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- 2021-05-13 发布
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第二章 函数、导数及其应用
第一节函数及其表示
基础盘查一 函数的有关概念
(一)循纲忆知
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)函数是建立在其定义域到值域的映射( )
(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点( )
(3)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数( )
(5)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．(人教A版教材复习题改编)函数f(x)＝的定义域是________________．
答案：[4,5)∪(5，＋∞)
3．已知函数y＝f(n)，满足f(1)＝2，且f(n＋1)＝3f(n)，n∈N*，则f(4)＝________.
答案：54
基础盘查二 分段函数
(一)循纲忆知
了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)函数f(x)＝是分段函数( )
(2)若f(x)＝
则f(－x)＝( )
答案：(1)√ (2)√
2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的________，其值域等于各段函数的值域的
________．
答案：并集 并集
3．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.
答案：
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
1．函数的定义
设A、B为两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)．
2．函数的三要素
[题组练透]
1．下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝x－1与y＝ B．y＝与y＝
C．y＝4lg x与y＝2lg x2 D．y＝lg x－2与y＝lg
答案：D
2．下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.
[类题通法]
两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．
|(常考常新型考点——多角探明)
[多角探明]
函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴.
常见的命题角度有：
(1)求给定函数解析式的定义域；
(2)求抽象函数的定义域；
(3)已知定义域确定参数问题.
角度一：求给定函数解析式的定义域
1．函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的定义域为________．
解析：由⇒⇒0＜x≤2，
故所求函数的定义域为(0,2]．
答案：(0,2]
2．(2013·安徽高考)函数y＝ln＋的定义域为________．
解析：要使函数有意义，需即
即解得00，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x>1.
(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(4)在f(x)＝2f－1中，
用代替x，得f＝2f(x)－1，
将f＝－1代入f(x)＝2f－1中，
可求得f(x)＝＋.
[类题通法]
求函数解析式常用的方法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(4)消去法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．
[演练冲关]
1．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
解：法一：设t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1，x≥1.
法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1，＋1≥1，
即f(x)＝x2－1，x≥1.
2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，
∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.
又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，解得c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
[提醒] 分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
[典题例析]
1．已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：选B 由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，
解得b＝1.
f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝.
故f(－3)＝－3＋1＝9，
从而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
2．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析：当a>0时，1－a<1,1＋a>1.
这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－.
不合题意，舍去．
当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.
综上可知，a的值为－.
答案：－
[类题通法]
分段函数“两种”题型的求解策略
(1)根据分段函数解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围
应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
[提醒] 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
[演练冲关]
(2015·榆林二模)已知f(x)＝
使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．
解析：由题意知或
解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故x的取值范围是[－4,2]．
答案：[－4,2]
一、选择题
1．(2015·大同调研)设全集为R，函数f(x)＝ln的定义域为M，则∁RM＝( )
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]
解析：选C 由f(x)＝ln，得到>0，
即(x＋1)(x－1)<0，
解得－1f(3)( )
(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”( )
(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)( )
(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
2．(人教A版教材习题改编)函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为________．
答案：[2,4]
3．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则k的取值范围是________．
答案：
基础盘查二 函数的最值
(一)循纲忆知
1．理解函数最大值、最小值及其几何意义．
2．会运用函数图象理解和研究函数的最值．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)所有的单调函数都有最值( )
(2)函数y＝在[1,3]上的最小值为( )
答案：(1)× (2)√
2．(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，则函数的最大值为________．
答案：2
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
1．定义法
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1f(x2)．
2．导数法
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减．
[题组练透]
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
解析：选C 当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．故选C.
2．讨论函数f(x)＝(a＞0)在x∈(－1,1)上的单调性．
解：设－1＜x1＜x2＜1，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，a>0，
∴x2－x1＞0，x1x2＋1＞0，(x－1)(x－1)＞0.
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)>f(x)2，
故函数f(x)在(－1,1)上为减函数．
[类题通法]
对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：
(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．
(2)可导函数则可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
[典题例析]
求下列函数的单调区间：
(1)y＝－x2＋2|x|＋1；
(2)y＝log(x2－3x＋2)．
解：(1)由于
y＝
即y＝
画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝logu与u＝x2－3x＋2的复合函数．
令u＝x2－3x＋2＞0，则x＜1或x＞2.
∴函数y＝log(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝，且开口向上．
∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．
而y＝logu在(0，＋∞)上是单调减函数，
∴y＝log(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
[类题通法]
求函数的单调区间与确定单调性的方法一致
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
[演练冲关]
1．若将典例(1)中的函数变为“y＝|－x2＋2x＋1|”，则结论如何？
解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－，1)和(1＋，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－)和(1,1＋)．
2．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝取函数f(x)＝2－|x|.当k＝时，求函数fk(x)的单调递增区间．
解：由f(x)>，得－10
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：选B ∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，
∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0，
即f(x1)<0，f(x2)>0.
角度三：解函数不等式
3．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )
A．(8，＋∞) B．(8,9]
C．[8,9] D．(0,8)
解析：选B 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有
解得8＜x≤9.
角度四：利用单调性求参数的取值范围或值
4．已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B.
C．(－∞，2] D.
解析：选B 由题意可知，函数f(x)是R上的减函数，
于是有
由此解得a≤，
即实数a的取值范围是 .
[类题通法]
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．
一、选择题
1．(2014·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
解析：选A 显然y＝是(0，＋∞)上的增函数；y＝(x－1)2在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y＝2－x＝x在x∈R上是减函数；y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数，故选A.
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
解析：选A 由于f(x)＝|x－2|x＝
结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．
3．(2015·黑龙江牡丹江月考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则( )
A．ff，即f>f>f.
4.定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a0.
∵x1＋x2<0，∴x1<－x2<0.
由f(x)＋f(－x)＝0知f(x)为奇函数．
又由f(x)在(－∞，0)上单调递增得，f(x1)1，即|x|<1，且x≠0.故－10且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：任设x10，x1－x2<0，
∴f(x1)0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.
综上所述知a的取值范围是(0,1]．
12．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
解：(1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，
故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则>1，由于当x>1时，f(x)<0，
所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，
因此f(x1)0)的周期函数( )
答案：(1)√ (2)√
2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.
答案：－1
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
函数的奇偶性的定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)[或f(－x)＝－f(x)]，那么函数f(x)就叫做偶函数(奇函数)．
[提醒] 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
[题组练透]
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝
解：(1)∵由得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，
不关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为R，
∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
∴f(x)＝＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，
则当x<0时，－x>0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
[类题通法]
判定函数奇偶性的常用方法及思路
1．定义法：
2．图象法：
3．性质法：
(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；
(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；
(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．
[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．
|(题点多变型考点——全面发掘)
[必备知识]
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
[一题多变]
[典型母题]
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求函数的最小正周期；
(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．
[解] (1)∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)的最小正周期为4.
(2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，
f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
又∵f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0.
[题点发散1] 本例条件若改为：设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2.试计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)的值．
解：因为f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2.
又f(0)＝0，f(1)＝1，
所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 014)＝0，
f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 015)＝1，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝1 008.
[题点发散2] 若本例中条件变为“f(x＋2)＝－”，求函数f(x)的最小正周期．
解：∵对任意x∈R，都有f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－＝－＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
[题点发散3] 在本例条件下，求f(x)(x∈[2,4])的解析式．
解：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，
由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，
又f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
[类题通法]
1．判断函数周期性的两个方法
(1)定义法．
(2)图象法．
2．周期性三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.(a>0)
[提醒] 应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．
|(常考常新型考点——多角探明)
[多角探明]
高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查.
归纳起来常见的命题角度有：
(1)单调性与奇偶性结合；
(2)周期性与奇偶性结合；
(3)单调性、奇偶性与周期性结合.
角度一：单调性与奇偶性结合
1．(2015·洛阳统考)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( )
A．y＝x2 B．y＝2|x|
C．y＝log2 D．y＝sin x
解析：选C 函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝log2＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y＝sin x不是偶函数．综上所述，选C.
