‎ ‎(Ⅱ)取的中点,连结, ‎ 在梯形中,,且 ‎ ‎∴四边形为平行四边形 ‎ ‎∴,又平面,平面 ‎ ‎∴平面,又在中, ‎ 平面,平面 ‎ ‎∴平面.又, ‎ ‎∴平面平面,又平面 ‎ ‎∴平面 ‎ ‎(Ⅲ)同解法一 ‎ ‎30．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿 折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.‎ ‎(1) 证明://平面;‎ ‎(2) 证明:平面;‎ ‎(3) 当时,求三棱锥的体积.‎ ‎ ‎ ‎【答案】(1)在等边三角形中, ‎ ‎,在折叠后的三棱锥中 ‎ 也成立, ,平面, ‎ 平面,平面; ‎ ‎(2)在等边三角形中,是的中点,所以①,. ‎ ‎ 在三棱锥中,,② ‎ ‎; ‎ ‎(3)由(1)可知,结合(2)可得. ‎ ‎ ‎ ‎31．（2013年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A1B‎1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动.‎ ‎(I) 证明:AD⊥C1E;‎ ‎(II) 当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积.‎ ‎【答案】解: (Ⅰ) . ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ ‎(证毕) ‎ ‎(Ⅱ). ‎ ‎. ‎ ‎32．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥中,,,,平面底面,,和分别是和的中点,求证:‎ ‎(1)底面;(2)平面;(3)平面平面 ‎【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD ‎ 所以PA垂直底面ABCD. ‎ ‎(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点 ‎ 所以AB∥DE,且AB=DE ‎ 所以ABED为平行四边形, ‎ 所以BE∥AD,又因为BE平面PAD,AD平面PAD ‎ 所以BE∥平面PAD. ‎ ‎(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形 ‎ 所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD, ‎ 所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD ‎ 所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点 ‎ 所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD. ‎ ‎ ‎ ‎33．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱中,,,.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)若,,求三棱柱的体积.‎ ‎【答案】【答案】(I)取AB的中点O,连接、、,因为CA=CB,所以,由于AB=A A1,∠BA A1=600,故为等边三角形,所以OA⊥AB. ‎ ‎ ‎ 因为OC⨅OA=O,所以AB平面OAC.又ACC平面OAC,故ABAC. ‎ ‎(II)由题设知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎34．（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥中,,,分别为 的中点 ‎(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎35．（2013年高考四川卷（文））‎ 如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,分别是线段的中点,是线段上异于端点的点.‎ ‎(Ⅰ)在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;‎ ‎(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线交于点,求三棱锥的体积.(锥体体积公式:‎ ‎,其中为底面面积,为高)‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)如图,在平面ABC内,过点作直线,因为在平面外,BC在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,平面. ‎ 由已知,,是BC中点,所以BC⊥AD,则直线, ‎ 又因为底面,所以, ‎ 又因为AD,在平面内,且AD与相交, ‎ 所以直线平面 ‎ ‎(Ⅱ)过D作于E,因为平面,所以, ‎ 又因为AC,在平面内,且AC与相交,所以平面, ‎ 由,∠BAC,有,∠DAC, ‎ 所以在△ACD中,, ‎ 又,所以 ‎ 因此三棱锥的体积为 ‎ ‎36．（2013年高考湖北卷（文））如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为,,且. 过,的中点,且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面,其面积记为.‎ ‎(Ⅰ)证明:中截面是梯形;‎ ‎(Ⅱ)在△ABC中,记,BC边上的高为,面积为. 在估测三角形 区域内正下方的矿藏储量(即多面体的体积)时,可用近似公式来估算. 已知,试判断与V的大小关系,并加以证明. ‎ 第20题图 ‎【答案】(Ⅰ)依题意平面,平面,平面, ‎ 所以A‎1A2∥B1B2∥C‎1C2. 又,,,且 . ‎ 因此四边形、均是梯形. ‎ 由∥平面,平面,且平面平面, ‎ 可得AA2∥ME,即A‎1A2∥DE. 同理可证A‎1A2∥FG,所以DE∥FG. ‎ 又、分别为、的中点, ‎ 则、、、分别为、、、 的中点, ‎ 即、分别为梯形、的中位线. ‎ 因此 ,, ‎ 而,故,所以中截面是梯形. ‎ ‎(Ⅱ). 证明如下: ‎ 由平面,平面,可得. ‎ 而EM∥A‎1A2,所以,同理可得. ‎ 由是△的中位线,可得即为梯形的高, ‎ 因此, ‎ 即. ‎ 又,所以. ‎ 于是. ‎ 由,得,,故. ‎ ‎37．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，。‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）设，，求三棱锥的体积。‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎38．（2013年高考大纲卷（文））如图,四棱锥都是边长为的等边三角形.‎ ‎(I)证明: (II)求点 ‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形. ‎ ‎ ‎ 过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O. ‎ 连结OA,OB,OD,OE. ‎ 由和都是等边三角形知PA=PB=PD, ‎ 所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点, ‎ 故,从而. ‎ 因为O是BD的中点,E是BC的中点, ‎ 所以OE//CD.因此,. ‎ ‎(Ⅱ)解:取PD的中点F,连结OF,则OF//PB. ‎ 由(Ⅰ)知,,故. ‎ 又,, ‎ 故为等腰三角形,因此,. ‎ 又,所以平面PCD. ‎ 因为AE//CD,平面PCD,平面PCD,所以AE//平面PCD. ‎ 因此,O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而, ‎ 所以A至平面PCD的距离为1. ‎ ‎39．（2013年高考安徽（文））如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,.已知 .‎ ‎(Ⅰ)证明:‎ ‎(Ⅱ)若为的中点,求三菱锥的体积.‎ ‎【答案】解: ‎ ‎ ‎ ‎(1)证明:连接交于点 ‎ ‎ ‎ 又是菱形 ‎ 而 ⊥面 ⊥ ‎ ‎(2) 由(1)⊥面 ‎ ‎= ‎ ‎ ‎ ‎40．（2013年上海高考数学试题（文科））如图,正三棱锥底面边长为,高为,求该三棱锥的体积及表面积.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎41．（2013年高考天津卷（文））‎ 如图, 三棱柱ABC-A1B‎1C1中, 侧棱A‎1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A‎1C1的中点. ‎ ‎(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD; ‎ ‎(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1; ‎ ‎(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值. ‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎42．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)‎ 如题(19)图,四棱锥中,⊥底面,,, ‎ ‎.zhangwlx ‎(Ⅰ)求证:⊥平面;‎ ‎(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎43．（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD – A1B‎1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3‎ ‎(1) 证明:BE⊥平面BB‎1C1C;‎ ‎(2) 求点B1 到平面EA‎1C1 的距离 ‎【答案】解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则 ‎ 在 ‎ 在,故 ‎ 由 ‎ ‎(2) ‎ ‎, ‎ 同理, ‎ 因此.设点B1到平面的距离为d,则 ‎ ‎,从而 ‎