高考专题基本初等函数 6页

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  • 2021-05-13 发布

高考专题基本初等函数

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专题1:基本初等函数(两课时)‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1.已知函数f(x)=,①若f(x)≥2,则x的取值范围为 .②f(x)在区间[-1,3]的值域为 .‎ 答案:①[-,+∞);②[2,4].‎ ‎2.①若f(x2+1)=x2,则f(x)= .②已知f[f(x)]=9+4x,且f(x)是一次函数,则f(x)= .‎ ‎③已知函数满足‎2f(x)+f()=x,则f(2)= ;f(x)= .‎ 答案:①x-1(x≥1);②2x+3或-2x-9;③,x-.‎ ‎3.①若二次不等式f(x)<0的解集为(1,2),且函数y=f(x)的图象过点(-1,2),则f(x)= .‎ ‎②已知f(x)=-x2+2x-2,x∈[t,t+1],若f(x)的最小值为h(t),则h(t)= .‎ 答案:①x2-x+;②.‎ ‎4.①已知2≤(),则函数y=()的值域为 .‎ ‎②设loga<2,则实数a的取值范围为 .‎ 答案:①[,81];②(0,)∪(1,+∞).‎ ‎5. ①lg25+lg2lg50= .②已知函数y=log(x2-2x+2),则它的值域为 .‎ ‎③已知函数y=log(2-ax)在区间[0,1]上为单调递减,则实数a的取值范围为 .‎ 答案:①1;②(-∞,0];③(-∞,0).‎ ‎6.①函数f(x)=lgx-sinx零点的个数为 .‎ ‎②函数f(x)=2x+x-4零点所在区间为(k,k+1 ),k∈N,则k= .‎ 答案:①3;②1.‎ 二、方法联想 ‎1.分段函数 方法1:分段函数,分类处理;方法2:分段函数整体处理.‎ ‎2.解析式求法 方法1 换元法、配凑法;方法2 待定系数法;方法3 方程组法.‎ ‎3.二次函数 二次函数解析式求法 一般设为三种形式:(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).‎ 二次函数最值求法 求二次函数最值,考虑对称轴与区间的相对位置关系,即左、中偏左、中偏右、右,再根据具体问题对四种情况进行合并(或取舍). ‎ ‎4.指数函数 ‎ (1)指数方程与不等式问题关键是两边化同底.‎ ‎(2)与指数函数有关的值域问题,方法一:复合函数法,转化为利用指数函数的单调性;方法二:换元法.‎ ‎5.对数函数 ‎(1)对数式化简可利用公式logbn=logab将底数和真数均化成最简形式.‎ ‎(2) 对数方程与不等式问题关键是两边化同底.‎ ‎6.零点问题 方法1 数形结合法;‎ 方法2 ‎ 连续函数y=f(x)在区间(a,b)上有f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上至少存在一个零点.反之不一定成立.‎ 二次函数y=f(x)在区间(a,b)上有f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上存在唯一一个零点. ‎ 三、例题分析 第一层次 例1.已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0,且a≠1).‎ ‎(1)当a=2时,求满足不等式f(x)≤2的实数x的取值范围;‎ ‎(2)当a>1时,求函数y=f(x)+f(-x)的最大值.‎ 解:(1)实数x的取值范围为[2,3).‎ ‎(2)函数y=f(x)+f(-x)的最大值为loga49.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法:‎ ‎1.解指(对)数不等式问题:‎ 方法:①利用指(对)数函数的单调性,将不等式转化为代数不等式来解.‎ ‎ ②换元法:转化为代数不等式.‎ ‎2.与指(对)数有关的函数值域:‎ 方法:①考察对应函数(复合函数)的单调性,利用单调性处理.‎ ‎ ②用换元法,转化为几个基本函数的值域问题.‎ ‎ (2)方法选择与优化建议:‎ 对于问题1,学生一般会选择方法①,因为本题既含对数,也含有指数,用换元不能一次转化为代数不等式,所以选择方法①.‎ 对于问题2,学生一般会选择方法②,因为用换元法转化为几个基本函数的值域,处理比较方便,所以选择方法①.‎ 指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响,解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时,首先要看底数的范围.‎ 本题的易错点有两个,一是第一问中的“8-2x>‎0”‎的定义域部分;二是第二问中函数y=f(x)+f(-x)的定义域.‎ 例2.已知函数f(x)=(a∈R)的定义域为R,求关于x的方程=|a-1|+1的根的取值范围.‎ 解: 取值范围为[,18].‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法:‎ ‎1.已知函数的定义域,求参数的范围:‎ 方法 ‎:与求函数的定义域的处理方法一致,将问题转化为已知不等式的解集,再利用对应方程的根已知,求参数的范围.‎ ‎2.分段函数的值域:‎ 方法:①利用函数的图象,求值域.‎ ‎ ②分别求每个区间的值域,再求并集.‎ ‎ (2)方法选择与优化建议:‎ 对于问题2,学生一般会选择方法②,在解答题中,需要解题过程,所以选择方法②.‎ 本题的易错点是最后求得的x的取值范围应该两段函数的值域的并集.‎ 例3.