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- 2021-05-13 发布
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高考数列求和解题方法大全
数列求和问题是数列的基本内容之一,也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样,技巧性也较强,以致成为数列的一个难点。鉴于此,下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳,以提高同学们数列求和的能力。
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式:
2、等比数列求和公式:
3、 4、
5、
例1. 已知,求的前n项和.
解:由, 由等比数列求和公式得 ===1-
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn
}分别是等差数列和等比数列.
例2. 求和:………………………①
解:由题可知,{}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{}的通项之积
当,
当
设……………② (设制错位)
①-②得 (错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:
∴
例3.已知,数列是首项为a,公比也为a的等比数列,令
,求数列的前项和。
解析:
①-②得:
。
点评:设数列的等比数列,数列是等差数列,则数列
的前项和求解,均可用错位相减法。
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.
例4.函数对任意,都有。(1)求和
的值;(2)数列满足:,数列是
等差数列吗?请给与证明。(3),,试比较与的大小。
解:(1)令,可得,
(2)
∴
∴
∴
(3),
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
例5.求数列的前n项和:,…
解:设
将其每一项拆开再重新组合得
(分组)
当a=1时,= (分组求和)
当时,=
例6. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解:设
∴ =
将其每一项拆开再重新组合得
Sn= (分组)
=
==
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
(1) (2)
(3) (4)
(5)
(6)
例7. 求数列的前n项和.
解:设 (裂项)
则 (裂项求和)
==
例8. 在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.
解: ∵ ∴
∴ 数列{bn}的前n项和
= =
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