2．已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
解：∵f(x)的定义域为[－2,2]，
∴解得－1≤m≤.①
又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，
∴f(x)在[－2,2]上递减，
∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1，
解得－2g(0)>g(－1)．
答案：f(1)>g(0)>g(－1)
10．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．
解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a.②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
答案：－10
三、解答题
11．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×＝4.
(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，
单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．
第四节函数的图象
基础盘查一 利用描点法作函数图象
(一)循纲忆知
会利用描点法作一些函数图象(如y＝sin x)．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)函数f(x)＝与g(x)＝的图象相同( )
(2)点(0,0)，，(1,1)，(2,8)为y＝x3的关键点( )
答案：(1)× (2)√
2．函数y＝(a>1)的图象的大致形状是( )
答案：A
基础盘查二 利用图象变换法作函数图象
(一)循纲忆知
能用变换法作函数图象，并会运用函数图象理解和研究函数的性质．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同( )
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同( )
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称( )
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称( )
(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
2．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
答案：C
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
描点法作函数图象的基本步骤：列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；
最后：描点，连线．
[题组练透]
分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)y＝图象如图1.
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图2.
(3)y＝图象如图3.
[类题通法]
画函数图象的一般方法
1．直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；
2．图象变换法．变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换．
(1)平移变换：
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b.
(2)伸缩变换：
y＝f(x)y＝f(ωx)；
y＝f(x)y＝Af(x)．
(3)对称变换：
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x)．
(4)翻折变换：
y＝f(x)y＝f(|x|)；
y＝f(x)y＝|f(x)|.
|(重点保分型考点——师生共研)
[典题例析]
1．(2015·海淀区期中测试)函数f(x)＝2x＋sin x的部分图象可能是( )
解析：选A 因为x∈R，f(－x)＝－2x－sin x＝－f(x)，所以函数图象关于原点对称，又f′(x)＝2＋cos x＞0，所以函数单调递增，因此选A.
2.已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
解：选B 法一：由y＝f(x)的图象知
f(x)＝
当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，
所以f(2－x)＝
故y＝－f(2－x)＝
法二：当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；
当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.
观察各选项，可知应选B.
[类题通法]
识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
[演练冲关]
1．已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是( )
解析：选D 先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；
作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；
y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；
y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D不正确．
综上所述，选D.
2.如图，不规则四边形ABCD中：AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是( )
解析：选C 当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢，故选C.
3.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f的值等于________．
解析：∵由图象知f(3)＝1，
∴＝1.∴f＝f(1)＝2.
答案：2
|(常考常新型考点——多角探明)
[多角探明]
函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.
归纳起来图象的应用常见的命题角度有：
(1)研究函数的性质；
(2)确定方程根的个数；
(3)求参数的取值范围；
(4)求不等式的解集.
角度一：研究函数的性质
1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析：选C 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
角度二：确定方程根的个数
2．(2015·日照一模)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
解析：方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
答案：5
角度三：求参数的取值范围
3．(2014·山东高考)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C．(1,2) D．(2，＋∞)
解析：选B 在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y＝kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y＝x－1的斜率时符合题意，故0，
在上y＝cos x<0.
由f(x)的图象知在上<0，
因为f(x)为偶函数，y＝cos x也是偶函数，
所以y＝为偶函数，
所以<0的解集为∪.
答案：∪
[类题通法]
1．利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域；上下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性；对称性对应奇偶性．
2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
3．有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解．
一、选择题
1．函数y＝e1－x2的图象大致是( )
解析：选C 易知函数f(x)为偶函数，因此排除A，B；又因为f(x)＝e1－x2＞0，故排除D，因此选C.
2．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点( )
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
解析：选A y＝2xy＝2x－3y＝2x－3－1.故选A.
3．(2015·海淀区期中测试)下列函数f(x)图象中，满足f＞f(3)＞f(2)的只可能是( )
解析：选D 因为f＞f(3)＞f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除A，B.在C中，f＜f(0)＝1，f(3)＞f(0)，即f＜f(3)，排除C，选D.
4．设函数F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，且是函数F(x)的一个单调递增区间．将函数F(x)的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G( x)的图象，则G(x)的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，∴F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，∴F(x)
为偶函数，∴为函数F(x)的一个单调递减区间．将F(x)的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G(x)的图象，则G(x)的一个单调递减区间是.
5．(2015·成都模拟)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选D f(x)为奇函数，所以不等式<0化为<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
6.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(0,1) D．(－∞，＋∞)
解析：选A x≤0时，
f(x)＝2－x－1，
00时，f(x)是周期函数，
如图所示．
若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，
故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)，故选A.
二、填空题
7.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝log f(x)有意义，
由函数f(x)的图象知满足f(x)>0的x∈(2,8]．
答案：(2,8]
8．函数f(x)＝的图象的对称中心为________．
解析：因为f(x)＝＝1＋，故f(x)的对称中心为(0,1)．
答案：(0,1)
9．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为____________．
解析：当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b，
则得∴y＝x＋1.
当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1，
∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.
答案：f(x)＝
10．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是____________．
解析：如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
三、解答题
11．已知函数f(x)＝
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．
解：(1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)由图象可知，
函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．
(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，
当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.
12．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，
即2－y＝－x－＋2，
∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－.
∵g(x)在(0,2]上为减函数，
∴1－≤0在(0,2]上恒成立，
即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，
∴a＋1≥4，即a≥3，
故a的取值范围是[3，＋∞)．
命题点一 函数的概念及其表示 命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低 题型：选择题、填空题
1．(2014·山东高考)函数f(x)＝的定义域为( )
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
解析：选C 由题意可知x满足(log2x)2－1>0，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或00，则x的取值范围是________．
解析：由题可知，当－20，f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，若f(x－1)>0，则－1g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2，故选B.
4．(2013·四川高考)函数y＝的图象大致是( )
解析：选C 因为函数的定义域是非零实数集，所以A错；当x<0时，y>0，所以B错；当x→＋∞时，y→0，所以D错，故选C.
5．(2012·天津高考)已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________________．
解析：因为函数y＝＝又函数y＝kx－2的图象恒过点(0，－2)，根据图象易知，两个函数图象有两个交点时，03－2a>0或3－2a1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
2．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(x)，求g(x)．
解：∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴对称轴为直线x＝1，
∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，
∴应进行讨论．
当－21时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.
综上，g(x)＝
角度二：二次函数中恒成立问题
3．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，求实数a的取值范围．
解：2ax2＋2x－3＜0在[－1,1]上恒成立．
当x＝0时，适合；
当x≠0时，a＜2－，因为∈(－∞，－1]
∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a＜.
综上，实数a的取值范围是.
角度三：二次函数的零点问题
4．已知关于x的二次函数f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t.
(1)求证：对于任意t∈R，方程f(x)＝1必有实数根；
(2)若＜t＜，求证：函数f(x)在区间(－1,0)及上各有一个零点．
证明：(1)∵f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t，
∴f(x)＝1⇔(x＋2t)(x－1)＝0，(*)
∴x＝1是方程(*)的根，即f(1)＝1.
因此x＝1是f(x)＝1的实根，即f(x)＝1必有实根．
(2)当＜t＜时，f(－1)＝3－4t＞0，
f(0)＝1－2t＝2＜0，
f＝＋(2t－1)＋1－2t＝－t＞0.
又函数f(x)的图象连续不间断．
因此f(x)在区间(－1,0)及上各有一个零点．
[类题通法]
二次函数图象与性质问题解题策略
1．对于二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式问题，应对参数分类讨论，分类讨论的标准就是二次项系数与0的关系．
2．当二次函数的对称轴不确定时，应分类讨论，分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、中、右三种情况．
3．求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．
一、选择题
1．(2015·湖北孝感调研)函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是( )
A．－1 B．2
C．3 D．－1或2
解析：选B f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数⇒m2－m－1＝1⇒m＝－1或m＝2.又x∈(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.
