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- 2021-05-13 发布
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2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析
数学Ⅰ试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,包含填空题(第1题——第14题)、解答题(第15题——第20题)。本卷满分160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。
参考公式:
锥体的体积公式: V锥体=Sh,其中S是锥体的底面积,h是高。
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1、设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=______▲_____.
[解析] 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1.
2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i(其中i为虚数单位),则z的模为______▲_____.
[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等,z的模为2。
3、盒子中有大小相同的3只白球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是_ ▲__.
[解析]考查古典概型知识。
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。
[解析]考查频率分布直方图的知识。
100×(0.001+0.001+0.004)×5=30
5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数,则实数a=_______▲_________
[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数,由g(0)=0,得a=-1。
6、在平面直角坐标系xOy中,双曲线上一点M,点M的横坐标是3,则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______
[解析]考查双曲线的定义。,为点M到右准线的距离,=2,MF=4。
7、右图是一个算法的流程图,则输出S的值是______▲_______
[解析]考查流程图理解。输出。
8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=____▲_____
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak2)处的切线方程为:当时,解得,
所以。
9、在平面直角坐标系xOy中,已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是______▲_____
[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2,
圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1,,的取值范围是(-13,13)。
10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。
[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值,
且其中的x满足6cosx=5tanx,解得sinx=。线段P1P2的长为
11、已知函数,则满足不等式的x的范围是__▲___。
[解析] 考查分段函数的单调性。
12、设实数x,y满足3≤≤8,4≤≤9,则的最大值是 ▲ 。
[解析] 考查不等式的基本性质,等价转化思想。
,,,的最大值是27。
13、在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,,则=____▲_____。
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。
(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。
当A=B或a=b时满足题意,此时有:,,,
,= 4。
(方法二),
由正弦定理,得:上式=
14、将边长为1m正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记,则S的最小值是____▲____。
[解析] 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为,则:
(方法一)利用导数求函数最小值。
,
,
当时,递减;当时,递增;
故当时,S的最小值是。
(方法二)利用函数的方法求最小值。
令,则:
故当时,S的最小值是。
二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15、(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。
(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
(2) 设实数t满足()·=0,求t的值。
[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。满分14分。
(1)(方法一)由题设知,则
所以
故所求的两条对角线的长分别为、。
(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:
E为B、C的中点,E(0,1)
又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4)
故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=;
(2)由题设知:=(-2,-1),。
由()·=0,得:,
从而所以。
或者:,
16、(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。
(1) 求证:PC⊥BC;
(2) 求点A到平面PBC的距离。
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。
(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,所以PD⊥BC。
由∠BCD=900,得CD⊥BC,
又PDDC=D,PD、DC平面PCD,
所以BC⊥平面PCD。
因为PC平面PCD,故PC⊥BC。
(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则:
易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC,
因为PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F。
易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于。
(方法二)体积法:连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。
因为AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900。
从而AB=2,BC=1,得的面积。
由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积。
因为PD⊥平面ABCD,DC平面ABCD,所以PD⊥DC。
又PD=DC=1,所以。
由PC⊥BC,BC=1,得的面积。
由,,得,
故点A到平面PBC的距离等于。
17、(本小题满分14分)
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=,∠ADE=。
(1) 该小组已经测得一组、的值,tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值;
(2) 该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使与之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时,-最大?
[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
(1),同理:,。
AD—AB=DB,故得,解得:。
因此,算出的电视塔的高度H是124m。
(2)由题设知,得,
,(当且仅当时,取等号)
故当时,最大。
因为,则,所以当时,-最大。
故所求的是m。
18、(本小题满分16分)
在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、,其中m>0,。
(1)设动点P满足,求点P的轨迹;
(2)设,求点T的坐标;
(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。
[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。
