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  • 2021-05-13 发布

高中数学抛物线_高考经典例题

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‎1抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.‎ ‎2抛物线的图形和性质:‎ ‎①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。‎ ‎②焦准距:‎ ‎③通径:过焦点垂直于轴的弦长为。‎ ‎④顶点平分焦点到准线的垂线段:。‎ ‎⑤焦半径为半径的圆:以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。‎ ‎⑥焦半径为直径的圆:以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。‎ ‎⑦焦点弦为直径的圆:以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。‎ ‎3抛物线标准方程的四种形式:‎ ‎4抛物线的图像和性质:‎ ‎①焦点坐标是:,‎ ‎②准线方程是:。‎ ‎③焦半径公式:若点是抛物线上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是:,‎ ‎④焦点弦长公式:过焦点弦长 ‎⑤抛物线上的动点可设为P或或P ‎5一般情况归纳:‎ 方程 图象 焦点 准线 定义特征 y2=kx k>0时开口向右 ‎(k/4,0)‎ x= ─k/4‎ 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离 k<0时开口向左 x2=ky k>0时开口向上 ‎(0,k/4)‎ y= ─k/4‎ 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离 k<0时开口向下 抛物线的定义: ‎ 例1:点M与点F (-4,0)的距离比它到直线l:x-6=0的距离4.2,求点M的轨迹方程.‎ 分析:点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等,符合抛物线定义.‎ 答案:y2=-16x 例2:斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于点A、B,求线段A、B的长.‎ 分析:这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是:把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和.‎ 解:如图8-3-1,y2=4x的焦点为F (1,0),则l的方程为y=x-1.‎ 由消去y得x2-6x+1=0.‎ 设A (x1,y1),B (x2,y2) 则x1+x2=6.‎ 又A、B两点到准线的距离为,,则 点评:抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质,在解题中起到至关重要的作用。‎ 例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y2=10x,求它的焦点坐标和准线方程;‎ ‎(2) 已知抛物线的焦点是F (0,3)求它的标准方程;‎ ‎(3) 已知抛物线方程为y=-mx2 (m>0)求它的焦点坐标和准线方程;‎ ‎(4) 求经过P (-4,-2)点的抛物线的标准方程;‎ 分析:这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题,解题时首先分清属哪类标准型,再录求P值(注意p>0).特别是(3)题,要先化为标准形式:,则.(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条,因此有两解.‎ 答案:(1) ,.(2) x2=12y (3) ,;(4) y2=-x或x2=-8y.‎ 例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:‎ ‎(1)过点(-3,2);‎ ‎(2)焦点在直线x-2y-4=0上 分析:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析,一般需确定p和确定开口方向两个条件,否则,应展开相应的讨论 解:(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),‎ ‎∵过点(-3,2),‎ ‎∴4=-2p(-3)或9=2p·2‎ ‎∴p=或p=‎ ‎∴所求的抛物线方程为y2=-x或x2=y,前者的准线方程是x=,后者的准线方程是y=-‎ ‎(2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,‎ ‎∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2)‎ 当焦点为(4,0)时,=4,‎ ‎∴p=8,此时抛物线方程y2=16x;‎ 焦点为(0,-2)时,=2,‎ ‎∴p=4,此时抛物线方程为x2=-8y ‎∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y,‎ 对应的准线方程分别是x=-4,y=2‎ 常用结论 ‎① 过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p ‎② 设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2‎ ‎③ 设A, B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)‎ 例5:过抛物线y2=2px (p>0)的顶点O作弦OA⊥OB,与抛物线分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2=-4p2.‎ 分析:由OA⊥OB,得到OA、OB斜率之积等于-1,从而得到x1、x2,y1、y2之间的关系.