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- 2021-05-13 发布
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专题1:基本初等函数(两课时)
班级 姓名
一、前测训练
1.已知函数f(x)=,①若f(x)≥2,则x的取值范围为 .②f(x)在区间[-1,3]的值域为 .
答案:①[-,+∞);②[2,4].
2.①若f(x2+1)=x2,则f(x)= .②已知f[f(x)]=9+4x,且f(x)是一次函数,则f(x)= .
③已知函数满足2f(x)+f()=x,则f(2)= ;f(x)= .
答案:①x-1(x≥1);②2x+3或-2x-9;③,x-.
3.①若二次不等式f(x)<0的解集为(1,2),且函数y=f(x)的图象过点(-1,2),则f(x)= .
②已知f(x)=-x2+2x-2,x∈[t,t+1],若f(x)的最小值为h(t),则h(t)= .
答案:①x2-x+;②.
4.①已知2≤(),则函数y=()的值域为 .
②设loga<2,则实数a的取值范围为 .
答案:①[,81];②(0,)∪(1,+∞).
5. ①lg25+lg2lg50= .②已知函数y=log(x2-2x+2),则它的值域为 .
③已知函数y=log(2-ax)在区间[0,1]上为单调递减,则实数a的取值范围为 .
答案:①1;②(-∞,0];③(-∞,0).
6.①函数f(x)=lgx-sinx零点的个数为 .
②函数f(x)=2x+x-4零点所在区间为(k,k+1 ),k∈N,则k= .
答案:①3;②1.
二、方法联想
1.分段函数
方法1:分段函数,分类处理;方法2:分段函数整体处理.
2.解析式求法
方法1 换元法、配凑法;方法2 待定系数法;方法3 方程组法.
3.二次函数
二次函数解析式求法
一般设为三种形式:(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
二次函数最值求法
求二次函数最值,考虑对称轴与区间的相对位置关系,即左、中偏左、中偏右、右,再根据具体问题对四种情况进行合并(或取舍).
4.指数函数
(1)指数方程与不等式问题关键是两边化同底.
(2)与指数函数有关的值域问题,方法一:复合函数法,转化为利用指数函数的单调性;方法二:换元法.
5.对数函数
(1)对数式化简可利用公式logbn=logab将底数和真数均化成最简形式.
(2) 对数方程与不等式问题关键是两边化同底.
6.零点问题
方法1 数形结合法;
方法2
连续函数y=f(x)在区间(a,b)上有f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上至少存在一个零点.反之不一定成立.
二次函数y=f(x)在区间(a,b)上有f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上存在唯一一个零点.
三、例题分析
第一层次
例1.已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0,且a≠1).
(1)当a=2时,求满足不等式f(x)≤2的实数x的取值范围;
(2)当a>1时,求函数y=f(x)+f(-x)的最大值.
解:(1)实数x的取值范围为[2,3).
(2)函数y=f(x)+f(-x)的最大值为loga49.
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法:
1.解指(对)数不等式问题:
方法:①利用指(对)数函数的单调性,将不等式转化为代数不等式来解.
②换元法:转化为代数不等式.
2.与指(对)数有关的函数值域:
方法:①考察对应函数(复合函数)的单调性,利用单调性处理.
②用换元法,转化为几个基本函数的值域问题.
(2)方法选择与优化建议:
对于问题1,学生一般会选择方法①,因为本题既含对数,也含有指数,用换元不能一次转化为代数不等式,所以选择方法①.
对于问题2,学生一般会选择方法②,因为用换元法转化为几个基本函数的值域,处理比较方便,所以选择方法①.
指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响,解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时,首先要看底数的范围.
本题的易错点有两个,一是第一问中的“8-2x>0”的定义域部分;二是第二问中函数y=f(x)+f(-x)的定义域.
例2.已知函数f(x)=(a∈R)的定义域为R,求关于x的方程=|a-1|+1的根的取值范围.
解: 取值范围为[,18].
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法:
1.已知函数的定义域,求参数的范围:
方法
:与求函数的定义域的处理方法一致,将问题转化为已知不等式的解集,再利用对应方程的根已知,求参数的范围.
2.分段函数的值域:
方法:①利用函数的图象,求值域.
②分别求每个区间的值域,再求并集.