已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.‎ ‎(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;‎ ‎(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.‎ 解:(1)当a>0,b>0时,函数f(x)在R上是增函数.‎ 同理,当a<0,b<0时,函数f(x)在R上是减函数.‎ ‎(2)当a<0,b>0时,x的取值范围为(log1.5,+∞);‎ 当a>0,b<0时,x的取值范围为(-∞,log1.5).‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法:‎ ‎1.讨论函数的单调性问题:‎ 方法:①利用函数的图象;‎ ‎ ②复合函数的单调性;‎ ‎③利用函数单调性的定义.‎ ‎④利用导函数来求函数的单调区间.‎ ‎2.与指(对)数有关的解不等式问题:‎ 方法:①利用函数的单调性,转化为代数不等式.‎ ‎ ②用换元法,依次解几个代数不等式.‎ ‎ (2)方法选择与优化建议:‎ 对于问题1,学生一般会选择方法③或④,因为本题不仅要求判断还需要证明结论,方法①②不能用作证明,所以选择方法③或④.‎ 对于问题2,学生一般会选择方法①,因为本题函数的单调性比较明确,便于转化,所以选择方法①.‎ 本题的易错点是第二问中忽视字母a的符号对不等号的方向的影响.‎ 本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的,“ab>‎0”‎和“ab<‎0”‎的含义是字母a、b同号或异号,因此需要具体到a、b各自的符号.‎ 第二层次 例1.已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0,且a≠1).‎ ‎(1)当a=2时,求满足不等式f(x)≤2的实数x的取值范围;‎ ‎(2)当a>1时,求函数y=f(x)+f(-x)的最大值.‎ 解:(1)实数x的取值范围为[2,3).‎ ‎(2)函数y=f(x)+f(-x)的最大值为loga49.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法:‎ ‎1.解指(对)数不等式问题:‎ 方法:①利用指(对)数函数的单调性,将不等式转化为代数不等式来解.‎ ‎ ②换元法:转化为代数不等式.‎ ‎2.与指(对)数有关的函数值域:‎ 方法:①考察对应函数(复合函数)的单调性,利用单调性处理.‎ ‎ ②用换元法,转化为几个基本函数的值域问题.‎ ‎ (2)方法选择与优化建议:‎ 对于问题1,学生一般会选择方法①,因为本题既含对数,也含有指数,用换元不能一次转化为代数不等式,所以选择方法①.‎ 对于问题2,学生一般会选择方法②,因为用换元法转化为几个基本函数的值域,处理比较方便,所以选择方法①.‎ 指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响,解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时,首先要看底数的范围.‎ 本题的易错点有两个,一是第一问中的“8-2x>‎0”‎的定义域部分;二是第二问中函数y=f(x)+f(-x)的定义域.‎ 例2.已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.‎ ‎(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;‎ ‎(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.‎ 解:(1)当a>0,b>0时,函数f(x)在R上是增函数.‎ 当a<0,b<0时,函数f(x)在R上是减函数.‎ ‎(2)当a<0,b>0时,x的取值范围为(log1.5,+∞);‎ 当a>0,b<0时,x的取值范围为(-∞,log1.5).‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法:‎ ‎1.讨论函数的单调性问题:‎ 方法:①利用函数的图象;‎ ‎ ②复合函数的单调性;‎ ‎③利用函数单调性的定义.‎ ‎④利用导函数来求函数的单调区间.‎ ‎2.与指(对)数有关的解不等式问题:‎ 方法:①利用函数的单调性,转化为代数不等式.‎ ‎ ②用换元法,依次解几个代数不等式.‎ ‎ (2)方法选择与优化建议:‎ 对于问题1,学生一般会选择方法③或④,因为本题不仅要求判断还需要证明结论,方法①②不能用作证明,所以选择方法③或④.‎ 对于问题2,学生一般会选择方法①,因为本题函数的单调性比较明确,便于转化,所以选择方法①.‎ 本题的易错点是第二问中忽视字母a的符号对不等号的方向的影响.‎ 本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的,“ab>‎0”‎和“ab<‎0”‎的含义是字母a、b同号或异号,因此需要具体到a、b各自的符号.‎ 例3.设命题p:函数f(x)=的定义域为R;命题q:不等式3x-9x<a-1对一切正实数x均成立.‎ ‎(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)如果命题p且q为真命题,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)实数a的取值范围为[0,4).‎ ‎(2)实数a的取值范围为[1,4).‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法:‎ ‎1.