又A、B是抛物线上的点,故(x1,y1)、(x2,y2)满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到y1、y2的值.‎ 证:由OA⊥OB,得,即y1y2=-x1x2,又,,所以:,即. 而y1y2≠0.所以y1y2=-4p2.‎ 弦的问题 例1 A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,满足OA^OB(O为坐标原点)求证:(1)A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值;‎ ‎(2)直线AB经过一个定点 ‎(3)作OM^AB于M,求点M的轨迹方程 解:(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2, ‎ ‎∴y12y22=4p2x1x2, ‎ ‎∵OA^OB, ∴x1x2+y1y2=0,‎ 由此即可解得:x1x2=4p2, y1y2=─4p2 (定值)‎ ‎(2)直线AB的斜率k===, ‎ ‎∴直线AB的方程为y─y1=(x─),‎ 即y(y1+y2)─y1y2=2px, 由(1)可得 y=(x─2p),‎ 直线AB过定点C(2p,0)‎ ‎(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=(x─2p) (i),‎ 又AB^OM, 故两直线的斜率之积为─1, 即·= ─1 (ii)‎ 由(i),(ii)得x2─2px+y2=0 (x¹0)‎ 解法2: 由OM^AB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出 例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标 解:如图,设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,‎ 又设点A,B,M在准线:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N,‎ 则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,‎ ‎∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)³(|AB|─)=‎ 等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为y=k(x─)‎ 由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0‎ 依题意|AB|=|x1─x2|=×==3,‎ ‎∴k2=1/2, 此时x=(x1+x2)== ‎ ‎∴y= ±即M(,), N(,─)‎ 例3设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线相交于B、C两点,点B、C在轴上的射影分别为, P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形 解析: 设,‎ ‎, ‎ 由得 ‎ ①‎ 又代入①式得 ②‎ 由得 代入②式得:‎ 由得或, 又由①式知关于是减函数且 ‎, 且 所以Q点轨迹为一线段(抠去一点): ‎ ‎(且)‎ 例4 已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0)‎ ‎ ①求抛物线方程; ②求面积的最大值 解: ①设, AB中点 ‎ 由得 ‎ 又 得 所以 依题意, ‎ 抛物线方程为 ‎ ‎②由及, ‎ 令得 ‎ 又由和得: ‎ 例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标 解:如图,设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,‎ 又设点A,B,M在准线:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N,‎ 则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,‎ ‎∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)³(|AB|─)=‎ 等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为y=k(x─)‎ 由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0‎ 依题意|AB|=|x1─x2|=×==3,‎ ‎∴k2=1/2, 此时x=(x1+x2)== ‎ ‎∴y= ±即M(,), N(,─)‎ 综合类(几何)‎ 例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?‎ 解:思路一:求出M、Q的纵坐标并进行比较,如果相等,则MQ//x轴,为此,将方程联立,解出 直线OP的方程为即 令,得M点纵坐标得证.‎ 由此可见,按这一思路去证,运算较为繁琐.‎ 思路二:利用命题“如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两上交点的纵坐标为、,那么”来证.‎ 设、、,并从及中消去x,得到,则有结论,即.‎ 又直线OP的方程为, ,得.‎ 因为在抛物线上,所以.‎ 从而.‎ 这一证法运算较小.‎ 思路三:直线MQ的方程为的充要条件是.‎ 将直线MO的方程和直线QF的方程联立,它的解(x ,y)就是点P的坐标,消去的充要条件是点P在抛物线上,得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维,运算量也较小.‎ 说明:本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时(即斜率不存在),容易证明成立.‎ 例2 已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点,求△RAB的最大面积.