高考北京理科数学 10页

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷)‎ 本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第一部分(选择题共40分)‎ 一、 选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.‎ 1. 已知集合A={x∈R｜3x+2>0﹜·B={x∈ R｜(x+1)(x-3)>0﹜则A∩B=( )‎ A．（﹣∞，﹣1） B.｛﹣1，-⅔｝ C. ﹙﹣⅔，3﹚ D.（3，＋∝）‎ ‎ 2. 设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点.则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.设a，b∈R.“a=O”是‘复数a+bi是纯虚数”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）‎ A. 2‎ B .4‎ C.8‎ D. 16‎ ‎5.如图. ∠ACB=90º。CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )‎ A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB C. AD·AB=CD ²‎ D.CE·EB=CD ²‎ ‎6.从0，2中选一个数字.从‎1.3.5‎中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )‎ A. 24 B. 18 C. 12 D. 6‎ ‎7.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）‎ A. 28+6 B. 30+6 ‎ C. 56+ 12 D. 60+12 ‎8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为（ ）‎ A.5‎ B.7‎ C.9‎ D.11‎ 第二部分(非选择题共110分)‎ 二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.‎ ‎9.直线(t为参数)与曲线 (“为多α数)的交点个数为 ‎ ‎10.已知﹛﹜等差数列为其前n项和.若=，=，则= ‎ ‎11.在△ABC中，若α=2，b+c=7,=-，则b= ‎ ‎12.在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为 ‎ ‎13.己知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点.则.的值为 ‎ ‎14.已知f(x)=m(x-2m)（x+m+3）,g(x)=-2，若同时满足条件：‎ ‎①x∈R，f(x) ＜0或g(x) ＜0‎ ‎②x∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) ＜0‎ 则m的取值范围是 ‎ 三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 已知函数。‎ （1） 求f（x）的定义域及最小正周期；‎ （2） 求f（x）的单调递增区间。‎ ‎16. （本小题共14分）‎ ‎ 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.‎ （1） 求证：A1C⊥平面BCDE；‎ （2） 若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；‎ （1） 线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？‎ 说明理由 ‎17．（本小题共13分）‎ 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；‎ （1） 试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ （2） 试估计生活垃圾投放错误的概率；‎ （3） 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a﹥0，a+b+c=600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值。‎ ‎（求：，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）‎ ‎18．（本小题共13分）‎ 已知函数f（x）=ax2+1（a>0）,g(x)=x3+bx (1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；‎ (2) 当a2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值，‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)‎ （1） 若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；‎ （2） 设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线。‎ ‎20．（本小题共13分）‎ ‎ 设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。‎ 对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）：‎ 记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。‎ （1） 对如下数表A，求K（A）的值；‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-0.8‎ ‎0.1‎ ‎-0.3‎ ‎-1‎ ‎（2）设数表A∈S（2,3）形如 ‎1‎ ‎1‎ c a b ‎-1‎ 求K（A）的最大值；‎ ‎（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。‎ 答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D D B C A B B C 二、填空题 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎2‎ ‎1；‎ ‎4‎ ‎1；1‎ 三、解答题 ‎15．‎ 解：‎ ‎（1）原函数的定义域为，最小正周期为．‎ ‎（2）原函数的单调递增区间为，‎ ‎16． ‎ 解：‎ ‎（1），‎ 平面，‎ 又平面，‎ 又，‎ 平面 ‎（2）如图建系，则，，，‎ ‎∴,‎ 设平面法向量为 则 ∴ ∴‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴与平面所成角的大小 ‎（3）设线段上存在点，设点坐标为，则 则，‎ 设平面法向量为 则 ∴‎ ‎∴‎ 假设平面与平面垂直 则，‎ ‎∴，，‎ ‎∵‎ ‎∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直 ‎17．‎ ‎（1）由题意可知：‎ ‎（2）由题意可知：‎ ‎（3）由题意可知：，因此有当，，时，有．‎ ‎18．‎ 解：‎ ‎（1）由为公共切点可得：‎ ‎，则，，‎ ‎，则，，‎ ‎①‎ 又，，‎ ‎，即，代入①式可得：．‎ ‎（2），设 则，令，解得：，；‎ ‎，，‎ 原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增 ‎①若，即时，最大值为；‎ ‎②若，即时，最大值为 ‎③若时，即时，最大值为．‎ 综上所述：‎ 当时，最大值为；当时，最大值为．‎ ‎19．‎ ‎（1）原曲线方程可化简得：‎ 由题意可得：，解得：‎ ‎（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，‎ ‎，解得： 由韦达定理得：①，，②‎ 设，，‎ 方程为：，则，‎ ‎，，‎ 欲证三点共线，只需证，共线 即成立，化简得：‎ 将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。‎ ‎20．‎ 解：‎ ‎（1）由题意可知，，，，‎ ‎∴‎ ‎（2）先用反证法证明：‎ 若 则，∴‎ 同理可知，∴‎ 由题目所有数和为 即 ‎∴‎ 与题目条件矛盾 ‎∴．‎ 易知当时，存在 ‎∴的最大值为1‎ ‎（3）的最大值为.‎ 首先构造满足的：‎ ‎，‎ ‎.‎ 经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得.‎ 由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.‎ 设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.‎ 考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于 个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）. 因此 ‎，‎ 故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾. 因此的的最大值为