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- 2021-05-13 发布
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第九章 平面解析几何第7课时 椭 圆(2)
1. 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为______________.
答案:+=1
解析:e=,2a=12,a=6,b=3,则所求椭圆方程为+=1.
2. 已知F1、F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=________.
答案:3
解析:依题意,有
可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故b=3.
3. 已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D, 且=2,则C的离心率为________.
答案:
解析:(解法1)如图,|BF|==a.作DD1⊥y轴于点D1,则由=2,得==,所以|DD1|=|OF|=c,即xD=,由椭圆的第二定义得|FD|=e=a-.又由|BF|=2|FD|,得a=2a-,即e=.
(解法2)设椭圆方程为+=1(a>b,b>0),设D(x2,y2),F分 BD所成的比为2,xF=x2=xF=c;yF=y2===-,代入·+·=1e=.
4. F1,F2是椭圆+y2=1的左右焦点,点P在椭圆上运动.则·的最大值是________.
答案:1
解析:设P(x,y),依题意得F1(-,0),F2(,0),·=(--x)(-x)+y2=x2+y2-3=x2-2.∵ 0≤x2≤4,∴-2≤x2-2≤1.∴ ·的最大值是1.
5. 已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=________.
答案:4
解析:由余弦定理得
cos∠F1PF2=
cos60°=
=,
即|PF1|·|PF2|=4.
1. 椭圆的第二定义
平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e(点F不在直线l上)的点的轨迹是椭圆.定点F是焦点,定直线l是准线,常数e是离心率.
2. 椭圆的焦半径
(1) 对于焦点在x轴上的椭圆+=1(a>b>0),设P(x,y)是椭圆上任一点,则|PF1|=a+ex;|PF2|=a-ex.
(2) 对于焦点在y轴上的椭圆+=1(a>b>0),设P(x,y)是椭圆上任一点,则|PF1|=a+ey;|PF2|=a-ey.
题型1 求综合情况下椭圆的基本量
例1 如图,F1、F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点M在x轴上,且=,过点F2的直线与椭圆交于A、B两点,且AM⊥x轴,·=0.
(1) 求椭圆的离心率;
(2) 若△ABF1的周长为4,求椭圆的方程.
解:(1) 设F1(-c,0),F2(c,0),A(x0,y0),椭圆的离心率为e,则M,x0=c.
∵=e,∴ |AF1|=a+ex0.同理,|AF2|=a-ex0.
∵·=0,∴ AF1⊥AF2,
∴ |AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,
∴(a+ex0)2+(a-ex0)2=4c2, 即a2+e2x=2c2.
∵ x0=c,∴ a2+e2·c2=2c2,
∴ 1+e4=2e2,即3e4-8e2+4=0,
∴ e2=或2(舍),∴椭圆的离心率e=.
(2) ∵ △ABF2的周长为4,∴ 4a=4,
∴ a=.又=,∴ c=2, ∴ b2=2.
∴椭圆方程为+=1.
已知椭圆的右焦点F,左、右准线分别为l1:x=-m-1,l2:x=m+1,且l1、l2分别与直线y=x相交于A、B两点.
(1) 若离心率为,求椭圆的方程;
(2) 当·<7时,求椭圆离心率的取值范围.
解:(1) 由已知,得c=m,=m+1,
从而a2=m(m+1),b2=m.
由e=,得b=c,从而m=1.
故a=,b=1,得所求椭圆方程为+y2=1.
(2)易得A(-m-1,-m-1),B(m+1,m+1),
从而=(2m+1,m+1),=(1,m+1),
故·=2m+1+(m+1)2=m2+4m+2<7,得0b>0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且直线x=4是它的右准线.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设P为椭圆右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线BP与椭圆相交于两点B、N,求证:∠NAP为锐角.
(1) 解:依题意,得解得从而b=,故椭圆的方程为+=1 .
