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提高高考数学复习效率的若干途径 浙江省杭州高级中学 周顺钿 如何提高高三数学复习的效率，是高三数学复习研讨的一个重要话题。‎ 一、 题组串联，提高概念复习的容量 在进行高三数学复习教学时，前面二年的学习已使学生积累了大量的数学概念、定理、解题方法、数学思想等，这些知识象珍珠般散落在学生的脑海中，需要在高三复习时引导学生将这些知识“联珠成线”，“织线成网”。‎ 以函数的奇偶性为例，它涉及函数的定义域、对应法则、图象特征等，内涵丰富，概念性强，若能以题组的形式予以串联，可大大提高复习效率。‎ ‎1、奇偶函数的定义域必须关于原点中心对称 ‎（1）判断函数的奇偶性，须优先考虑定义域 例1、判断下列函数的奇偶性 ①；‎ ②；‎ ③； ‎ ④；‎ ⑤。‎ ‎（2）已知函数的奇偶性，求参变量的值 例2、已知函数为奇函数，求的值。‎ 例3、设，且，定义在区间内的函数是奇函数。‎ ①求的取值范围；②讨论函数的单调性。（2003年安徽春季高考）‎ ‎2、活用奇偶函数的对应法则 ‎（1）奇偶函数的分拆 例4、函数为奇函数的充要条件是 ，为偶函数的充要条 件是 。‎ 一般地，定义域关于原点对称的函数一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和，则 ； 。‎ 应用：‎ ① 定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，如果，那么（ ）‎ A、；‎ B、；‎ C、；‎ D、；（全国高考）‎ ②已知是偶函数，则 ， 。‎ ③若函数为奇函数，求的值。若为偶函数呢？‎ ④已知，且，求的值。‎ ‎（2）抽象函数的奇偶性 例5、设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ）‎ ‎ (A)是奇函数 (B)是奇函数 ‎ ‎(C) 是偶函数 (D) 是偶函数（2006年辽宁高考）‎ 例6、已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象与函数 ‎ 的图象关于直线对称，则的值为（ ）‎ A、2 B、‎1 ‎‎ C、0 D、不能确定 ‎3、奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称 例7、定义在上的奇函数，当时，。‎ ①求的表达式；②解不等式；③解不等式；‎ ④求的表达式；⑤解不等式。‎ 注：特别地，当时，。‎ 例8、已知是定义在上的奇函数，且在上为一次函数，在上为 二次函数，并且当时，，求的解析式。‎ ‎4、奇偶函数的性质 ‎（1）奇偶函数的和差积商的奇偶性 例9、设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，‎ ‎，且，则不等式的解集是（ ）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎（2）奇偶函数的复合函数的奇偶性 例10、定义在上的偶函数在上为减函数，试解不等式 ‎。‎ 评注：若分类讨论去做，较繁！若用偶函数性质，则立得 ‎，从而避开分类讨论。‎ ‎5、关于奇偶函数的综合问题 例11、已知在上有定义，，且满足有 ‎，对数列。‎ ①证明：在上为奇函数；‎ ②求的表达式；‎ ③是否存在自然数，使得对于任意，有成立？若存在，求出的最小值。（2005年湖北省八校联考）‎ 引申：你能求出通项的表达式吗？‎ ‎6、奇偶函数对称性的推广 ‎①若函数满足（偶函数），则的图像关于直线（轴）对称；‎ 若函数满足，则的图像关于直线对称；‎ 若函数满足，则的图像关于直线对称。‎ ‎②若函数满足（奇函数），则的图像关于原点对称；‎ 若函数满足，则的图像关于点对称；‎ 若函数满足，则的图像关于点对称；‎ ‎③若函数的图像有两条对称轴，则是周期函数，且是它的一个周期；‎ 若函数的图像有两个对称中心，则是周期函数，且是它的一个周期；‎ 若函数的图像有一条对称轴，一个对称中心，则是周期函数，且是它的一个周期；‎ 例12、例6、已知是定义在上的增函数，‎ ‎①用函数单调性的定义证明函数是上的增函数；‎ ‎②当a=0时，试解不等式；‎ ‎③若a=2，（i）请指出函数图像的对称中心点的坐标（无须证明）；（ii）试求满足 的m的取值范围。‎ 在高考复习中，要重视对概念、法则、性质、公式、公理、定理等基础知识的全面梳理与回顾，弄清各知识的内部结构和内在联系。‎ 二、精选范例，通过引申、拓展、探究，提高复习的深广度 ‎“问渠哪得清如许，为有源头活水来”。纵观近三年的高考，数学试题越来越“朴素”，既没有艰深的知识，也没有冷僻的技巧，许多题目取材于课本，由若干基础知识经组合、加工、改造而成，因此，在高三复习时要排除各种复习资料的干扰，抓住主干知识强化复习，精选范例，通过引申、拓展、探究，做到解一题通一片，跳出题海，提高效率。‎ 以下例题取材于人教社高中数学第一册（上）第三章《数列》。‎ ‎1、探究逆命题 我们知道，等差数列的前项和的公式有三种形式：‎ ‎＝。引导学生逆向探究 探究1：若数列的前项和，问数列是不是等差数列？‎ 分析：当时，，‎ ‎（常数）；又，知也适合。‎ 故数列是等差数列。