2．(2015·阿克苏3月模拟)已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表，则不等式f(|x|)≤2的解集是( )
x
1
f(x)
1
A．{x|－4≤x≤4} B．{x|0≤x≤4}
C．{x|－≤x≤} D．{x|0＜x≤}
解析：选A 由题意知＝α，
∴α＝，∴f(x)＝x，
由|x|≤2，得|x|≤4，故－4≤x≤4.
3．(2015·洛阳统考)设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝( )
A．56 B．112
C．0 D．38
解析：选B 由二次函数图象的性质得，当3≤x≤20时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝112.
4．(2015·北京西城期末)定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x2－x，则当x∈[－2，－1]时，f(x)的最小值为( )
A．－ B．－
C．－ D．0
解析：选A 设x∈[－2，－1]，则x＋2∈[0,1]，则f(x＋2)＝(x＋2)2－(x＋2)，又f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝2f(x＋1)＝4f(x)，∴f(x)＝(x2＋3x＋2)，∴当x＝－时，取最小值为－.
5．(2015·吉林松原月考)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，已知f(m)＜0，则( )
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)＞0 D．f(m＋1)＜0
解析：选C ∵f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a＞0，
∴f(x)的大致图象如图所示．
由f(m)＜0，得－1＜m＜0，
∴m＋1＞0，∴f(m＋1)＞f(0)＞0.
6．已知函数f(x)＝则“－2≤a≤0”是“f(x)在R上单调递增”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当a＝－1时，f(x)＝作出图象可知，函数f(x)在R上不是单调递增函数，所以充分性不满足；反之，若函数f(x)在R上是单调递增函数，则当a＝0时满足，当a≠0时，－≤1，a＜0且－≥1，解得－≤a＜0，即－≤a≤0.所以能够推出－2≤a≤0，故“－2≤a≤0”是“函数f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件．
二、填空题
7．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________________．
解析：依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，
又其图象过点(0,1)，
∴4a－1＝1，∴a＝.
∴f(x)＝(x－2)2－1.
答案：f(x)＝(x－2)2－1
8．对于任意实数x，函数f(x)＝(5－a)x2－6x＋a＋5恒为正值，则a的取值范围是________．
解析：由题意可得
解得－4＜a＜4.
答案：(－4,4)
9．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝x－＝(x＞0)，易知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)，
∴解得
∴3＜a＜5.
答案：(3,5)
10．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．
解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，
当x∈[2,3]时，
y＝x2－5x＋4∈，
故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象有两个交点．
答案：
三、解答题
11．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
解：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，而m与m＋1中必有一个为偶数，
∴m2＋m为偶数，
∴函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
(2)∵函数f(x)的图象经过点(2，)，
∴＝2，即2＝2，
∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1，f(x)＝x.
又∵f(2－a)＞f(a－1)，
∴解得1≤a＜，
故函数f(x)的图象经过点(2，)时，m＝1.
满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围为.
12．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故⇒⇒
当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故⇒⇒
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，∴≤2或≥4.
∴m≤2或m≥6.
故m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．
第六节指数与指数函数
基础盘查一 根式
(一)循纲忆知
理解根式的概念并能化简．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)与()n都等于a(n∈N*)( )
(2)当n∈N*时，()n都有意义( )
(3)＝4－π( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．化简(a>0，b>0)的结果为____________．
答案：ab－1
基础盘查二 有理数指数幂
(一)循纲忆知
理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)分数指数幂a可以理解为个a相乘( )
(2)(－1)＝(－1)＝( )
答案：(1)× (2)×
2．(人教A版教材习题改编)
(1)2××＝________.
(2)(2a)(－6ab)÷(－3ab)＝________.
答案：(1)6 (2)4a
基础盘查三 指数函数的图象与性质
(一)循纲忆知
1．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
2．知道指数函数是一类重要的函数模型．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数( )
(2)若am0且a≠1)，则m1)的值域是(0，＋∞)( )
(5)函数y＝ax－1(a>0且a≠1)恒过点(1,1)( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．(人教A版教材习题改编)已知0.2m<0.2n，则m______n(填“>”或“<”)．
答案：>
3．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是__________．
答案：(1,2)
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
(1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ar s(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
[提醒] 有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．
[题组练透]
求值与化简：
(1)0＋2－2·－(0.01)0.5；
(2)a·b－2·(－3ab－1)÷(4a·b－3)；
(3)
解：(1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝－ab－3÷(4a·b－3)
＝－ab－3÷(ab)
＝－a·b.
＝－·＝－.
(3)原式＝＝a·b＝.
[类题通法]
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
(1)当a＞1时，指数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，指数函数的图象“下降”．
(2)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，且函数图象经过第一、二象限．
[典题例析]
1．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
解析：选D 法一：当00，且a≠1)的图象必过点(－1,0)，所以选D.
2．(2015·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
答案：[－1,1]
[类题通法]
指数函数图象的画法及应用
(1)画指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
[演练冲关]
1．(2015·北京模拟)在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图象之间的关系是( )
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
解析：选A ∵y＝x＝2－x，
∴它与函数y＝2x的图象关于y轴对称．
2．若将典例2中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．
解：曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．
|(常考常新型考点——多角探明)
[必备知识]
指数函数的性质
(1)定义域是R；
(2)值域是(0，＋∞)；
(3)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1；
(4)当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R上是减函数．
[多角探明]
高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题.
归纳起来常见的命题角度有：
(1)比较指数式的大小；
(2)简单的指数方程或不等式的应用；
(3)探究指数型函数的性质.
角度一：比较指数式的大小
1．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
解析：∵y＝x(x>0)为增函数，∴a>c.
∵y＝x(x∈R)为减函数，∴c>b，∴a>c>b.
答案：a>c>b
角度二：简单的指数方程或不等式的应用
2．设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：选C 当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为a－7＜1，即a＜8，即a＜－3，
因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；
当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1，
所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)，故选C.
角度三：探究指数型函数的性质
3．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)由指数函数的性质知，
要使y＝g(x)的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．
故a的值为0.
[类题通法]
指数函数的性质及应用问题解题策略
(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．
一、选择题
1．函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )
解析：选B f(x)＝故选B.
2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
解析：选C 由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.可知C正确．
3．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
解析：选A 由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b>c；因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.
4．(2015·太原一模)函数y＝2x－2－x是( )
A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
解析：选A 令f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，排除C，D.
又函数y＝－2－x，y＝2x均是R上的增函数，
故y＝2x－2－x在R上为增函数．
5．(2015·丽水模拟)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,1) B．(－4,3)
C．(－1,2) D．(－3,4)
解析：选C 原不等式变形为m2－m＜x，
∵函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，
∴x≥－1＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m＜x恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.
6．(2015·济宁三模)已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0
C．2－a＜2c D．2a＋2c＜2
解析：选D 作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
∵a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，结合图象知
00的解集是(1，＋∞)，由1－>0，可得2x>a，故x>log2a，由log2a＝1得a＝2.
答案：2
8．(2015·南昌一模)函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
解析：∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，
∴0＜23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，
∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8)．
答案：[0,8)
9．定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]的长度的最大值为________，最小值为________．
解析：由3|x|＝1得x＝0，由3|x|＝9得x＝±2，故满足题意的定义域可以为[－2，m](0≤m≤2)或[n,2](－2≤n≤0)，故区间[a，b]的最大长度为4，最小长度为2.
答案：4 2
10．(2015·济宁月考)已知函数f(x)＝(a－2)ax(a＞0，且a≠1)，若对任意x1，x2∈R，＞0，则a的取值范围是__________________．
解析：当0＜a＜1时，a－2＜0，y＝ax单调递减，所以f(x)单调递增；当1＜a＜2时，a－2＜0，y＝ax单调递增，所以f(x)单调递减；当a＝2时，f(x)＝0；当a＞2时，a－2＞0，y＝ax单调递增，所以f(x)单调递增．又由题意知f(x)单调递增，故a的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．
答案：(0,1)∪(2，＋∞)
三、解答题
11．化简下列各式：
(1)0.5＋0.1－2＋－3π0＋；
(2)÷ .
解：(1)原式＝＋＋－3＋
＝＋100＋－3＋＝100.
(2)原式＝ ÷
＝ ÷
＝a÷a＝a＝a.