(2) 证明:由(1)得A(-2,0),B(2,0),设N(x0,y0),
∵ N点在椭圆上,∴ y=(4-x).又N点异于顶点A、B,
∴-20,y0≠0,∴·>0,于是∠NAP为锐角.
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,动点M 为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点),设线段FM交椭圆C于点P,已知椭圆C的离心率为,点M的横坐标为.
(1) 求椭圆C的标准方程;
(2) 设直线PA的斜率为k1,直线MA的斜率为k2,求k1·k2的取值范围.
解:(1) 由已知,得解得∴
∴椭圆C的标准方程为+=1.
(2) 设点P(x1,y1)(-20)在直线x=(a为长半轴,c为半焦距)上.
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程;
(3) 设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值,并求出这个定值.
(1) 解:由点M在准线上,得=2,故=2,∴ c=1,从而a=,所以椭圆方程为+y2=1.
(2) 解:以OM为直径的圆的方程为x(x-2)+y(y-t)=0,即(x-1)2+=+1,其圆心为,半径r=,因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2,所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d==,所以=,解得t=4,所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
(3) 证明:设N(x0,y0),则=(x0-1,y0),=(2,t),=(x0-2,y0-t),=(x0,y0).
∵⊥,∴ 2(x0-1)+ty0=0,∴ 2x0+ty0=2.
∵⊥,∴ x0(x0-2)+y0(y0-t)=0,∴ x+y=2x0+ty0=2,∴ ||==为定值.
已知椭圆C:+=1(a>b>0),点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点,直线AB与圆G:x2+y2=(c是椭圆的半焦距)相离,P是直线AB上一动点,过点P作圆G的两切线,切点分别为M、N.
(1) 若椭圆C经过两点、,求椭圆C的方程;
(2) 当c为定值时,求证:直线MN经过一定点E,并求·的值(O是坐标原点);
(3) 若存在点P使得△PMN为正三角形,试求椭圆离心率的取值范围.
(1) 解:令椭圆mx2+ny2=1,其中m=,n=,得所以m=,n=,即椭圆方程为+=1.
(2) 证明:直线AB:+=1,设点P(x0,y0),则OP的中点为,所以点O、M、P、N所在的圆的方程为+=,化简为x2-x0x+y2-y0y=0,与圆x2+y2=作差,即直线MN:x0x+y0y=.
因为点P(x0,y0)在直线AB上,得+=1,
所以x0+=0,即
得x=-,y=,故定点E,
·=·=.
(3) 解:由直线AB与圆G:x2+y2=(c是椭圆的焦半距)相离,则>,即4a2b2>c2(a2+b2),4a2(a2-c2)>c2(2a2-c2),得e4-6e2+4>0.因为0<e<1,所以0<e2<3- ①.连结ON、OM、OP,若存在点P使△PMN为正三角形,则在Rt△OPN中,OP=2ON=2r=c,所以≤c,a2b2≤c2(a2+b2),a2(a2-c2)≤c2(2a2-c2),得e4-3e2+1≤0.因为0<e<1,所以≤e2<1 ②.
由①②得≤e2<3-,所以≤e<.
【示例】(本题模拟高考评分标准,满分14分)
已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).
(1) 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;
(2) 设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.
学生错解:解:(1) 曲线C是焦点在x轴上的椭圆,当且仅当解得2<m<5,所以m的取值范围是(2,5).
(2) 当m=4时,曲线C的方程为x2+2y2=8,点A,B的坐标分别为(0,2),(0,-2).
由得(1+2k2)x2+16kx+24=0.
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=
,x1x2=.
直线BM的方程为y+2=x,点G的坐标为.
因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN=,kAG=-,所以kAN-kAG=+=+=k+=k+=0.
即kAN=kAG.
故A,G,N三点共线.
审题引导: (1) 方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆;
(2) 证明三点共线的常用方法.
