高考概率文科大题 6页

‎2014年高考文科数学试题分类汇编：概率 一、选择填空题 ‎1．[2014·江西卷3] 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于(　　)‎ A. B. C. D. 【答案】B ‎2．[2014·湖南卷5] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 【答案】B ‎　‎ ‎3．[2014·陕西卷6] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 【答案】B ‎4．[2014·辽宁卷6] 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)‎ ‎ ‎ A. B. C. D. 【答案】B ‎5．[2014·湖北卷5] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则(　　) 【答案】C A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p‎3 ‎‎ C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p‎2 ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎6．[2014·江苏卷4] 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．‎ ‎【答案】　‎ ‎7．[2014·新课标全国卷Ⅱ13] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．【答案】 ‎8．[2014·全国新课标卷Ⅰ13] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．【答案】　‎ ‎9．[2014·浙江卷14] 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．【答案】　‎ ‎10．[2014·广东卷12] 从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．‎ ‎【答案】　‎ ‎11．[2014·福建卷13] 如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．【答案】0.18‎ ‎12．[2014·重庆卷15] 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答) ‎ ‎【答案】 ‎　‎ 二、解答题：‎ ‎1． [2014·天津卷15] 某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：‎ 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．‎ ‎(1)用表中字母列举出所有可能的结果；‎ ‎(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．‎ 解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．‎ ‎(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．‎ 因此，事件M发生的概率P(M)＝＝.‎ ‎2．[2014·四川卷16] 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.‎ ‎(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；‎ ‎(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．‎ 解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为：‎ ‎(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，‎ ‎(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，‎ ‎(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，‎ ‎(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．‎ 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，‎ 则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，‎ 所以P(A)＝＝.‎ 因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.‎ ‎(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，‎ 则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．‎ 所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝.‎ 因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.‎ ‎3．[2014·陕西卷19] 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：‎ 赔付金额(元)‎ ‎0‎ ‎1000‎ ‎2000‎ ‎3000‎ ‎4000‎ 车辆数(辆)‎ ‎500‎ ‎130‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎120‎ ‎(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；‎ ‎(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．‎ 解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.‎ 由于投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为 P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.‎ ‎(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×‎ ‎120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24.由频率估计概率得P(C)＝0.24.‎ ‎4．[2014·福建卷20] 根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：‎ 行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP(单位：美元)‎ A ‎25%‎ ‎8000‎ B ‎30%‎ ‎4000‎ C ‎15%‎ ‎6000‎ D ‎10%‎ ‎3000‎ E ‎20%‎ ‎10 000‎ ‎(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；‎ ‎(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．‎ 解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为 ＝6400(美元)．‎ 因为6400∈[4085，12 616)，‎ 所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．‎ ‎(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：‎ ‎{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．‎ 设事件M为“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”，‎ 则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个．‎ 所以所求概率为P(M)＝.‎ ‎5．[2014·全国卷20] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．‎ ‎(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；‎ ‎(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．‎ 解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.‎ B表示事件：甲需使用设备．‎ C表示事件：丁需使用设备．‎ D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．‎ E表示事件：同一工作日4人需使用设备．‎ F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.‎ ‎(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C×0.52，i＝0，1，2，‎ 所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)‎ ‎＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.‎ ‎(2)由(1)知，若k＝2，则P(F)＝0.31＞0.1，‎ P(E)＝P(B·C·A2)＝P(B)P(C)P(A2)＝0.06.‎ 若k＝3，则P(F)＝0.06＜0.1，‎ 所以k的最小值为3.‎ ‎6．[2014·江西卷21] 将连续正整数1，2，…，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．‎ ‎(1)求p(100)；‎ ‎(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式；‎ ‎(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，‎ S＝{n|h(n)＝1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p(n)的最大值．‎ 解：(1)当n＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)＝.‎ ‎(2)F(n)＝ ‎(3)当n＝b(1≤b≤9，b∈N*)，g(n)＝0；‎ 当n＝10k＋b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N)时，g(n)＝k；‎ 当n＝100时，g(n)＝11，即g(n)＝‎ 1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，‎ 同理有f(n)＝‎ 由h(n)＝f(n)－g(n)＝1，可知n＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，‎ 所以当n≤100时，S＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．‎ 当n＝9时，p(9)＝0.‎ 当n＝90时，p(90)＝＝＝.‎ 当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)＝＝＝，由y＝关于k单调递增，故当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)的最大值为p(89)＝.‎ 又<，所以当n∈S时，p(n)的最大值为.‎ ‎7．[2014·江苏卷22] 盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．‎ ‎(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；‎ ‎(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．‎ 解：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，‎ 所以P＝＝＝.‎ ‎(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4.‎ ‎{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝＝；‎ ‎{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，‎ 或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝＝＝；‎ 于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝.‎ 所以随机变量X的概率分布如下表：‎ X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 因此随机变量X的数学期望 E(X)＝2×＋3×＋4×＝.‎