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- 2021-05-13 发布
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2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学
第一卷
一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A=
A.(-1,3) B.(-1,0 ) C.(0,2) D.(2,3)
(2)若a实数,且
A.-4 B. -3 C. 3 D. 4
(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下
结论中不正确的是
A.逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著;
B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效;
C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势;
D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。
(4)已知向量
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
(5)设若
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
A. B. C. D.
(7)已知三点,则外接圆的圆心到原点的距离为
A. B. C. D.
(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a为
开始
输入a,b
ab
a>b
输出a
是 否
是 否
结束
b=b-a
a=a-b
A. 0 B. 2 C. 4 D.14
(9)已知等比数列C
A. 2 B. 1 C. D.
(10)已知A,B是球O的球面上两点,若三棱锥O-ABC
体积的最大值为36,则球O的表面积为
A. 36π B. 64π C. 144π D.256π
(11)如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD,与DA运动,记
(12)设函数
A. B. C. D.
第二卷
一、 填空题:本大题共4个小题,每小题5分
(13)已知函数 。
(14)若x,y满足约束条件 。
(15)已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为
。
(16)已知曲线在点(1,1)处的切线与曲线
。
二、 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
(Ⅰ)求 (Ⅱ)若
18. (本小题满分12分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A, B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频 数
2
8
14
10
6
(I)在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,(不要求计算出具体值,给出结论即可)
(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
19. (本小题满分12分)如图,长方体中AB=16,BC=10,,点E,F分别在 上,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由);
(II)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.
20. (本小题满分12分)
已知椭圆 的离心率为,点在C上.
(I)求C的方程;
(II)直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
21. (本小题满分12分)已知.
(I)讨论的单调性;
(II)当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号
22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图O是等腰三角形ABC内一点, ⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.
(I)证明∥.
(II)若AG等于⊙O的半径,且 ,求四边形EDCF的面积.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线 (t为参数,且 ),其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
(I)求与交点的直角坐标;
(II)若与 相交于点A,与相交于点B,求最大值.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式证明选讲
设 均为正数,且.证明:
(I)若 ,则;
(II)是的充要条件.
2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学答案
一、选择题
1、选A
2、解:因为故选D
3、选D
4、选B
5、解:在等差数列中,因为
6、解:如图所示,选D.
7、解:根据题意,三角形ABC是等边三角形,设外接圆的圆心为D,则D(1,)所以,
故选B.
8、解:18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2,
4-2=2,所以a=b=2,故选B.
9、解:因为所以,
故选C.
10、解:因为A,B都在球面上,又所以
三棱锥的体积的最大值为,所以R=6,所以球的表面积为
S=π,故选C.
11、解:如图,当点P在BC上时,
当时取得最大值,
以A,B为焦点C,D为椭圆上两定点作椭圆,显然,当点P在C,D之间移动时PA+PB<.
又函数不是一次函数,故选B.
12、解:因为函数
故选A.
二、填空题
13、答:a=-2
14、解:当x=3,y=2时,z=2x+y取得最大值8.
15、解:设双曲线的方程为
16、解:
一、 解答题
17、解:(Ⅰ)由正弦定理得
再由三角形内角平分线定理得
(Ⅱ)
18、解:(1)B地区频率分布直方图如图所示
比较A,B两个地区的用户,由频率分布直方图可知:
A地区评分均值为45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5分
B地区评分均值为55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5分
A地区用户评价意见较分散,B地区用户评价意见相对集中。
(2)A地区的用户不满意的概率为0.3+0.2+0.1=0.6,
B地区的用户不满意的概率为0.05+0.20=0.25,
所以A地区的用户满意度等级为不满意的概率大。
19、解:(I)在AB上取点M,在DC上取点N,使得AM=DN=10,然后连接EM,MN,NF,即组成正方形EMNF,即平面α。
(II)两部分几何体都是高为10的四棱柱,所以体积之比等于底面积之比,即
20、解、(I)如图所示,由题设得
又点的坐标满足椭圆的方程,所以,
联立解得:
(II)设A,B两点的坐标为
上面两个式子相减得:
(定值)
21、解:已知.
(II)由(1)知,当
选做题:
22、(I)证明:由切线的性质得AE=AF,所以△AEF是等腰三角形,又AB=AC,
所以∥
(II)解:
23.在直角坐标系中,曲线 (t为参数,且 ),其中,
在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
(I)求与交点的直角坐标;
(II)若与 相交于点A,与相交于点B,求最大值.
解:(I)曲线 的直角坐标方程是
(II)曲线
24、证明:(I)因为
由题设知
(II)(必要性)
(充分性)若