规范解答: 解:(1) 曲线C是焦点在x轴上的椭圆,当且仅当(3分)
解得<m<5,所以m的取值范围是.(4分)
(2) 当m=4时,曲线C的方程为x2+2y2=8,点A,B的坐标分别为(0,2),(0,-2).(5分)
由得(1+2k2)x2+16kx+24=0.(6分)
因为直线与曲线C交于不同的两点,所以Δ=(16k)2-4(1+2k2)×24>0,即k2>.(7分)
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=kx1+4,y2=kx2+4,
x1+x2=,x1x2=.(8分)
直线BM的方程为y+2=x,
点G的坐标为.(9分)
因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN=,kAG=-,(11分)
所以kAN-kAG=+=+=k+=k+=0.
即kAN=kAG.(13分)
故A,G,N三点共线.(14分)
错因分析: 易忽视焦点在x轴上,漏掉>
这一条件,从而失误.联立消元后易忽视Δ>0这一前提条件.
1. 已知直线l经过点(1,0)且一个方向向量d=(1,1).椭圆C:+=1(m>1)的左焦点为F1.若直线l与椭圆C交于A,B两点,满足·=0,求实数m的值.
解:由已知可得直线l的方程:y=x-1,左焦点F1(-1,0),设点A(x1,y1),B(x2,y2),整理得:(2m-1)x2-2mx+2m-m2=0.当m>1时,Δ=4m(2m2-4m+2)>0恒成立.
因为=(x1+1,y1),=(x2+1,y2),
所以(x1+1)(x2+1)+y1y2=0.(*)
因为y1=x1-1,y2=x2-1,
所以(*)式化简得:x1x2+1=0.
由此可得+1=0,(m>1),由此解得m=2+.
2. 如图,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(0,1).
(1) 求椭圆的方程;
(2) 过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M、N,求证:直线MN恒过定点P.
(1) 解:由题意知:e==,b=1,a2-c2=1,解得a=2,所以椭圆的标准方程为+y2=1.
(2) 证明:设直线AM的方程为y=kx+1(k≠0),由方程组得(4k2+1)x2+8kx=0,解得x1=-,x2=0,所以xM=-,yM=.用-代替上面的k,可得xN=,yN=.因为kMP===,kNP===,所以kMP=kNP,因为MP、NP共点于P,所以M、N、P三点共线,故直线MN恒过定点P.
3. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A,B分别是椭圆E的左、右顶点,且+5=0.
(1) 求椭圆E的离心率;
(2) 已知点D(1,0)为线段OF2的中点,M为椭圆E上的动点(异于点A、B),连结MF1并延长交椭圆E于点N,连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q,连结PQ,设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2,试问是否存在常数λ,使得k1+λk2=0恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
解:(1) ∵ +5=0,∴=5.∴ a+c=5(a-c),化简得2a=3c,故椭圆E的离心率为.
(2) 存在满足条件的常数λ,λ=-.点D(1,0)为线段OF2的中点,∴c=2,从而a=3,b=,左焦点F1(-2,0),椭圆E的方程为+=1,设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),则直线MD的方程为x=y+1,代入椭圆方程+=1,整理得,y2+y-4=0.∵ y1+y3=,∴ y3=.从而x3=,故点P.同理,点Q.∵三点M、F1、N共线,∴=,从而x1y2-x2y1=2(y1-y2).从而k2=====,故k1-=0,从而存在满足条件的常数λ=-.
4. 如图,正方形ABCD内接于椭圆+=1(a>b>0),且它的四条边与坐标轴平行,正方形MNPQ的顶点M、N在椭圆上,顶点P、Q在正方形的边AB上,且A、M都在第一象限.
(1) 若正方形ABCD的边长为4,且与y轴交于E、F两点,正方形MNPQ的边长为2.
① 求证:直线AM与△ABE的外接圆相切;
②求椭圆的标准方程;
(2) 设椭圆的离心率为e,直线AM的斜率为k,求证:2e2-k是定值.
(1) 证明:① 依题意:A(2,2),M(4,1),E(0,-2),∴=(2,-1),=(-2,-4),∴·=0,∴ AM⊥AE.