‎ 分析:求RAB的最大面积,因过焦点且斜率为1的弦长为定值,故可以为三角形的底,只要确定高的最大值即可.‎ 解:设AB所在的直线方程为.‎ 将其代入抛物线方程,消去x得 当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时,△RAB的面积有最大值.‎ 设直线l方程为.代入抛物线方程得 由得,这时.它到AB的距离为 ‎∴△RAB的最大面积为.‎ 例3 直线过点,与抛物线交于、两点,P是线段的中点,直线过P和抛物线的焦点F,设直线的斜率为k.‎ ‎(1)将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数;‎ ‎(2)求出的定义域及单调区间.‎ 分析:过点P及F,利用两点的斜率公式,可将的斜率用k表示出来,从而写出,由函数的特点求得其定义域及单调区间.‎ 解:(1)设的方程为:,将它代入方程,得 设,则 将代入得:,即P点坐标为.‎ 由,知焦点,∴直线的斜率 ‎∴函数.‎ ‎(2)∵与抛物线有两上交点,∴且 解得或 ‎∴函数的定义域为 当时,为增函数.‎ 例4 如图所示:直线l过抛物线的焦点,并且与这抛物线相交于A、B两点,求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线.‎ 分析:本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论.‎ 证法一:假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线,因为直线l与抛物线交于A、B两点,所以直线l的斜率存在,且不为零;直线CD的斜率存在,且不为0.‎ 设C、D的坐标分别为与.则 ‎∴l的方程为 ‎∵直线l平分弦CD ‎∴CD的中点在直线l上,‎ 即,化简得:‎ 由知得到矛盾,所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.‎ 证法二:假设直线l是弦CD的垂直平分线 ‎∵焦点F在直线l上,∴‎ 由抛物线定义,到抛物线的准线的距离相等.‎ ‎∵,‎ ‎∴CD的垂直平分线l:与直线l和抛物线有两上交点矛盾,下略.‎ 例5 设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直,求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.‎ 分析:求与抛物线有关的轨迹方程,可先把N看成定点;待求得的关系后再用动点坐标来表示,也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算.‎ 解法一:设 则:,‎ ‎,即 ‎, ①‎ 把N点看作定点,则AB所在的直线方程为:显然 代入化简整理得:‎ ‎, ②‎ 由①、②得:,化简得 用x、y分别表示得:‎ 解法二:点N在以OA、OB为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上,设,则以OA为直径的圆方程为:‎ ‎ ①‎ 设,OA⊥OB,则 在求以OB为直径的圆方程时以代,可得 ‎ ②‎ 由①+②得:‎ 例6如图所示,直线和相交于点M,⊥,点,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等,若△AMN为锐角三角形,,,且,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.‎ 分析:因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点,以为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当坐标系,确定C所满足的抛物线方程.‎ 解:以为x轴,MN的中点为坐标原点O,建立直角坐标系.‎ 由题意,曲线段C是N为焦点,以为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为曲线段的两端点.‎ ‎∴设曲线段C满足的抛物线方程为:其中、为A、B的横坐标 令则,‎ ‎∴由两点间的距离公式,得方程组:‎ 解得或 ‎∵△AMN为锐角三角形,∴,则,‎ 又B在曲线段C上,‎ 则曲线段C的方程为 例7如图所示,设抛物线与圆在x轴上方的交点为A、B,与圆在x由上方的交点为C、D,P为AB中点,Q为CD的中点.(1)求.(2)求△ABQ面积的最大值.‎ 分析:由于P、Q均为弦AB、CD的中点,故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标,由两点距离公式即可求出.‎ 解:(1)设 由得:,‎ 由得,‎ 同类似,‎ 则,‎ ‎(2)‎ ‎,∴当时,取最大值.‎ 例8 已知直线过原点,抛物线的顶点在原点,焦点在轴的正半轴上,且点和点关于直线的对称点都在上,求直线和抛物线的方程.‎ 分析:设出直线和抛物线的方程,由点、关于直线对称,求出对称点的坐标,分别代入抛物线方程.或设,利用对称的几何性质和三角函数知识求解.‎ 解法一:设抛物线的方程为,直线的方程为,‎ 则有点,点关于直线的对称点为、,‎ 则有解得 解得 如图,、在抛物线上 ‎∴‎ 两式相除,消去,整理,得,故,‎ 由,,得.把代入,得.‎ ‎∴直线的方程为,抛物线的方程为.‎ 解法二:设点、关于的对称点为、,‎ 又设,依题意,有,.‎ 故,.‎ 由,知.‎ ‎∴,.‎ 又,,故为第一象限的角.‎ ‎∴、.‎ 将、的坐标代入抛物线方程,得 ‎∴,即从而,,‎ ‎∴,得抛物线的方程为.‎ 又直线平分,得的倾斜角为.‎ ‎∴.‎ ‎∴直线的方程为.‎ 说明:‎ ‎(1)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法,它的思路明确,但运算量大,若不仔细、沉着,难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解,它的技巧性较强,一时难于想到.‎ ‎(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时,这种方法是最常规方法,需要重点掌握.‎ 例9 如图,正方形的边在直线上,、两点在抛物线上,求正方形的面积.