数列高考常见题型分类汇总 11页

数列通项与求和 一、数列的通项 方法总结：‎ ‎ 对于数列的通项的变形，除了常见的求通项的方法，还有一些是需要找规律的，算周期或者根据图形进行推理。其余形式我们一般遵循以下几个原则：‎ ‎①对于同时出现,,的式子，首先要对等式进行化简。常用的化简方法是因式分解，或者同除一个式子，同加，同减，取倒数等，如果出现分式，将分式化简成整式；‎ ‎②利用关系消掉（或者），得到关于和的等式，然后用传统的求通项方法求出通项；‎ ‎③根据问题在等式中构造相应的形式，使其变为我们熟悉的等差数列或等比数列；‎ ‎④对于出现或（或更高次时）应考虑因式分解，最常见的为二次函数十字相乘法，提取公因式法；遇到时还会两边同除.‎ 1. 规律性形式求通项 ‎1-1.数列{an}满足an+1=，若a1=，则a2016的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎1-2.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B•曼德尔布罗特（Benoit B．Mandelbrot）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是（　　）‎ A．55 B．89 C．144 D．233‎ ‎1-3.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.出现,,的式子 ‎1-4.正项数列{an}的前项和{an}满足:‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)令,数列{bn}的前项和为.证明:对于任意的,都有.‎ ‎1-5.设数列的前项和为.已知,,.‎ ‎(1) 求的值;‎ ‎(2) 求数列的通项公式.‎ ‎ ‎ ‎1-6.已知首项都是1的两个数列，满足.‎ (1) 令，求数列的通项公式；‎ (2) 若，求数列的前项和.‎ 牛刀小试：‎ ‎1.已知数列{}的前n项和为Sn，＝1，且，数列{}满足，，其前9项和为63.‎ ‎ （1）求数列数列{}和{}的通项公式；‎ ‎2.已知数列的前n项和为,且 ‎ (1)求的通项公式;‎ (2) 设恰有4个元素,求实数的取值范围.‎ ‎3.需构造的（证明题）‎ ‎1-7.已知数列的前项和为,且满足,.‎ ‎(1) 求证:是等差数列;‎ ‎(2)求表达式；‎ ‎1-8.设数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an+1=Sn+3n（n∈N*）．‎ ‎（1）求证：{Sn﹣3n}是等比数列；‎ ‎（2）若{an}为递增数列，求a1的取值范围．‎ 牛刀小试 ‎1．已知数列{}中，，．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前n项和为．‎ ‎2.数列{}中，1，．‎ ‎ （1）求证：数列{}是等差数列； ‎ 二、数列求和与放缩 数列求和的考察无外乎错位相减、裂项相消或者是分组求和等，但有一些通项公式需要化简才可以应用传统的方法进行求和。对于通项公式是分式形式的一般我们尝试把“大”分式分解成次数（分母的次数）相等的“小”分式，然后应用裂项相消的方法进项求和。放缩，怎么去放缩是重点，一般我们不可求和的放缩为可求和的，分式形式，分母是主要化简对象。‎ ‎2-1. 数列满足.‎ ‎（1）设，求数列的通项公式.‎ ‎（2）设，数列的前n项和为，不等式对一切成立，求m的范围.‎ ‎2-2.设数列满足且 ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设 ‎2-3‎ ‎2-4‎ ‎2-5‎ 牛刀小试：‎ ‎1.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．‎ (1) 求数列{an}的通项公式；‎ (2) 令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 三、数列与不等式问题 在这类题目中一般是要证明，一般思路有两种：1.若{an}可求和，则可直接求出其和，再转化为 ，而后一般转化为函数，或单调性来比较大小；2.若{an}不可求和，则利用放缩法转化为可求和数列，再重复1的过程。‎ ‎1.应用放缩法证明，将不规则的数列变成规则的数列，将其放大或是缩小。但如果出界了怎么办（放的太大或缩的太小），一般情况下，我们从第二项开始再放缩，如果还大则在尝试从第三项开始放缩。‎ ‎2.应用数列单调性求数列中的最大或最小项。我们一般将数列中的看做自变量，看做因变量，用函数部分求最值方法来求数列的最值；或者可以利用做商比较大小（一般出现幂时采取这个方法）；也可相减做差求单调性。‎ ‎3-1.设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数，有.‎ ‎3-2．记公差不为0的等差数列的前项和为，，成等比数列．‎ ‎(1) 求数列的通项公式及；‎ ‎(2) 若，n=1，2，3，…，问是否存在实数，使得数列为单调递减数列？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 牛刀小试：‎ ‎1.数列的前项和为，已知，().‎ ‎(1) 求；‎ ‎(2) 求数列的通项；‎ ‎(3)设,数列的前项和为,证明:().‎ ‎2.设数列的前项和为.已知,,.‎ ‎(1) 求的值;‎ ‎(2) 求数列的通项公式;‎ ‎(3) 证明:对一切正整数,有.‎ 3. 数列作业 1. 设数列的前项和为，且，‎ （1） 求数列的通项；‎ （2） 设，数列的前项和为,求证：.‎ ‎2.已知是各项均为正数的等比数列，且 ‎ ‎(I)求数列的通项公式；‎ ‎(II)设数列满足，求数列的前项和。‎ ‎3.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，N.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）是否存在正整数, 使, , 成等比数列? 若存在, 求的值； 若不存在, 请说明理由.‎ 4. 已知为数列的前项和，（），且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的前项和；‎ ‎（3）设数列满足，求证：.‎ 5. 设数列的前项和为，且.‎ （1） 求数列的通项公式；‎ （2） 设数列满足：，又，且数列的前项和为，求证：.‎ ‎6.已知数列{bn}满足3(n＋1)bn＝nbn＋1，且b1＝3.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)已知＝，求证：≤＋＋…＋<1.‎ ‎7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1；数列{bn}满足bn－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N*)，b1＝1.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ ‎8.设等差数列的前n项和为,且,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.‎