12．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x＜0时，f(x)＝0，无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，
得2·22x－3·2x－2＝0，
看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－，
∵2x＞0，∴x＝1.
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0，
∴m≥－(22t＋1)，
∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故m的取值范围是[－5，＋∞)．
第七节对数与对数函数
基础盘查一 对数与对数运算
(一)循纲忆知
理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3( )
(2)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN( )
(3)logax·logay＝loga(x＋y)( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．(人教A版教材习题改编)计算：
(1)log35－log315＝________.
(2)log23·log34·log45·log52＝________.
答案：(1)－1 (2)1
基础盘查二 对数函数的图象与性质
(一)循纲忆知
1．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．
2．知道对数函数是一类重要的函数模型．
3．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0且a≠1)．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数( )
(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数( )
(3)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同( )
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(人教A版教材习题改编)函数y＝的定义域为________．
答案：
3．函数y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图象经过定点A，则A点坐标是________．
答案：(1,0)
4．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是________(填序号)．
答案：②
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
对数的运算
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)；
(2)loga＝logaM－logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)；
(3)logaMn＝nlogaM(a>0，且a≠1，M>0，n∈R)；
(4)对数换底公式：logbN＝(a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0)；
(5)对数恒等式：a＝N(a>0，a≠1，N>0)．
[提醒] 在应用logaMn＝nlogaM时，易忽视M >0.
[题组练透]
1．(2013·陕西高考)设a，b，c均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
解析：选B 利用对数的换底公式进行验证，logab·logca＝·logca＝logcb，则B对．
2．计算下列各题：
(1)lg＋lg 70－lg 3－；
(2)log3·log5[4－(3)－7]．
解：(1)原式＝lg －＝lg 10－＝1－|lg 3－1|＝lg 3.
(2)原式＝log3 ·log5[2log210－(3)－7]
＝·log5(10－3－2)
＝·log55＝－.
[类题通法]
对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，
然后正用对数运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
|(题点多变型考点——全面发掘)
[必备知识]
对数函数图象的特点
(1)当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；
当00，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．
[一题多变]
[典型母题]
当01时不满足条件，当0，所以a的取值范围为.
法二：∵04x>1，
∴01时，显然不成立；
当01时，在(0，＋∞)上是增函数；当00得－1b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．b>a>c
解析：选A ∵a＝3>1,0b>c，故选A.
2．已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( )
A. B.
C．2 D．4
解析：选C 显然函数y＝ax与y＝logax在[1,2]上的单调性相同，因此函数f(x)＝ax＋logax在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝(a＋loga1)＋(a2＋loga2)＝a＋a2＋loga2＝loga2＋6，故a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)．故选C.
3．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
B．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选A 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A.
一、选择题
1．(2015·内江三模)lg－8＝( )
A． B．－
C．－ D．4
解析：选B lg －8＝lg 10－(23)＝－4＝－.
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析：选A f(x)＝logax，∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.
3．(2014·天津高考)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
解析：选D 函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D.
4．(2015·福州模拟)函数y＝lg|x－1|的图象是( )
解析：选A 因为y＝lg|x－1|＝
当x＝1时，函数无意义，故排除B、D.
又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．
5．(2015·长春质检)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(3)1，f(1)0时，f(x)＝lg ＝lg＝lg，令t(x)＝x＋，x>0，则t′(x)＝1－，可知当x∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，即在x＝1处取到最小值为2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.
答案：①③④
三、解答题
11．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
解：(1)要使函数f(x)有意义．
则解得－11时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，
所以f(x)>0⇔>1，解得00的x的解集是(0,1)．
12．设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
解：由题意知f(x)＝(logax＋1)·(logax＋2)
＝(logx＋3logax＋2)
＝2－.
当f(x)取最小值－时，logax＝－.
又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得．
若2－＝1，则a＝2，
此时f(x)取得最小值时，
x＝(2)＝∉[2,8]，舍去．
若2－＝1，则a＝，
此时f(x)取得最小值时，x＝＝2∈[2,8]，符合题意，∴a＝.
第八节函数与方程
基础盘查一 函数的零点
(一)循纲忆知
1．了解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系．
2．掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点( )
(2)若f(x)在(a，b)上有零点，一定有f(a)·f(b)<0( )
(3)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案：B
3．函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则k的取值范围是________．
答案：
基础盘查二 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
(一)循纲忆知
结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点( )
(2)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是(－2,0)( )
答案：(1)√ (2)√
2．函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为________．
答案：－，，1,2
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．
[题组练透]
1．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析：选C 因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝－log24＝－＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．
2．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
解析：选C 由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得00，∴f(1)·f(8)<0，
又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，
故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]存在零点．
法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，
∴(x－6)(x＋3)＝0.
∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]存在零点．
答案：存在
[类题通法]
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，
再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
1．函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
[典题例析]
1．(2013·天津高考)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝x.
设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．
2．(2014·福建高考)函数f(x)＝ 的零点个数是________．
解析：当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x>0时，f′(x)＝2＋＞0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln 2＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
答案：2
[类题通法]
判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
[演练冲关]
1．函数f(x)＝sin(πcos x)在区间[0,2π]上的零点个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 令f(x)＝0，得πcos x＝kπ(k∈Z)⇒cos x＝k，所以k＝0,1，－1.若k＝0，则x＝或x＝；若k＝1，则x＝0或x＝2π；若k＝－1，则x＝π，故零点个数为5.
2．(2015·北京丰台二模)函数f(x)＝x－x的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 令f(x)＝0，得x＝x，在平面直角坐标系中分别画出函数y＝x与y＝x的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B.
|(题点多变型考点——全面发掘)
[一题多变]
[典型母题]
若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为________．
[解析] 令g(x)＝xln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点．g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)<0，即ln x<－1，可解得00，即ln x>－1，可解得x>，所以，当0时，函数g(x)单调递增，由此可知当x＝时，g(x)min＝－.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－2，
∴f(1)·f(2)<0，
∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，
∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．
法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，
可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
2．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内( )
A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根 D．没有实数根
解析：选C 由f(x)在[－1,1]上是增函数，且f·f<0，知f(x)在上有唯一零点，所以方程f(x)＝0在[－1,1]上有唯一实数根．
3．(2015·河北质检)若f(x)是奇函数，且x0是y＝f(x)＋ex的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点( )
A．y＝f(－x)ex－1 B．y＝f(x)e－x＋1
C．y＝exf(x)－1 D．y＝exf(x)＋1
解析：选C 由已知可得f(x0)＝－ex0，则e－x0f(x0)＝－1，e－x0f(－x0)＝1，故－x0一定是y＝exf(x)－1的零点．
4．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，f(x)＝f(2－x)，且函数y＝f(x)在区间[0,1]内有且只有一个零点，则y＝f(x)在区间[0,2 014]上的零点的个数为( )
A．2 012 B．1 006
C．2 014 D．1 007
解析：选C 由f(x＋1)＝f(x－1)可得函数f(x)为周期为2的周期函数，由f(x)＝f(2－x)可得f(x)的图象关于直线x＝1对称，由函数y＝f(x)在区间[0,1]上有且只有一个零点，可知函数y＝f(x)在区间[1,2]上有一个零点，又f(x)在区间[0,2 014]上有1 007个周期，故有2 014个零点．
5．已知函数f(x)＝x2－bx＋a的图象如图所示，则函数g(x)＝ln x＋f′(x)的零点所在的区间是( )
A. B.
C．(1,2) D．(2,3)
解析：选B 由题图可知f(x)的对称轴x＝∈，则1＜b＜2，易知g(x)＝ln x＋2x－b，则g＝－2ln 2＋－b＜0，g＝－ln 2＋1－b＜0，g(1)＝2－b＞0，故g(x)的零点所在的区间是.
6．(2015·湖北八校联考)已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
解析：选A 当00和k<0作出函数f(x)的图象．当01或k<0时，没有交点，故当01)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度( )
(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻( )
(4)幂函数增长比直线增长更快( )
(5)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
答案：2ln 2 1 024
基础盘查二 常见的几种函数模型
(一)循纲忆知
了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)不存在x0，使ax00)．当 －＝0，即x＝4时，L取得最大值21.5.
