利用基本不等式解高考选做题 9页

利用基本不等式解高考选做题 引入：用基本不等式证明不等式 用基本不等式证明不等式，要分析不等式的左右结构特征，通过拆(添)项创设一个应用基本不等式的条件．‎ ‎【例1】 已知a，b，c都是实数．‎ 求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.‎ 证明：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥‎2ac，‎ 三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， ①‎ 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， ②‎ 在①式两边同时加上(a2＋b2＋c2)得 ‎3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，‎ 即a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2. ③‎ 在②式两边同时加上2(ab＋bc＋ca)得 ‎(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)，‎ 即(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca. ④‎ ‎∴由③④可得 a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.‎ 方法点评：利用不等式a2＋b2≥2ab和a＋b≥2(a＞0，b＞0)时，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用．‎ 变式训练1．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.‎ 证明：＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝时取等号．‎ 高考衔接 ‎（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））（不等式选讲）‎ 设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ac≤；‎ ‎(2)＋＋≥1.‎ ‎【解题指南】(1)将两边平方，化简整理，借助不等式的性质，即得结论.‎ ‎(2) 证，也即证 可分别证然后相加即得.‎ 证明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥‎2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为＋b≥‎2a，＋c≥2b，＋a≥‎2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c.‎ 所以＋＋≥1.‎ 误区解密　两次或多次应用基本不等式 ‎　　　 　 应注意等号是否同时成立 ‎【例3】 a＞0，b＞0，a＋b＝4，求2＋2的最小值．‎ 错解：2＋2≥2＋2＝4＋4＝8，故2＋2的最小值是8.‎ 正解：∵a＋b＝4，‎ ‎∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab.‎ 又a2＋b2≥2ab，‎ ‎∴16－2ab≥2ab，即ab≤4.‎ ‎∴2＋2≥ ‎＝≥＝.‎ 故2＋2的最小值是.‎ ‎1（2010·辽宁高考理科·Ｔ24）已知均为正数，证明：，‎ 并确定为何值时，等号成立. ‎ ‎【命题立意】本题考查了不等式的性质，考查了均值不等式.‎ ‎【思路点拨】把，分别用均值不等式，相加后，再用均值不等式.‎ ‎【规范解答】证法一:‎ ‎∵‎ ‎…………………………①‎ ‎，‎ ‎∴……………………②‎ ‎……………………③‎ ‎∴原不等式成立.‎ 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当时，③式等号成立.‎ 即当a＝b＝c＝时原式等号成立.‎ 证法二:∵a,b,c都是正数，由基本不等式得 ‎ ‎ ‎∴………………………………①‎ 同理………………………………②‎ ‎∴‎ ‎…………………………………………③‎ ‎∴原不等式成立 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c,时，③式等号成立.‎ 即当a＝b＝c＝时原式等号成立.‎ ‎ (2014年辽宁卷16题)16.对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .‎ 解法1 填－2.(柯西不等式)‎ ‎∵，∴，由柯西不等式得，‎ ‎，‎ 故当|2a＋b|最大时，有，∴，代入已知得，∴，当时，取得最小值为－2.‎ 类似的，还可以这样构造式子：‎ ‎，所以，剩下的步骤和解法1相同.‎ 解法2 填－2.（求解对照）‎ ‎∵，∴，则，‎ 当时，取到等号，即取到最大值，将代入中，解得，下面步骤与解法1步骤一样.‎ 这种解法较为简单，容易理解，所以推荐这种解法.‎ 解法3 填－2.（判别式法）‎ 设t＝2a＋b，则b＝t－2a，代入式子中，整理可得 要保证关于a的方程有解，则△＝，整理解t，，即，而只有△＝0时，等号成立，即使最大，此时，，即，‎ 又，所以，‎ 当时，上式取得最小值，解得，，所以当 ，，时，的最小值为－2.‎ 解法4 填－2. （换元法）‎ ‎∵，∴，设，，则，，代入式子中，所以.当时，等号成立，即，整理得，代入到已知等式中解得，所以 ‎，当时，上式取得最小值，解得，，所以当 ，，时，的最小值为－2.‎ 解法5 填－2.（齐次—均值不等式法）‎ 令，由已知可得，所以 ‎，设，则 ‎.当且仅当即或（舍）时，等式成立，所以，即时，取到最大值，将代入中，解得，下面步骤与其他解法步骤一样.‎ 点评：（1）本题涉及到柯西不等式，二次函数求最值等知识点，‎ ‎（2）解法1涉及4个步骤：构造式子，利用柯西不等式求最值取得的条件，用b表示a，c，代入求最值，得结果；解法2涉及4个步骤：变形化简，利用二次函数求最值取得的条件，用b表示a，c，代入求最值，得结果；解法3涉及5个步骤：设，化简整理，用△判断方程有解的条件，用b表示a，c，代入求最值，得结果；解法4涉及7个步骤：变形，设，化简，求三角函数最值，讨论等号取得的条件，用b表示a，c，代入求最值，得结果；解法5涉及7个步骤：设，比值，化简，用均值定理求最值，判定等号成立条件，用b表示a，c，代入求最值，得结果；从以上步骤过程可以看出不管用哪一个理论都是将要求的问题转化为求二次函数最值问题.‎ ‎（3）可涉及到化归与转化思想等基本思想，考查了抽象概括能力、运算求解能力.‎ ‎（4）柯西不等式是非常著名的不等式，在高中不等式问题中出现越来越多与之有关的应用，柯西不等式往往在解决较为复杂的不等式问题上可以收到事半功倍效果.虽然在考纲和考试说明中对柯西不等式的要求仅为“了解”，但是在2008年，2012年，2013年和2014年等高考考试中均出现了直接或间接对柯西不等式考查的题目，也说明了柯西不等式的重要性.‎ ‎12、已知正实数，若，则的最大值为 A．1 B． C． D． ‎