‎ 探究2：若数列的前项和，问数列是不是等差数列？‎ 分析1：由得 ‎，因而，‎ 相减得，变形并递推，有 ‎（常数），故是等差数列。‎ 分析2：由得 ‎，变形并递推，有 ‎，易知数列是等差数列。‎ 评注：探究2是1994年全国高考文科试题，有较强的抽象度，较难找到问题的突破口，与2005年江苏省高考题有异曲同工之妙。‎ ‎2005年江苏省高考题：设数列的前项和为，已知，且 ‎，其中A.B为常数 ‎⑴求A与B的值；‎ ‎⑵证明：数列为等差数列；‎ ‎⑶证明：不等式对任何正整数都成立 ‎2、探寻最优解 P117例4：已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前项和的公式吗？‎ 教材突出基本量思想，采用第二个求和公式解答，复习时鼓励学生尝试一题多解。‎ 方法1 设，则 解得。‎ 评注：公式3比公式2简洁，因此运算也更简便。受公式3启发，有 方法2 令，则数列仍为等差数列，结合公差的两点式，有，在这里，除外，其余都是已知的，一步到位，直接得到了答案。‎ 进一步探寻更一般的规律，可以得到 ‎（1）若是等差数列前项和，则点在同一直线上。‎ ‎（2）若满足，则。‎ 数学探究性问题在培养思维的灵活性和发散性方面有其独特的作用，可以使学生对数学的本质产生一种新的领悟，使学生的认知结构得到有效的发展。‎ ‎3、归纳、引申、拓展 P125第11题：已知是互异的正数，是的等差中项，是的等比中项，与有无确定的大小关系？‎ P136第9题：（1）在与中间插入10个数，使这12个数成等差数列，求这个数列的第6项；‎ ‎（2）已知，在与中间插入10个数，使这12个数成等比数列，求这个数列的第10项。‎ 如将上述两个问题并联，并进行推广，可以得到 已知，在与中间插入个正数，使这个数成等差数列；再在与中间插入个正数，使这个数成等比数列。试比较这两个数列的对应项与的大小。‎ 分析：容易求得，；，。‎ ‎＝，‎ 令，则 从而知为自然数集上的增函数，由不等式的传递性有 ‎，故。‎ 事实上，在直角坐标平面内，点落在与的连线上，点落在经过点的指数型函数的图像上，因为指数型函数的图像是下凸的，故点必在点的上方，即。‎ 这样的材料还有很多，如P115第10题、P125第10题要求学生拓展等差（比）中项的概念，进一步还可以引导学生拓展为：已知是等差（比）数列，若，则（或）。‎ 又如P114第3题：已知一个无穷等差数列的首项为，公差为，‎ ‎（1）将数列中的前项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？‎ ‎（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？‎ ‎（3）取出数列中所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？‎ 这实际上是等差数列的一组性质，它以探究的形式要求学生自己去得到结论。由后两小题还可得到更一般结论：取出等差数列中的所有等距项，组成一个新的数列，则这个新数列仍是等差数列。‎ ‎4、推广一般问题 P110第3题，写出数列的前5项：。此题可要求学生求出它的通项公式，并进一步归纳为一阶线性递推关系：求通项的通法。‎ 数列作为主干知识具有很大的交融性，常与函数、三角、方程、不等式、二项式定理、解析几何等知识综合在一起。尤其是浙江省自主命题的3年，压轴题均为有解析几何背景的递推数列题，因此在复习时应作适当的延伸拓展。‎ 三、关注新教材，提高数学复习的针对性和有效性 根的分布定理是高等数学中数学分析的一个定理：如果连续函数在闭区间上满足，那么方程在开区间上至少有一个实根。上述定理在高等数学中利用极限思想，结合区间套定理进行证明。‎ ‎1993年全国高考压轴题： ‎ 已知关于的实系数二次方程有两个实根。证明 ‎（1）如果，那么且；‎ ‎（1）如果且，那么。‎ ‎2004年高考数学广东卷理科21题：‎ 设函数其中常数m为整数.‎ ‎ (1) 当m为何值时,‎ ‎ (2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0.‎ ‎ 试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,在[e-ｍ-m ,e2ｍ-m ]内有两个实根.‎ ‎2006年高考数学浙江卷理16题：‎ 设f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：‎ ‎(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；‎ ‎(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.‎ 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。（见人民教育出版社普通高中数学课程标准实验教科书《数学（1）》第96页）。这里没有给出连续函数的定义，但以通俗易懂的图象语言表述了根的存在性定理，降低了定理的抽象程度，是数形结合的典范，必将成为高考命题的一个热点，2006年高考数学浙江卷就是一个明确的信号。又如幂函数、算法语言等也是新增的内容，也应引起注意。‎ 希望大家关注新教材，以提高数学复习的针对性和有效性