故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．
答案：4
9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根据题意有
3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，
即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，
令t＝1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，
解得t≥或者t≤－(舍去)，
故1＋x%≥，解得x≥20.
答案：20
10．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－b t(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝ae－8b＝a，故e－8b＝.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器内沙子只有开始时的八分之一．
答案：16
三、解答题
11．(2015·湖北鄂州月考)如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)作PQ⊥AF于Q，
所以PQ＝(8－y)米，
EQ＝(x－4)米．
又△EPQ∽△EDF，
所以＝，即＝.
所以y＝－x＋10，
定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，
则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，
S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增．
所以当x＝8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．
12．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，
当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0a＝log37>1，b＝21.1>2，c＝0.83.1<1，所以c1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当00)单调递增，函数g(x)＝logax单调递减，且过点(1,0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知B错，因此选D.
4．(2013·浙江高考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析：选A 由f(0)＝f(4)知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c对称轴为x＝2，即－＝2.所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)且f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，则抛物线开口方向朝上，知a>0，故选A.
5. (2014·安微高考)－＋log3＋log3＝________.
解析：原式＝－＋log3＝－3＝.
答案：
6．(2014·重庆高考)函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．
解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.
答案：－
7．(2014·湖南高考)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax 是偶函数，则a＝________.
解析：函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得ln＝2ax＝ln e2ax，即＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.
答案：－
8．(2014·天津高考)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．
解析：画出函数f(x)＝|x2＋3x|的大致图象，如图，令g(x)＝a|x－1|，则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有且仅有4个不同的交点，显然a>0.联立消去y，得x2＋(3－a)x＋a＝0，
由Δ>0，解得a<1或a>9；联立消去y，得x2＋(3＋a)x－a＝0，由Δ>0，解得a>－1或a<－9.
综上，实数a的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)．
答案：(0,1)∪(9，＋∞)
命题点二 函数与方程 命题指数：☆☆☆☆
难度：高、中 题型：选择题、填空题
1．(2014·湖北高考)已知f(x) 是定义在 R上的奇函数，当x≥0时， f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3 的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
解析：选D 当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；当x<0时，由f(x)是奇函数得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3得x＝－2－(正根舍去)．
2．(2014·北京高考)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析：选C 因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．
3．(2014·江苏高考)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
解析：函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，即函数y＝f(x)，x∈[－3,4]与y＝a的图象有10个不同交点．作出函数y＝f(x)在[－3,4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝，观察图象可得00是f(x)为增函数的充要条件( )
(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”( )
答案：(1)× (2)×
2．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝ex－x的减区间为________．
答案：(－∞，0)
3．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．
答案：3
基础盘查二 函数的极值与导数
(一)循纲忆知
了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的( )
(2)函数的极大值不一定比极小值大( )
(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．(人教A版教材例题改编)函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值为________．
答案：
基础盘查三 函数的最值与导数
(一)循纲忆知
会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)函数的极大值一定是函数的最大值( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值( )
(3)函数f(x)＝在区间[－1,1]上有最值( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．(人教A版教材例题改编)函数f(x)＝x3－4x＋4在[0,3]的最小值为________．
答案：－
第一课时 导数与函数的单调性
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
函数的单调性
在区间(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．
f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．
[典题例析]
(2014·大纲卷节选)函数f(x)＝ln(x＋1)－(a>1)．讨论f(x)的单调性．
解：f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
f′(x)＝.
①当10，f(x)在(－1，a2－2a)内是增函数；
若x∈(a2－2a,0)，则f′(x)<0，f(x)在(a2－2a,0)内是减函数；
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
②当a＝2时，f′(x)≥0，f′(x)＝0成立当且仅当x＝0，f(x)在(－1，＋∞)内是增函数．
③当a>2时，若x∈(－1,0)，则f′(x)>0，f(x)在(－1,0)内是增函数；
若x∈(0，a2－2a)，则f′(x)<0，f(x)在(0，a2－2a)内是减函数；
若x∈(a2－2a，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(a2－2a，＋∞)内是增函数．
[类题通法]
导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤
(1)求f′(x)；
(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；
(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数．
[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
[演练冲关]
(2015·兰州、张掖联考)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴．
(1)确定a与b的关系；
(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．
解：(1)依题意得g(x)＝ln x＋ax2＋bx，
则g′(x)＝＋2ax＋b.
由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得：g′(1)＝1＋2a＋b＝0，
∴b＝－2a－1.
(2)由(1)得
g′(x)＝＝.
∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴当a＝0时，g′(x)＝－.
由g′(x)＞0得0＜x＜1，由g′(x)＜0得x＞1，
即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当a＞0时，令g′(x)＝0得x＝1或x＝，
若＜1，即a＞，由g′(x)＞0得x＞1或0＜x＜，
由g′(x)＜0得＜x＜1，
即函数g(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减；
若＞1，即0＜a＜，由g′(x)＞0得x＞或0＜x＜1，由g′(x)＜0得1＜x＜，
即函数g(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；
若＝1，即a＝，在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0，
即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可得：当a＝0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当00，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．
[类题通法]
求函数的单调区间的“两个”方法
方法一
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
方法二
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
[演练冲关]
(2015·北京西城模拟)已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a＞0)．
(1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
解：(1)函数f(x)的定义域为R.
由已知得f′(x)＝－a.
∵函数y＝f(x)的导函数是奇函数，
∴f′(－x)＝－f′(x)，即－a＝－＋a，
解得a＝.
(2)由(1)f′(x)＝－a＝1－－a.
①当a≥1时，f′(x)＜0恒成立，
∴a∈[1，＋∞)时，函数y＝f(x)在R上单调递减．
②当0＜a＜1时，由f′(x)＞0得(1－a)(ex＋1)>1，
即ex＞－1＋，解得x＞ln，
当0＜a＜1时，由f′(x)＜0得(1－a)(ex＋1)＜1，
即ex＜－1＋，解得x＜ln.
∴a∈(0,1)时，函数y＝f(x)在上单调递增，在上单调递减．
|(题点多变型考点——全面发掘)
[一题多变]
[典型母题]
已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝3x2－a.
①当a≤0时，f′(x)≥0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a＞0时，令3x2－a＝0得x＝±；
当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
因此f(x)在，上为增函数，在上为减函数．
综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；
当a＞0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数．
(2)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即a
的取值范围为.
[题点发散1] 函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
解：因为f′(x)＝3x3－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，
所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，
所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，
即a的取值范围为.
[题点发散2] 函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．
解：由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立．
因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.
即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数．
[题点发散3] 函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．
解：由例题可知，
f(x)的单调递减区间为，
∴＝1，即a＝3.
[题点发散4] 函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
解：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.
由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)．
∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，
∴0＜＜1，得0＜a＜3，
即a的取值范围为(0,3)．
[类题通法]
已知函数单调性，求参数范围的两个方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．
[提醒] f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
[A卷——夯基保分]
一、选择题
1．(2015·苏中八校学情调查)函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( )
A．(0,1) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：选A 函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，所以单调递减区间是(0,1)．
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：选D ∵f(x)＝(x－3)·ex，
则f′(x)＝ex(x－2)，令f(x)＞0，得x＞2.
∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．
3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．
4．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)e2＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意当x∈[－1,1]时，f′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．
令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，则有
即解得a≥.
5．(2015·洛阳统考)已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝ex＋sin x，则( )
A．f(1)＜f(2)＜f(3) B．f(2)＜f(3)＜f(1)
C．f(3)＜f(2)＜f(1) D．f(3)＜f(1)＜f(2)
解析：选D 由f(x)＝f(π－x)，得f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，由f(x)＝ex＋sin x得函数在上单调递增，又－<π－3<1<π－2<，∴f(π－2)＞f(1)＞f(π－3)，∴f(2)＞f(1)＞f(3)．
6．(2015·湛江一模)若函数f(x)＝x＋(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间上单调递增的是( )
A．(－2,0) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)
解析：选D 由题意知，f′(x)＝1－，∵函数f(x)＝x＋(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－＝0时，b＝x2，又x∈(1,2)，∴b∈(1,4)，令f′(x)＞0，解得x＜－或x＞，即f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，∵b∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D.