∵ AE为Rt△ABE外接圆直径,∴直线AM与△ABE的外接圆相切.
②解:由解得椭圆标准方程为+=1.
(2) 证明:设正方形ABCD的边长为2s,正方形MNPQ的边长为2t,则A(s,s),M(s+2t,t),代入椭圆方程+=1,
得 即
∴ e2=1-=.
∵ k==,
∴ 2e2-k=2为定值.
5. 已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P,A
为上顶点,F为右焦点.点Q(0,t)是线段OA(除端点外)上的一个动点,过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M,以QM为直径的圆的圆心为N.
(1) 求椭圆方程;
(2) 若圆N与x轴相切,求圆N的方程;
(3) 设点R为圆N上的动点,点R到直线PF的最大距离为d,求d的取值范围.
解:(1) ∵ e=,不妨设c=3k,a=5k,则b=4k,其中k>0,故椭圆方程为+=1(a>b>0),∵ P在椭圆上,∴+=1,解得k=1,∴椭圆方程为+=1.
(2) kAP==-,则直线AP的方程为y=-x+4,令y=t(0b>0)经过点M(-2,-1),离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论.
解:(1) 由题设,得+=1,①
且=,②
由①、②解得a2=6,b2=3,
故椭圆C的方程为+=1.
(2) 设直线MP的斜率为k,则直线MQ的斜率为-k,
假设∠PMQ为直角,则k·(-k)=-1,即k=±1.
若k=1,则直线MQ的方程为y+1=-(x+2),
与椭圆C方程联立,得x2+4x+4=0,
该方程有两个相等的实数根-2,不合题意;
同理,若k=-1也不合题意.
故∠PMQ不可能为直角.
记P(x1,y1)、Q(x2,y2).
设直线MP的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C的方程联立,得(1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0,
则-2,x1是该方程的两根,则-2x1=,
即x1=.
设直线MQ的方程为y+1=-k(x+2),
同理得x2=.
因y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2),
故kPQ===
==1,
因此直线PQ的斜率为定值.
3. 已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为(-a,0).若|AB|=,求直线l的倾斜角.
解:(1) 由e==,解得3a2=4c2.
再由c2=a2-b2,解得a=2b.
由题意可知×2a×2b=4,即ab=2.
解方程组得
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2) 由(1) 可知点A(-2,0),设点B的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2).
于是A、B两点的坐标满足方程组
消去y并整理,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0,
由-2x1=,得x1=,从而y1=,
故|AB|==.
由|AB|=,得=.
整理得32k4-9k2-23=0,
即(k2-1)(32k2+23)=0,解得k=±1.
所以直线l的倾斜角为或.
4. 如图,已知△OFQ的面积为S,且·=1.设||=c(c≥2),S=c.若以O为中心,F为一个焦点的椭圆经过点Q,当||取最小值时,求椭圆的方程.
解:以O为原点,所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
设椭圆方程为+=1(a>b>0),Q(x,y).
=(c,0),则=(x-c,y).
∵||·y=c,∴y=.
又∵·=c(x-c)=1,∴x=c+.
则||==(c≥2).
可以证明:当c≥2时,函数t=c+为增函数,
∴当c=2时,||min==,
此时Q.将Q的坐标代入椭圆方程,
得解得∴椭圆方程为+=1.
1. 解决与椭圆几何性质有关的问题时:一是要注意定义的应用;二是要注意数形结合;三是要注意-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用.2. 直线与椭圆位置关系的判断
将直线的方程和椭圆的方程联立,通过讨论此方程组的实数解的组数来确定,即用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定:当Δ>0时,直线和椭圆相交;当Δ=0时,直线和椭圆相切;当Δ<0时,直线和椭圆相离.
3. 直线与椭圆相交时的常见处理方法
当直线与椭圆相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”,设而不求计算弦长;涉及求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题,常用“点差法”设而不求,将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐
标联系起来,相互转化