‎ 分析:本题考查抛物线的概念及其位置关系,方程和方程组的解法和数形结合的思想方法,以及分析问题、解决问题的能力.‎ 解:∵直线,,∴设的方程为,且、.‎ 由方程组,消去,得,于是 ‎,,∴(其中)‎ ‎∴.‎ 由已知,为正方形,,‎ ‎∴可视为平行直线与间的距离,则有 ‎,于是得.‎ 两边平方后,整理得,,∴或.‎ 当时,正方形的面积.‎ 当时,正方形的面积.‎ ‎∴正方形的面积为18或50.‎ 说明:运用方程(组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法,本题应充分考虑正方形这一条件.‎ 例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为时,经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为,求这彗星与地球的最短距离.‎ 分析:利用抛物线有关性质求解.‎ 解:如图,设彗星轨道方程为,,焦点为,‎ 彗星位于点处.直线的方程为.‎ 解方程组得,‎ 故.‎ ‎.‎ 故,得.‎ 由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点,所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为,所以彗星与地球的最短距离为或,(点在点的左边与右边时,所求距离取不同的值).‎ 说明:‎ ‎(1)此题结论有两个,不要漏解;‎ ‎(2)本题用到抛物线一个重要结论:顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点,其证明如下:设为抛物线上一点,焦点为,准线方程为,依抛物线定义,有,当时,最小,故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点.‎ 例11 如图,抛物线顶点在原点,圆的圆心是抛物线的焦点,直线过抛物线的焦点,且斜率为2,直线交抛物线与圆依次为、、、四点,求的值.‎ 分析:本题考查抛物线的定义,圆的概念和性质,以及分析问题与解决问题的能力,本题的关键是把转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.‎ 解:由圆的方程,即可知,圆心为,半径为2,又由抛物线焦点为已知圆的圆心,得到抛物线焦点为,设抛物线方程为,‎ ‎∵为已知圆的直径,∴,则.‎ 设、,∵,而、在抛物线上,‎ 由已知可知,直线方程为,于是,由方程组 消去,得,∴.‎ ‎∴,因此,.‎ 说明:本题如果分别求与则很麻烦,因此把转化成是关键所在,在求时,又巧妙地运用了抛物线的定义,从而避免了一些繁杂的运算.‎ ‎11.已知抛物线y2=2px(p>0),过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点.‎ ‎(1)求证:|AB|=;‎ ‎(2)求|AB|的最小值.‎ ‎(1)证明:如右图,焦点F的坐标为F(,0).‎ 设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ·(x-),与抛物线方程联立,消去y并整理,得 tan2θ·x2-(2p+ptan2θ)x+=0.‎ 此方程的两根应为交点A、B的横坐标,根据韦达定理,有x1+x2=.‎ 设A、B到抛物线的准线x=-的距离分别为|AQ|和|BN|,根据抛物线的定义,有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=.‎ ‎(2)解析:因|AB|=的定义域是0<θ<π,又sin2θ≤1,‎ 所以,当θ=时,|AB|有最小值2p.‎ ‎12.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分,求证:为定值,本题若推广到椭圆、双曲线,你能得到什么结论?‎ 解析:(1)当AB⊥x轴时,m=n=p,‎ ‎∴=.‎ ‎(2)当AB不垂直于x轴时,设AB:y=k(x-),‎ A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,‎ ‎∴m=+x1,n=+x2.‎ 将AB方程代入抛物线方程,得 k2x2-(k2p+2p)x+=0,‎ ‎∴‎ ‎∴=‎ ‎=.‎ 本题若推广到椭圆,则有=(e是椭圆的离心率);若推广到双曲线,则要求弦AB与双曲线交于同一支,此时,同样有=(e为双曲线的离心率).‎ ‎14.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点M(1,-3)、N(5,1),若点C满足=t+(1-t)(t∈R),点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.‎ ‎(1)求证:⊥;‎ ‎(2)在x轴上是否存在一点P(m,0),使得过点P任作抛物线的一条弦,并以该弦为直径的圆都过原点.若存在,请求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎(1)证明:由=t+(1-t)(t∈R)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线,故点C的轨迹方程是:y+3=·(x-1),即y=x-4.‎ 由(x-4)2=4xx2-12x+16=0.‎ ‎∴x1x2=16,x1+x2=12,‎ ‎∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.‎ ‎∴x1x2+y1y2=0.故⊥.‎ ‎(2)解析:存在点P(4,0),使得过点P任作抛物线的一条弦,以该弦为直径的圆都过原点.‎ 由题意知:弦所在的直线的斜率不为零,‎ 故设弦所在的直线方程为:x=ky+4,代入y2=x,得y2-4ky-16=0,‎ ‎∴y1+y2=4k,y1y2=-16.‎ kOA·kOB==-1.‎ ‎∴OA⊥OB,故以AB为直径的圆都过原点.‎ 设弦AB的中点为M(x,y),‎ 则x=(x1+x2),y=(y1+y2).‎ x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k·(4k)+8=4k2+8.‎ ‎∴弦AB的中点M的轨迹方程为:消去k,得y2=2x-8.‎