二、填空题
7．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
解析：由f(x)＝x3－15x2－33x＋6得f′(x)＝3x2－30x－33，令f′(x)＜0，即3(x－11)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜11，所以函数f(x)的单调减区间为(－1,11)．
答案：(－1,11)
8．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________．
解析：在(0,2π)上有f′(x)＝1－cos x>0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．
答案：单调递增
9．函数f(x)＝的单调递增区间是______________．
解析：由导函数f′(x)＝＝＞0，
得cos x＞－，
所以2kπ－0时，由f′(x)>0得，x>2a或x<0，
由于此时02a时，f(x)为增函数，x<0时，f(x)为增函数；
由f′(x)<0得，00得，x>0或x<2a，由于此时2a0时，f(x)为增函数．
由f′(x)<0得，2a0时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2a，＋∞)，单调减区间为(0，a)，(a,2a)．
当a<0时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，2a)，(0，＋∞)，单调减区间为(2a，a)，(a,0)．
(2)①当a≤0时，由(1)可得，f(x)在(1,2)上单调递增，且x∈(1,2)时，x≠a.
②当0<2a≤1时，即00，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
[提醒] 可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．
[多角探明]
函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题.
归纳起来常见的命题角度有：
(1)知图判断函数极值；
(2)已知函数求极值；
(3)已知极值求参数.
角度一：知图判断函数极值
1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析：选D 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
角度二：已知函数求极值
2．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．
解：(1)由于f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
则f′(1)＝3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3；
f′(2)＝12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
所以f(x)＝x3－x2－3x＋1，f′(x)＝3x2－3x－3，
于是有f(1)＝－，f′(1)＝－3，
故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
(2)由(1)知g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，
则g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x，
令g′(x)＝0得x＝0或x＝3，于是函数g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减．
所以函数g(x)在x＝0处取得极小值g(0)＝－3，在x＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.
角度三：已知极值求参数
3．设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2，若f(x)在x＝1处取得极值，则a的值为________．
解析：由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
且f′(x)＝－2ax－1＝，
由题意得：f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，得a＝－，
又当a＝－时，f′(x)＝＝，
当01时，f′(x)>0，
所以f(1)是函数f(x)的极小值，所以a＝－.
答案：－
[类题通法]
利用导数研究函数极值的一般流程
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
函数的最值
(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数
f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
[提醒]
函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．
[典题例析]
(2015·洛阳统考)已知函数f(x)＝＋kln x，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值．
解：因f(x)＝＋kln x，
f′(x)＝＋＝.
①若k＝0，则f′(x)＝－在上恒有f′(x)<0，
∴f(x)在上单调递减．
∴f(x)min＝f(e)＝，f(x)max＝f＝e－1.
②若k≠0，f′(x)＝＝.
①若k<0，则在上恒有<0，
∴f(x)在上单调递减，
∴f(x)min＝f(e)＝＋kln e＝＋k－1，
f(x)max＝f＝e－k－1.
②若k>0，由k<，得>e，则x－<0，
∴<0，∴f(x)在上单调递减．
∴f(x)min＝f(e)＝＋kln e＝＋k－1，
f(x)max＝f＝e－k－1.
综上，当k＝0时，f(x)min＝，f(x)max＝e－1；
当k≠0且k<时，f(x)min＝＋k－1，f(x)max＝e－k－1.
[类题通法]
求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
[演练冲关]
设函数f(x)＝aln x－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在上的最大值．
解：(1)f′(x)＝－2bx，
∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
∴解得
(2)由(1)得f(x)＝ln x－x2，
则f′(x)＝－x＝，
∵当≤x≤e时，令f′(x)>0得≤x<1；
令f′(x)<0，得10)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．
解：(1)f′(x)＝
＝，
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，
因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．
又因为a>0，所以－30，即f′(x)>0，
当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，
所以f(x)的单调增区间是(－3,0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．
(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有
解得a＝1，b＝5，c＝5，
所以f(x)＝.
因为f(x)的单调增区间是(－3,0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，
所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，
故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者．
而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，
所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.
[类题通法]
求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
[演练冲关]
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0， ①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，
可得4a＋3b＋4＝0， ②
由①②，解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4.
所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：
x
－3
(－3，－2)
－2
1
f′(x)
＋
＋
0
－
0
＋
＋
f(x)
8
13
4
13，最小值为.
[A卷——夯基保分]
一、选择题
1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( )
A. B．－
C．－ln 2 D．ln 2
解析：选B 令y′＝2x＋x·2xln 2＝0，∴x＝－.
2．(2015·济宁一模)函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( )
A. B．1
C．0 D．不存在
解析：选A f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1; 令f′(x)<0，得00，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.
5．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( )
A. B.
C. D．1
解析：选D ∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1.当x∈(0,2)时，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0得x＝，又a>，∴0<<2.当00，f(x)在上单调递增；当x>时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减，∴f(x)max＝f＝ln－a·＝－1，解得a＝1.
6．(2015·山东日照月考)如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④⑤ D．③
解析：选D 当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，①错；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，②错；当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值，④错；当x＝－时，函数y＝f(x)无极值，⑤错．故选D.
二、填空题
7．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．
解析：f′(x)＝x2＋2x－3，
令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，
又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，
故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－.
答案：－
8．(2015·东北八校月考)已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．
解析：∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，
∴⇒
∴f′(x)＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，
∴f(x)极大值－f(x)极大值＝f(0)－f(2)＝4.
答案：4
9．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________．
解析：令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，
则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
从而解得
所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)．
答案：(－1,1)
10．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a0； ②f(0)f(1)<0；
③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是________．
解析：∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
由f′(x)<0，得10，得x<1或x>3，
∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．
又a0，
y极小值＝f(3)＝－abc<0.
∴00.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．
∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.∴正确结论的序号是②③.
答案：②③
三、解答题
11．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a.
x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
故f(x)在x＝ln a处取得极小值，
且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
12．(2015·衡水中学二调)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．
(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)在区间(t>0)上的最小值．
解：(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e.
又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，
故切线的斜率为g′(1)＝4e.
所以切线方程为：y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
①当t≥时，在区间上f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(t)＝tln t.
②当0f′(x)；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝2ax－ex，
令f(x)－f′(x)＝ax(x－2)>0.
当a＝0时，无解；
当a>0时，解集为{x|x<0或x>2}；
当a<0时，解集为{x|00时，由g′(x)＝0，得x＝ln 2a，
当x∈(－∞，ln 2a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(ln 2a，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
∴当g(x)max>0时，方程g(x)＝0才有两个根，
∴g(x)max＝g(ln 2a)＝2aln 2a－2a>0，得a>.
故实数a的取值范围是.
2．(2014·江西高考)已知函数 f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中 a<0.
(1)当 a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间 [1,4]上的最小值为8，求 a的值．
解：(1)当a＝－4时，f(x)＝(4x2－16x＋16) ，其中x>0.则f′(x)＝.
由f′(x)>0得02.
故函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)．
(2)f′(x)＝，a<0，
由f′(x)＝0得x＝－或x＝－.
当x∈时，f(x)单调递增；当x∈－，－时，f(x)单调递减；当x∈时，f(x)单调递增．
易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f＝0.
①当－≤1时，即－2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得
a＝±2－2，均不符合题意．
②当1<－≤4时，即－8≤a<－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f＝0，不符合题意．
③当－>4时，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．
综上有，a＝－10.