已知函数的定义域,求参数的范围:‎ 方法:与求函数的定义域的处理方法一致,将问题转化为已知不等式的解集,再利用对应方程的根已知,求参数的范围.‎ ‎2.不等式恒成立问题:‎ 方法:①分离变量转化为求函数的最值.‎ ‎ ②直接求函数的最值,再解不等式;‎ ‎ ③利用函数的图象,观察临界情况,再进行相应的计算.‎ ‎3.复合命题的真假判断:‎ 方法:转化为判断构成复合命题的简单命题的真假,再根据逻辑联结词,来判断.‎ ‎ (2)方法选择与优化建议:‎ 对于问题1,因为它是二次不等式对于任意实数恒成立,只需研究判定式及二次项系数的符号即可;‎ 对于问题2,学生一般会选择方法①,因为本题分离变量较容易,而且对应函数的值域比较容易求,所以选择方法①.‎ 在考查命题p是真命题时,容易漏掉a=0的情况,另外容易出现因为忽视“ax2-ax+‎1”‎出现的位置,在限制条件中将“△>0”错写为“△≥‎0”‎.‎ 第三层次 例1.已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0,且a≠1).‎ ‎(1)当a=2时,求满足不等式f(x)≤2的实数x的取值范围;‎ ‎(2)当a>1时,求函数y=f(x)+f(-x)的最大值.‎ 解:(1)实数x的取值范围为[2,3).‎ ‎(2)函数y=f(x)+f(-x)的最大值为loga49.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法:‎ ‎1.解指(对)数不等式问题:‎ 方法:①利用指(对)数函数的单调性,将不等式转化为代数不等式来解.‎ ‎ ②换元法:转化为代数不等式.‎ ‎2.与指(对)数有关的函数值域:‎ 方法:①考察对应函数(复合函数)的单调性,利用单调性处理.‎ ‎ ②用换元法,转化为几个基本函数的值域问题.‎ ‎ (2)方法选择与优化建议:‎ 对于问题1,学生一般会选择方法①,因为本题既含对数,也含有指数,用换元不能一次转化为代数不等式,所以选择方法①.‎ 对于问题2,学生一般会选择方法②,因为用换元法转化为几个基本函数的值域,处理比较方便,所以选择方法①.‎ 指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响,解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时,首先要看底数的范围.‎ 本题的易错点有两个,一是第一问中的“8-2x>‎0”‎的定义域部分;二是第二问中函数y=f(x)+f(-x)的定义域.‎ 例2.已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.‎ ‎(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;‎ ‎(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.‎ 解:(1)当a>0,b>0时,函数f(x)在R上是增函数.‎ 当a<0,b<0时,函数f(x)在R上是减函数.‎ ‎(2)当a<0,b>0时,x的取值范围为(log1.5,+∞);‎ 当a>0,b<0时,x的取值范围为(-∞,log1.5).‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法:‎ ‎1.讨论函数的单调性问题:方法:①利用函数的图象; ②复合函数的单调性;③利用函数单调性的定义.‎ ‎④利用导函数来求函数的单调区间.‎ ‎2.与指(对)数有关的解不等式问题:‎ 方法:①利用函数的单调性,转化为代数不等式. ②用换元法,依次解几个代数不等式.‎ ‎ (2)方法选择与优化建议:‎ 对于问题1,学生一般会选择方法③或④,因为本题不仅要求判断还需要证明结论,方法①②不能用作证明,所以选择方法③或④.‎ 对于问题2,学生一般会选择方法①,因为本题函数的单调性比较明确,便于转化,所以选择方法①.‎ 本题的易错点是第二问中忽视字母a的符号对不等号的方向的影响.‎ 本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的,“ab>‎0”‎和“ab<‎0”‎的含义是字母a、b同号或异号,因此需要具体到a、b各自的符号.‎ 例3.已知函数f(x)=a-.‎ ‎(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;‎ ‎(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)若函数y=f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求实数a的取值范围.‎ 解:(1)f(x)在(0,+∞)上为增函数.‎ ‎(2)a的取值范围为(-∞,3].‎ ‎(3)a的取值范围为{0}∪(2,+∞).‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法:‎ ‎1.讨论函数的单调性问题:‎ 方法:①利用函数的图象;‎ ‎ ②复合函数的单调性;‎ ‎③利用函数单调性的定义.‎ ‎④利用导函数来求函数的单调区间.‎ ‎2.不等式恒成立问题:‎ 方法:①分离变量转化为求函数的最值. ②直接求函数的最值,再解不等式;‎ ‎ ③利用函数的图象,观察临界情况,再进行相应的计算.‎ ‎ 3.已知函数的值域,求参数的取值:‎ ‎ 方法:借助函数的图象了解函数单调性,再根据函数的单调性找最值来处理.‎ ‎(2)方法选择与优化建议:‎ 对于问题1,学生一般会选择方法③或④,因为本题是证明函数的单调性,方法①②不能用作证明,所以选择方法③或④.‎ 对于问题2,学生一般会选择方法①,因为本题分离变量较容易,而且对应函数的值域比较容易求,所以选择方法①.‎