(2)方法选择与优化建议:
对于问题2,学生一般会选择方法②,在解答题中,需要解题过程,所以选择方法②.
本题的易错点是最后求得的x的取值范围应该两段函数的值域的并集.
例3.已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.
(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;
(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.
解:(1)当a>0,b>0时,函数f(x)在R上是增函数.
同理,当a<0,b<0时,函数f(x)在R上是减函数.
(2)当a<0,b>0时,x的取值范围为(log1.5,+∞);
当a>0,b<0时,x的取值范围为(-∞,log1.5).
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法:
1.讨论函数的单调性问题:
方法:①利用函数的图象;
②复合函数的单调性;
③利用函数单调性的定义.
④利用导函数来求函数的单调区间.
2.与指(对)数有关的解不等式问题:
方法:①利用函数的单调性,转化为代数不等式.
②用换元法,依次解几个代数不等式.
(2)方法选择与优化建议:
对于问题1,学生一般会选择方法③或④,因为本题不仅要求判断还需要证明结论,方法①②不能用作证明,所以选择方法③或④.
对于问题2,学生一般会选择方法①,因为本题函数的单调性比较明确,便于转化,所以选择方法①.
本题的易错点是第二问中忽视字母a的符号对不等号的方向的影响.
本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的,“ab>0”和“ab<0”的含义是字母a、b同号或异号,因此需要具体到a、b各自的符号.
第二层次
例1.已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0,且a≠1).
(1)当a=2时,求满足不等式f(x)≤2的实数x的取值范围;
(2)当a>1时,求函数y=f(x)+f(-x)的最大值.
解:(1)实数x的取值范围为[2,3).
(2)函数y=f(x)+f(-x)的最大值为loga49.
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法:
1.解指(对)数不等式问题:
方法:①利用指(对)数函数的单调性,将不等式转化为代数不等式来解.
②换元法:转化为代数不等式.
2.与指(对)数有关的函数值域:
方法:①考察对应函数(复合函数)的单调性,利用单调性处理.
②用换元法,转化为几个基本函数的值域问题.
(2)方法选择与优化建议:
对于问题1,学生一般会选择方法①,因为本题既含对数,也含有指数,用换元不能一次转化为代数不等式,所以选择方法①.
对于问题2,学生一般会选择方法②,因为用换元法转化为几个基本函数的值域,处理比较方便,所以选择方法①.
指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响,解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时,首先要看底数的范围.
本题的易错点有两个,一是第一问中的“8-2x>0”的定义域部分;二是第二问中函数y=f(x)+f(-x)的定义域.
例2.已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.
(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;
(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.
解:(1)当a>0,b>0时,函数f(x)在R上是增函数.
当a<0,b<0时,函数f(x)在R上是减函数.
(2)当a<0,b>0时,x的取值范围为(log1.5,+∞);
当a>0,b<0时,x的取值范围为(-∞,log1.5).
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法:
1.讨论函数的单调性问题:
方法:①利用函数的图象;
②复合函数的单调性;
③利用函数单调性的定义.
④利用导函数来求函数的单调区间.
2.与指(对)数有关的解不等式问题:
方法:①利用函数的单调性,转化为代数不等式.
②用换元法,依次解几个代数不等式.
(2)方法选择与优化建议:
对于问题1,学生一般会选择方法③或④,因为本题不仅要求判断还需要证明结论,方法①②不能用作证明,所以选择方法③或④.
对于问题2,学生一般会选择方法①,因为本题函数的单调性比较明确,便于转化,所以选择方法①.
本题的易错点是第二问中忽视字母a的符号对不等号的方向的影响.
本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的,“ab>0”和“ab<0”的含义是字母a、b同号或异号,因此需要具体到a、b各自的符号.
例3.设命题p:函数f(x)=的定义域为R;命题q:不等式3x-9x<a-1对一切正实数x均成立.
(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;
(2)如果命题p且q为真命题,求实数a的取值范围.
解:(1)实数a的取值范围为[0,4).
(2)实数a的取值范围为[1,4).
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法:
1.已知函数的定义域,求参数的范围:
方法:与求函数的定义域的处理方法一致,将问题转化为已知不等式的解集,再利用对应方程的根已知,求参数的范围.