3.(2015·云南第一次检测)已知f(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)．
(1)假设m＝－2，求f(x)的极大值与极小值；
(2)是否存在实数m，使f(x)在上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解：(1)当m＝－2时，
f(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)，其定义域为(－∞，＋∞)．
则f′(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)＋ex(3x2－4x－2)
＝xex(x2＋x－6)
＝(x＋3)x(x－2)ex，
∴当x∈(－∞，－3)或x∈(0,2)时，f′(x)<0;
当x∈(－3,0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0;
f′(－3)＝f′(0)＝f′(2)＝0，
∴f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增；
在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴当x＝－3或x＝2时，f(x)取得极小值；
当x＝0时，f(x)取得极大值，
∴f(x)极小值＝f(－3)＝－37e－3，f(x)极小值＝f(2)＝－2e2，
f(x)极大值＝f(0)＝2.
(2)f′(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)＋ex(3x2＋2mx－2)
＝xex.
∵f(x)在上单调递增，
∴当x∈时，f′(x)≥0.
又∵当x∈时，xex<0，
∴当x∈时，x2＋(m＋3)x＋2m－2≤0，
∴解得m≤4，
∴当m∈时，f(x)在上单调递增．
第三课时 导数与函数的综合问题
|(重点保分型考点——师生共研)
[典题例析]
(2013·重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r＞0，又由h＞0可得r＜5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
[类题通法]
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答．
[演练冲关]
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解：(1)因为x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
极大值
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
|(重点保分型考点——师生共研)
[典题例析]
(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线 y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.
(1)求a；
(2)证明：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.
曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y＝ax＋2.
由题设得－＝－2，所以a＝1.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.
设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.
由题设知1－k>0.
当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根．
当x>0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．
h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.
所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根．
综上，g(x)＝0在R上有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
[类题通法]
利用导数研究方程根的方法
研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
[演练冲关]
已知函数f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln x)＋a.
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间上无零点，求a的最小值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－1－2ln x，
则f′(x)＝1－，定义域x∈(0，＋∞)．
由f′(x)＞0，得x＞2，由f′(x)＜0，得0＜x＜2，
故f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)，
(2)f(x)＝(2－a)(x－1)－2ln x，
令m(x)＝(2－a)(x－1)，x＞0；h(x)＝2ln x，x＞0，
则f(x)＝m(x)－h(x)，
①当a＜2时，m(x)在上为增函数，h(x)在上为增函数，
若f(x)在上无零点，则m≥h，
即(2－a)≥2ln ，∴a≥2－4ln 2，
∴2－4ln 2≤a<2，
②当a≥2时，在上m(x)≥0，h(x)＜0，
∴f(x)＞0，∴f(x)在上无零点．
由①②得a≥2－4ln 2，∴amin＝2－4ln 2.
|(常考常新型考点——多角探明)
[多角探明]
导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．归纳起来常见的命题角度有：
(1)证明不等式；
(2)不等式恒成立问题；
(3)存在型不等式成立问题.
角度一：证明不等式
1．(2015·唐山一模)已知f(x)＝(1－x)ex－1.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)设g(x)＝，x＞－1，且x≠0，证明：g(x)＜1.
解：(1)f′(x)＝－xex.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
所以f(x)的最大值为f(0)＝0.
(2)证明：由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，g(x)＜0＜1.
当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于f(x)＞x.
设h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝－xex－1.
当x∈(－1,0)时，0＜－x＜1,0＜ex＜1，则0＜－xex＜1，
从而当x∈(－1,0)时，h′(x)＜0，h(x)在(－1,0]上单调递减．
当－1＜x＜0时，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1.
综上，总有g(x)＜1.
角度二：不等式恒成立问题
2．已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，ln x＞－恒成立．
解：(1)由题意知2xln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，
则a≤2ln x＋x＋，
设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)，
则h′(x)＝，
①当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
②当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，
所以a≤h(x)min＝4.
即实数a的取值范围是(－∞，4]
(2)证明：问题等价于证明xln x>－(x∈(0，＋∞))．
又f(x)＝xln x，f′(x)＝ln x＋1，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)min＝f＝－.
设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，
易知m(x)max＝m(1)＝－，
从而对一切x∈(0，＋∞)，ln x＞－恒成立．
角度三：存在型不等式成立问题
3．(2015·新乡调研)已知函数f(x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex.
(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；
(2)当a<1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)，
所以a的取值范围为.
[类题通法]
导数在不等式问题中的应用问题解题策略
(1)利用导数证明不等式
若证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)＜0，即证明了f(x)＜g(x)．
(2)利用导数解决不等式的恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
[A卷——夯基保分]
1．一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
解：设火车的速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.
由题意，令40＝k·203，∴k＝，
则总费用f(x)＝(kx3＋400)·
＝a＝a(0＜x≤100)．
由f′(x)＝＝0，得x＝20.
当0＜x＜20时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当20＜x≤100时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
∴当x＝20时，f(x)取极小值也是最小值，即速度为20 km/h时，总费用最少．
2．(2015·山西四校联考)已知f(x)＝ln x－x＋a＋1.
(1)若存在x∈(0，＋∞)使得f(x)≥0成立，求a的取值范围；
(2)求证：当x＞1时，在(1)的条件下，x2＋ax－a＞xln x＋成立．
解：(1)原题即为存在x>0使得ln x－x＋a＋1≥0，
∴a≥－ln x＋x－1，令g(x)＝－ln x＋x－1，
则g′(x)＝－＋1＝.
令g′(x)＝0，解得x＝1.
∵当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0.
故a的取值范围是[0，＋∞)．
(2)证明：原不等式可化为
x2＋ax－xln x－a－＞0(x＞1，a≥0)．
令G(x)＝x2＋ax－xln x－a－，则G(1)＝0.
由(1)可知x－ln x－1＞0，
则G′(x)＝x＋a－ln x－1≥x－ln x－1＞0，
∴G(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴G(x)>G(1)＝0成立，
∴x2＋ax－xln x－a－＞0成立，即x2＋ax－a>x1nx＋成立．
3．(2014·四川高考)已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点．证明：e－2n>1，证明>.
解：(1)因为f(x)＝xln x＋mx，所以f′(x)＝1＋ln x＋m.
由题意f′(1)＝1＋ln 1＋m＝2，得m＝1.
(2)g(x)＝＝(x>0，x≠1)，
所以g′(x)＝.
设h(x)＝x－1－ln x，h′(x)＝1－.
当x>1时，h′(x)＝1－>0，h(x)是增函数，
h(x)>h(1)＝0，
所以g′(x)＝>0，
故g(x)在(1，＋∞)上为增函数；
当0h(1)＝0，
所以g′(x)＝>0，故g(x)在(0,1)上为增函数；
所以g(x)在区间(0,1)和(1，＋∞)上都是单调递增的．
(3)证明：由已知可知要证>，
即证－>ln n－ln m，
即证ln m>ln n，
即证>，
即证g(m)>g(n)，
又m>n>1(m，n∈N*)，由(2)知g(m)>g(n)成立，所以>.
第十二节定积分与微积分基本定理
基础盘查一 定积分的概念、几何意义与性质
(一)循纲忆知
了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt( )
(2)定积分一定是曲边梯形的面积( )
(3)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方( )
(4)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．(人教A版教材习题改编) dx＝________.
答案：
基础盘查二 微积分基本定理
(一)循纲忆知
了解微积分基本定理的含义．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)微积分基本定理中F(x)是唯一的( )
(2)若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0( )
答案：(1)× (2)√
2．(人教A版教材习题改编)计算：
(1) (3x＋sin x)dx＝________.
(2) dx＝________________.
答案：(1)＋1 (2)e2－e－2ln 2
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
1．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a0，故a＝1.
答案：1
8.sindx＝________.
解析：依题意得sindx＝ (sin x＋cos x)dx＝(sin x－cos x) ＝－(sin 0－cos 0)＝2.
答案：2
9．(2015·北京海淀一模)函数y＝x－x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于________．
解析：由x－x2＝0，得x＝0或x＝1.因此所围成的封闭图形的面积为(x－x2)dx＝＝－＝.
答案：
10．曲线y＝＋2x＋2e2x，直线x＝1，x＝e和x轴所围成的区域的面积是________．
解析：由题意得，所求面积为dx＝
dx＋2xdx＋2e2xdx＝ln x＋x2＋e2x＝(1－0)＋(e2－1)＋(e2e－e2)＝e2e.
