高考数学二轮复习压轴小题抢分练三 13页

压轴小题抢分练(三)‎ 压轴小题集训练,练就能力和速度,筑牢高考满分根基!‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知数列{an}满足a1=1,an+1-an≥2(n∈N*),则 (　　)‎ A.an≥2n+1　　 B.Sn≥n2‎ C.an≥2n-1　　 D.Sn≥2n-1‎ ‎【解析】选B.由题得a2-a1≥2,a3-a2≥2,a4-a3≥2,…,an-an-1≥2,所以a2-a1+ a3-a2+a4-a3+…+an-an-1≥2(n-1),所以an-a1≥2(n-1),所以an≥2n-1.所以a1≥1,a2≥3,a3≥5,…,an≥2n-1,所以a1+a2+a3+…+an≥1+3+5+…+2n-1,所以Sn≥(1+ 2n-1)=n2.‎ ‎2.如图,三棱锥P-ABC中,△PAB,△PBC均为正三角形,△ABC为直角三角形,斜边为AC,M为PB的中点,则直线AM,PC所成角的余弦值为 (　　)‎ A.- B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选B.如图,取BC的中点N,连接MN,AN,易得MN∥PC,则MN,AM所成的角即为直线AM,PC所成的角.设AB=2,则AN=,MN=1,AM=.在△AMN中,由余弦定理,得cos∠AMN==-,所以直线AM,PC所成角的余弦值为.‎ ‎3.把函数f(x)=log2(x+1)的图象向右平移一个单位,所得图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称;已知偶函数h(x)满足h(x-1)=h(-x-1),当x∈[0,1]时,‎ h(x)=g(x)-1;若函数y=k·f(x)-h(x)有五个零点,则k的取值范围是 (　　)‎ A.(log32,1)　　 B.[log32,1)‎ C.　　 D.‎ ‎【解析】选C.曲线f(x)=log2(x+1)右移一个单位,‎ 得y=f(x-1)=log2x,‎ 所以g(x)=2x,h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1),‎ 则函数h(x)的周期为2.‎ 当x∈[0,1]时,h(x)=2x-1,‎ y=kf(x)-h(x)有五个零点,等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.‎ 绘制函数图象如图所示,‎ 由图象知kf(3)<1且kf(5)>1,即,‎ 求解不等式组可得:log620,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,Q为双曲线C渐近线上一点,P,Q均位于第一象限,且2=,·=0,则双曲线C的离心率为 (　　)‎ A.-1　　 B.+‎1　‎　 C.-2　　 D.+2‎ ‎【解析】选C.设Q(at,bt)(t>0),P(m,n),‎ 注意到∠F1QF2=90°,从而OQ=c,‎ 故b2t2+a2t2=c2,即t=1,‎ 故=(m-a,n-b),=(c-m,-n).‎ 因为2=,‎ 所以解得 代入双曲线方程,则有-=1,‎ ‎=-2.‎ ‎7.已知函数y=x2的图象在点(x0,)处的切线为l,若l也与函数y=ln x,x∈(0,1)的图象相切,则x0必满足 (　　)‎ A.0,y=ln x的切线为y=x-1+ln x1,l为y=2x0x-,‎ 故=1-ln ,-1-ln 2x0=0.‎ 令h(x)=x2-1-ln 2x,‎ 则h()=1-ln 2<0,h()=2-ln 2>0,‎ 由零点存在定理得x0∈(,),选D.‎ ‎8.已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,当取最小值时,a+b-c的最大值为 ‎ (　　)‎ A.2　　 B.　　 C.　　 D.‎ ‎【解析】选C.正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,可得c=a2-ab+4b2,‎ ‎==+-1≥2-1=3.‎ 当且仅当a=2b时取得等号,‎ 则a=2b时,取得最小值,且c=6b2,‎ 所以a+b-c=2b+b-6b2=-6b2+3b=-6+‎ 当b=时,a+b-c有最大值为.‎ ‎9.设实数m>0,若对任意的x≥e,不等式x2ln x-m≥0恒成立,则m的最大值是 ‎(　　)‎ A.　　 B.　　 C.2e　　 D.e ‎【解析】选D.不等式x2ln x-m≥0 ⇔x2ln x≥m⇔xln x≥ ⇔‎ ln xeln x≥,‎ 设f(x)=xex(x>0),则f′(x)=(x+1)ex>0,‎ 所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.‎ 因为>0,ln x>0,所以≤ln x,‎ 即m≤xln x对任意的x≥e恒成立,‎ 此时只需m≤(xln x)min.‎ 设g(x)=xln x (x≥e),g′(x)=ln x+1 >0(x≥e),‎ 所以g(x)在[e,+∞)上为增函数,‎ 所以g(x)min=g(e)=e,‎ 所以m≤e,即m的最大值为e.‎ ‎10.已知F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是椭圆上位于第一象限内的点,延长PF2交椭圆于点Q,若PF1⊥PQ,且|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为 ‎(　　)‎ A.2-　　 B.-　　 C.-1　　 D.-‎ ‎【解析】选D.