2.不等式恒成立问题:
方法:①分离变量转化为求函数的最值.
②直接求函数的最值,再解不等式;
③利用函数的图象,观察临界情况,再进行相应的计算.
3.复合命题的真假判断:
方法:转化为判断构成复合命题的简单命题的真假,再根据逻辑联结词,来判断.
(2)方法选择与优化建议:
对于问题1,因为它是二次不等式对于任意实数恒成立,只需研究判定式及二次项系数的符号即可;
对于问题2,学生一般会选择方法①,因为本题分离变量较容易,而且对应函数的值域比较容易求,所以选择方法①.
在考查命题p是真命题时,容易漏掉a=0的情况,另外容易出现因为忽视“ax2-ax+1”出现的位置,在限制条件中将“△>0”错写为“△≥0”.
第三层次
例1.已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0,且a≠1).
(1)当a=2时,求满足不等式f(x)≤2的实数x的取值范围;
(2)当a>1时,求函数y=f(x)+f(-x)的最大值.
解:(1)实数x的取值范围为[2,3).
(2)函数y=f(x)+f(-x)的最大值为loga49.
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法:
1.解指(对)数不等式问题:
方法:①利用指(对)数函数的单调性,将不等式转化为代数不等式来解.
②换元法:转化为代数不等式.
2.与指(对)数有关的函数值域:
方法:①考察对应函数(复合函数)的单调性,利用单调性处理.
②用换元法,转化为几个基本函数的值域问题.
(2)方法选择与优化建议:
对于问题1,学生一般会选择方法①,因为本题既含对数,也含有指数,用换元不能一次转化为代数不等式,所以选择方法①.
对于问题2,学生一般会选择方法②,因为用换元法转化为几个基本函数的值域,处理比较方便,所以选择方法①.
指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响,解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时,首先要看底数的范围.
本题的易错点有两个,一是第一问中的“8-2x>0”的定义域部分;二是第二问中函数y=f(x)+f(-x)的定义域.
例2.已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.
(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;
(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.
解:(1)当a>0,b>0时,函数f(x)在R上是增函数.
当a<0,b<0时,函数f(x)在R上是减函数.
(2)当a<0,b>0时,x的取值范围为(log1.5,+∞);
当a>0,b<0时,x的取值范围为(-∞,log1.5).
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法:
1.讨论函数的单调性问题:方法:①利用函数的图象; ②复合函数的单调性;③利用函数单调性的定义.
④利用导函数来求函数的单调区间.
2.与指(对)数有关的解不等式问题:
方法:①利用函数的单调性,转化为代数不等式. ②用换元法,依次解几个代数不等式.
(2)方法选择与优化建议:
对于问题1,学生一般会选择方法③或④,因为本题不仅要求判断还需要证明结论,方法①②不能用作证明,所以选择方法③或④.
对于问题2,学生一般会选择方法①,因为本题函数的单调性比较明确,便于转化,所以选择方法①.
本题的易错点是第二问中忽视字母a的符号对不等号的方向的影响.
本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的,“ab>0”和“ab<0”的含义是字母a、b同号或异号,因此需要具体到a、b各自的符号.
例3.已知函数f(x)=a-.
(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若函数y=f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求实数a的取值范围.
解:(1)f(x)在(0,+∞)上为增函数.
(2)a的取值范围为(-∞,3].
(3)a的取值范围为{0}∪(2,+∞).
〖教学建议〗
(1)主要问题归类与方法:
1.讨论函数的单调性问题:
方法:①利用函数的图象;
②复合函数的单调性;
③利用函数单调性的定义.
④利用导函数来求函数的单调区间.
2.不等式恒成立问题:
方法:①分离变量转化为求函数的最值. ②直接求函数的最值,再解不等式;
③利用函数的图象,观察临界情况,再进行相应的计算.
3.已知函数的值域,求参数的取值:
方法:借助函数的图象了解函数单调性,再根据函数的单调性找最值来处理.
(2)方法选择与优化建议:
对于问题1,学生一般会选择方法③或④,因为本题是证明函数的单调性,方法①②不能用作证明,所以选择方法③或④.
对于问题2,学生一般会选择方法①,因为本题分离变量较容易,而且对应函数的值域比较容易求,所以选择方法①.