答案：e2e
三、解答题
11．求下列定积分．
(1) dx； (2) (cos x＋ex)dx.
解：(1)dx＝xdx－x2dx＋dx
＝－＋ln x＝－＋ln 2＝ln 2－.
(2)(cos x＋ex)dx＝cos xdx＋exdx
＝sin x＋ex＝1－.
12．(2015·江西宜春月考)已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．
解：∵(1,2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，
设过点(1,2)处的切线的斜率为k，
则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)＝2，
∴过点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即y＝2x.
y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图：
由可得交点A(2,4)．
∴y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积
S＝ (2x－x2)＝＝4－＝.
命题点一 导数的运算及几何意义 命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低 题型：选择题、填空题、解答题
1．(2014·大纲卷)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e
C．2 D．1
解析：选C 由题意可得y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于2，故选C.
2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.
3．(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
解析：因为f(ex)＝x＋ex，所以f(x)＝x＋ln x(x>0)，所以f′(x)＝1＋，所以f′(1)＝2.
答案：2
4．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
解析：y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，
直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.
由题意得解得则a＋b＝－3.
答案：－3
命题点二 导数的应用 命题指数：☆☆☆☆☆
难度：高、中 题型：选择题、解答题
1．(2012·辽宁高考)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选B 函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得01时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<<1，所以k≥1.故选D.
3．(2013·浙江高考)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1 处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
解析：选C 法一：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，0,1是函数f(x)的零点．当01时，f(x)＝(ex－1)(x－1)>0,1不会是极值点．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，零点还是0,1，但是当01时，f(x)>0，由极值的概念，知选C.
法二：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝xex－1，f′(1)≠0，故A、B错；当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x2－1)ex－2x＋2＝(x－1)[(x＋1)ex－2]，故f′(x)＝0有一根为x1＝1，另一根x2∈(0,1)．当x∈(x2,1)时，f′(x)<0，f(x)递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)递增，∴f(x)在x＝1处取得极小值．故选C.
4．(2014·江西高考)在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是( )
解析：选B 分两种情况讨论：
当a＝0时，函数为y＝－x与y＝x，图象为D，故D有可能；当a≠0时，函数y＝ax2－x＋的对称轴为x＝，对函数y＝a2x3－2ax2＋x＋a求导得y′＝3a2x2－4ax＋1＝(3ax－1)(ax－1)，令y′＝0，则x1＝，x2＝，所以对称轴x＝介于两个极值点x1＝，x2＝之间，A，C满足，B不满足，所以B不可能．故选B.
5．(2014·陕西高考)设函数 f(x)＝ln x＋，m ∈R.
(1)当m＝e(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数；
(3)若对任意b>a>0，<1 恒成立，求 m的取值范围．
解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，
则f′(x)＝，
∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，
当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)，
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0)．
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知
①当m＞时，函数g(x)无零点；
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点；
④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．
综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点；
当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点．
(3)对任意的b＞a＞0，＜1恒成立．
等价于f(b)－b＜f(a)－a恒成立．(*)
设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x(x＞0)，
∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
由h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
得m≥－x2＋x＝－2＋(x＞0)恒成立，
∴m≥，
∴m的取值范围是.
6．(2014·北京高考)已知函数f(x)＝xcos x－sin x，x∈.
(1)求证：f(x)≤0；
(2)若a<0)，若f(x)在[－1,1]上的最小值记为g(a)．
(1)求g(a)；
(2)证明：当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.
解：(1)因为a>0，－1≤x≤1，所以
(ⅰ)当00，故f(x)在(a,1)上是增函数；
所以g(a)＝f(a)＝a3.
(ⅱ)当a≥1时，有x≤a，则f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3<0，故f(x)在(－1,1)上是减函数，所以g(a)＝f(1)＝－2＋3a.
综上，g(a)＝
(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(a)，
(ⅰ)当00，
知t(a)在(0,1)上是增函数．
所以t(a)0)，设所求切线的斜率为k，
∵g′(x)＝f(1,x)，∴k＝g′(1)＝1，
于是在点(1，0)处切线方程为y＝x－1. (2分)
第二步
构造新函数，将公共点转化为零点
⇐
(2)证明：曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于函数φ(x)＝ex－x2－x－1零点个数. (4分)
不说明两曲线公共点的个数等于函数零点个数,步骤不规范.
第三步
求零点
⇐
∵φ(0)＝1－1＝0，
∴φ(x)存在零点x＝0. (5分)
第四步
求函数的导函数并判断其单调性进而求极值(最值)
⇐
又φ′(x)＝ex－x－1，,令h(x)＝φ′(x)＝ex－x－1，
则h′(x)＝ex－1，
当x＜0时，h′(x)＜0，
∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减；
当x＞0时，h′(x)＞0，
想不到第二次求导即构造新函数h(x)导致解题中断．
∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增. (8分)
∴φ′(x)在x＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0,
即φ′(x)在R上的最小值为φ′(0)＝0.
第五步
利用极值(最值)判断零点个数即交点个数
⇐
∴φ′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，
∴φ(x)在R上是单调递增的，
∴φ(x)在R上有唯一的零点，
不说明φ′(x)有最小值0导致扣分.
第六步
得出结论
⇐
故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点. (12分)
函数与导数
1．(2015·洛阳统考)已知函数f(x)＝ex＋ax2－e2x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；
(2)若x>0时，总有f(x)>－e2x，求实数a的取值范围．
解：(1)由f′(x)＝ex＋2ax－e2得：
y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝4a＝0，则a＝0.
此时f(x)＝ex－e2x，f′(x)＝ex－e2.
由f′(x)＝0，得x＝2.
当x∈(－∞，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以函数f(x)的单调增区间是(2，＋∞)，
单调减区间是(－∞，2)．
(2)由f(x)>－e2x得：a>－.
设g(x)＝－，x>0，则g′(x)＝.
∴当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)在(0,2)上单调递增；
当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)在(2，＋∞)上单调递减．
∴g(x)≤g(2)＝－.
因此，a的取值范围为.
2．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2ln x＋b，其中a>0，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b；
(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
解：(1)设曲线y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，
∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，
∴依题意得
即
由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)，
则b＝a2＋2a2－3a2ln a＝a2－3a2ln a.
(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)
＝x2＋2ax－3a2ln x－b(x>0)，
则F′(x)＝x＋2a－＝(x>0)，
由F′(x)＝0得x＝a或x＝－3a(舍去)．
当x变化时，F′(x)，F(x)的变化情况如下表：
x
(0，a)
a
(a，＋∞)
F′(x)
－
0
＋
F(x)
极小值
结合(1)可知函数F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝f(a)－g(a)＝0.
故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，
即当x>0时，f(x)≥g(x)．
3．(2014·辽宁高考)已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π)cos x－4(1＋sin x)·ln.
证明：(1)存在唯一x0∈，使f(x0)＝0；
(2)存在唯一x1∈，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π.
证明：(1)当x∈时，
f′(x)＝－(1＋sin x)(π＋2x)－2x－cos x<0，
则函数f(x)在上为减函数，
又f(0)＝π－>0，f＝－π2－<0，
所以存在唯一x0∈，使f(x0)＝0.
(2)考虑函数h(x)＝－4ln，x∈.
令t＝π－x，则x∈时，t∈.
设u(t)＝h(π－t)＝－4ln，
则u′(t)＝.
由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)>0，
当t∈时，u′(t)<0.
在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)＝0，
从而当t∈(0，x0]时，u(t)>0，
所以u(t)在(0，x0]上无零点．
在上u(t)为减函数，由u(x0)>0，u＝－4ln 2<0，知存在唯一t1∈，使u(t1)＝0.
所以存在唯一的t1∈，使u(t1)＝0.
因此存在唯一的x1＝π－t1∈，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.
因为当x∈时，1＋sin x>0，
故g(x)＝(1＋sin x)h(x)与h(x)有相同的零点，
所以存在唯一的x1∈，使g(x1)＝0.
因x1＝π－t1，t1>x0，所以x0＋x1<π.
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