由PF1⊥PQ且|PF1|=|PQ|,可得△PQF1为等腰直角三角形,‎ 设|PF1|=t,|QF1|=t,即有2t+t=‎4a,‎ 则t=2(2-)a,‎ 在直角△PF‎1F2中,可得t2+(‎2a-t)2=‎4c2,‎ 化为c2=(9-6)a2,可得e==-.‎ ‎11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B‎1C1D1内有两个球O1,O2相外切,球O1与面ABB‎1A1、面ABCD、面ADD‎1A1相切,球O2与面BCC1B1、面CC1D1D、面B‎1C1D‎1A1相切,则两球表面积之和的最大值与最小值的差为 (　　)‎ A.(2-)π　　 B.‎ C.(3-)π　　 D.‎ ‎【解析】选A.设球O1,O2的半径分别为r1,r2,‎ 由题意得r1+r1+r2+r2=,‎ 所以r1+r2=,令a=.‎ 表面积和为S,所以S=4π+4π,‎ 所以=+=+(a-r1)2=2+,‎ 又r1最大时,球O1与正方体六个面相切,且(r1)max=,(r1)min=-=.‎ 所以r1∈.‎ 又<<,所以当r1=时,=,‎ 当r1=或时,=a2-a+,‎ 所以-=-a+‎ ‎==.所以两球表面积之和的最大值与最小值的差为(2-)π.‎ ‎12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,则a的取值范围是 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选D.设g(x)=ex(2x-1),h(x)=ax-a,‎ 由题意,知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线 h(x)=ax-a的下方.‎ 因为g′(x)=ex(2x+1),所以当x<-时,g′(x)<0,‎ 当x>-时,g′(x)>0,所以g(x)在上单调递减,‎ 在上单调递增,‎ 作出g(x)与h(x)的大致图象,如图所示,‎ 故即 所以≤a<1.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.在平面四边形ABCD中,AB⊥AC,AD⊥CD,AB=3,AC=8,则BD的最大值为________. ‎ ‎【解析】根据题意,画出相应的四边形,‎ 设∠CAD=α,则有AD=8cos α ,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠DAB ‎=9+64cos2α-48cos αcos ‎=24sin 2α+32cos 2α+41‎ ‎=40sin(2α+φ)+41,其中cos φ=,‎ 所以其最大值为81,所以BD的最大值为9.‎ 答案:9‎ ‎14.已知Sn为正项数列{an}的前n项和,2Sn=an+(n∈N*),记数列{}的前n项和为Tn,则的最小值为________. ‎ ‎【解析】由题意结合2Sn=an+,‎ 当n=1时,‎2a1=a1+,结合a1>0可得:a1=1;‎ 当n=2时,2(a1+a2)=a2+,‎ 结合a2>0可得:a2=-1;‎ 当n=3时,2(a1+a2+a3)=a3+,‎ 结合a3>0可得:a3=-;‎ 猜想an=‎ 以下用数学归纳法进行证明:‎ 当n=1,n=2时,结论是成立的,‎ 假设当n≥2时,数列{an}的通项公式为:ak=-,则Sk=,‎ 由题意可知:2Sk+1=ak+1+,‎ 结合假设有:2(+ak+1)=ak+1+,‎ 解得:ak+1=-,‎ 综上可得数列{an}的通项公式是正确的.‎ 据此可知:Sn=,=n,‎ 利用等差数列前n项和公式可得:Tn=,‎ 则==++,‎ 结合对勾函数的性质可知,当n=3或n=4时,取得最小值,‎ 当n=3时=++=,‎ 当n=4时=++=,‎ 由于<,据此可知的最小值为.‎ 答案:‎ ‎15.如图,在△ABC中,BC=2,∠ABC=,AC的垂直平分线DE与AB,AC分别交于D,E两点,且DE=,则BE2=________.  ‎ ‎【解析】由题意知DE垂直平分AC,所以∠A=∠ACD,‎ 故∠BDC=2∠A,所以==,‎ 故CD=.‎ 又DE=CDsin∠ACD=CDsin A==,‎ 所以cos A=,而A∈(0,π),故A=,‎ 因此△ADE为等腰直角三角形,所以AE=DE=.‎ 在△ABC中,∠ACB=,所以=,‎ 故AB=+1,‎ 在△ABE中,BE2=(+1)2+-2×(+1)××=+.‎ 答案:+‎ ‎16.在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-1)2+y2=2,圆C2:(x-m)2+(y+m)2=m2.圆C2上存在点P 满足:过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点为A,B,△ABP的面积为1,则正数m的取值范围是____________.  ‎ ‎【解析】如图,由圆C1:(x-1)2+y2=2,圆C2:(x-m)2+(y+m)2=m2,‎ 得C1(1,0),C2(m,-m),‎ 设圆C2上点P,则PA2=PG·PC1,‎ 而PA2=P-2,‎ 所以P-2=PG·PC1,则PG=,‎ AG==‎ ‎=,‎ 所以S△PAB=2···‎ ‎==1.‎ 令=t(t≥0),‎ 得t3-t2-4=0,解得:t=2.‎ 即=2,所以PC1=2.‎ 圆C2:(x-m)2-(y+m)2=m2上点P到C1距离的最小值为|C‎1C2|-m=-m,‎ 最大值为|C‎1C2|+m=+m,‎ 由-m≤2≤+m,‎ 得 解①得:3-2≤m≤3+2,‎ 解②得:m≤-3或m≥1.‎ 取交集得:1≤m≤3+2.‎ 所以正数m的取值范围是[1,3+2].‎ 答案:[1,3+2]‎