(1)设点P(x,y),则:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。
由,得 化简得。
故所求点P的轨迹为直线。
(2)将分别代入椭圆方程,以及得:M(2,)、N(,)
直线MTA方程为:,即,
直线NTB 方程为:,即。
联立方程组,解得:,
所以点T的坐标为。
(3)点T的坐标为
直线MTA方程为:,即,
直线NTB 方程为:,即。
分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,
解得:、。
(方法一)当时,直线MN方程为:
令,解得:。此时必过点D(1,0);
当时,直线MN方程为:,与x轴交点为D(1,0)。
所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)。
(方法二)若,则由及,得,
此时直线MN的方程为,过点D(1,0)。
若,则,直线MD的斜率,
直线ND的斜率,得,所以直线MN过D点。
因此,直线MN必过轴上的点(1,0)。
19、(本小题满分16分)
设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数列是公差为的等差数列。
(1)求数列的通项公式(用表示);
(2)设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立。求证:的最大值为。
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分析及论证的能力。满分16分。
(1)由题意知:,
,
化简,得:
,
当时,,适合情形。
故所求
(2)(方法一)
, 恒成立。
又,,
故,即的最大值为。
(方法二)由及,得,。
于是,对满足题设的,,有
。
所以的最大值。
另一方面,任取实数。设为偶数,令,则符合条件,且。
于是,只要,即当时,。
所以满足条件的,从而。
因此的最大值为。
20、(本小题满分16分)
设是定义在区间上的函数,其导函数为。如果存在实数和函数,其中对任意的都有>0,使得,则称函数具有性质。
(1)设函数,其中为实数。
(i)求证:函数具有性质; (ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质。给定设为实数,
,,且,
若||<||,求的取值范围。
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。
(1)(i)
∵时,恒成立,
∴函数具有性质;
(ii)(方法一)设,与的符号相同。
当时,,,故此时在区间上递增;
当时,对于,有,所以此时在区间上递增;
当时,图像开口向上,对称轴,而,
对于,总有,,故此时在区间上递增;
(方法二)当时,对于,
所以,故此时在区间上递增;
当时,图像开口向上,对称轴,方程的两根为:,而
当时,,,故此时在区间 上递减;同理得:在区间上递增。
综上所述,当时,在区间上递增;
当时,在上递减;在上递增。
(2)(方法一)由题意,得:
又对任意的都有>0,
所以对任意的都有,在上递增。
又。
当时,,且,
综合以上讨论,得:所求的取值范围是(0,1)。
(方法二)由题设知,的导函数,其中函数对于任意的都成立。所以,当时,,从而在区间上单调递增。
①当时,有,
,得,同理可得,所以由的单调性知、,
从而有||<||,符合题设。
②当时,,
,于是由及的单调性知,所以||≥||,与题设不符。
③当时,同理可得,进而得||≥||,与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是(0,1)。
数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答。若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A. 选修4-1:几何证明选讲
(本小题满分10分)
AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D作圆O的切线交AB延长线于点C,若DA=DC,求证:AB=2BC。
[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证能力。
(方法一)证明:连结OD,则:OD⊥DC,
又OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO,
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO,
所以∠DCO=300,∠DOC=600,
所以OC=2OD,即OB=BC=OD=OA,所以AB=2BC。
(方法二)证明:连结OD、BD。
因为AB是圆O的直径,所以∠ADB=900,AB=2 OB。
因为DC 是圆O的切线,所以∠CDO=900。
又因为DA=DC,所以∠DAC=∠DCA,
于是△ADB≌△CDO,从而AB=CO。
即2OB=OB+BC,得OB=BC。
故AB=2BC。
B. 选修4-2:矩阵与变换
(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设k为非零实数,矩阵M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求k的值。
[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点,考查运算求解能力。满分10分。
解:由题设得
由,可知A1(0,0)、B1(0,-2)、C1(,-2)。
计算得△ABC面积的面积是1,△A1B1C1的面积是,则由题设知:。
所以k的值为2或-2。
A. 选修4-4:坐标系与参数方程
(本小题满分10分)
在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值。
[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识,考查转化问题的能力。满分10分。
解:,圆ρ=2cosθ的普通方程为:,
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为:,
又圆与直线相切,所以解得:,或。
B. 选修4-5:不等式选讲
(本小题满分10分)
设a、b是非负实数,求证:。
[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证的能力。满分10分。
(方法一)证明:
因为实数a、b≥0,
所以上式≥0。即有。
(方法二)证明:由a、b是非负实数,作差得
当时,,从而,得;
当时,,从而,得;
所以。
[必做题]第22题、第23题,每题10分,共计20分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22、 (本小题满分10分)
某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%;乙产品的一等品率为90%,二等品率为10%。生产1件甲产品,若是一等品则获得利润4万元,若是二等品则亏损1万元;生产1件乙产品,若是一等品则获得利润6万元,若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。
(1) 记X(单位:万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润,求X的分布列;
(2) 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
[解析] 本题主要考查概率的有关知识,考查运算求解能力。满分10分。
解:(1)由题设知,X的可能取值为10,5,2,-3,且
P(X=10)=0.8×0.9=0.72, P(X=5)=0.2×0.9=0.18,
P(X=2)=0.8×0.1=0.08, P(X=-3)=0.2×0.1=0.02。
由此得X的分布列为:
X
10
5
2
-3
P
0.72
0.18
0.08
0.02
(2)设生产的4件甲产品中一等品有件,则二等品有件。
由题设知,解得,
又,得,或。
所求概率为
答:生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。
23、 (本小题满分10分)
已知△ABC的三边长都是有理数。
(1) 求证cosA是有理数;(2)求证:对任意正整数n,cosnA是有理数。
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。
(方法一)(1)证明:设三边长分别为,,∵是有理数,
是有理数,分母为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性,
∴必为有理数,∴cosA是有理数。
(2)①当时,显然cosA是有理数;
当时,∵,因为cosA是有理数, ∴也是有理数;
②假设当时,结论成立,即coskA、均是有理数。
当时,,
,
,
解得:
∵cosA,,均是有理数,∴是有理数,
∴是有理数。
即当时,结论成立。
综上所述,对于任意正整数n,cosnA是有理数。
(方法二)证明:(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
是有理数。
(2)用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。
①当时,由(1)知是有理数,从而有也是有理数。
②假设当时,和都是有理数。
当时,由,
,
及①和归纳假设,知和都是有理数。
即当时,结论成立。
综合①、②可知,对任意正整数n,cosnA是有理数。
高考试题来源:http://www.gaokao.com/zyk/gkst/