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  • 2021-05-13 发布

全国名校高考数学专题训练09立体几何解答题3

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全国名校高考专题训练09立体几何(解答题3)‎ ‎51、 (河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)如图PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB,PD的中点。‎ ‎ (1)求证:AF//平面PCE;‎ ‎ (2)若二面角P—CD—B为45°,AD=2,CD=3,求点F到平面PCE的距离。‎ 证:(1)取PC中点M,连ME,MF ‎∵FM//CD,FM=,AE//CD,AE= ‎∴AE//FN,且AE=FM,即四边形AFME是平行四边形 ‎∴AE//EM,‎ ‎∵AF平面PCEAF//平面PCE 解:(2)∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,‎ ‎∴CD⊥PD ‎∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角,‎ ‎∴∠PDA=45°‎ ‎∴△PAD是等腰Rt∠,而EM//AF。‎ 又∵AF⊥CD ‎∴AF⊥面PCD,而EM//AF ‎∴EM⊥面PCD 又EM面PEC,‎ ‎∴面PEC⊥面PCD 在面PCD内过F作FH⊥PC于H则FH为点F到面PCE的距离 由已知PD= ‎∵△PFH∽△PCD ‎∴ ‎∴ ‎52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,BD∥AE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F为CD中点.‎ ‎(1)求证:EF⊥面BCD;‎ ‎(2)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值 ‎53、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)如图,在正三棱柱ABC-A1B‎1C1中,BB1=BC=2,且M是BC的中点,点N在CC1上.‎ ‎(Ⅰ)试确定点N的位置,使AB1⊥MN;‎ ‎(Ⅱ)当AB1⊥MN时,求二面角M-AB1-N的大小.‎ ‎54、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知斜三棱柱的各棱长均为2, 侧棱与底面所成角为,‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ O 且侧面底面.‎ ‎(1)证明:点在平面上的射影为的中点;‎ ‎(2)求二面角的大小 ;‎ ‎(3)求点到平面的距离.‎ ‎(1)证明:过B1点作B1O⊥BA。∵侧面ABB‎1A1⊥底面ABC ‎∴A1O⊥面ABC ∴∠B1BA是侧面BB1与底面ABC倾斜角 ‎∴∠B1BO= 在Rt△B1OB中,BB1=2,∴BO=BB1=1‎ 又∵BB1=AB,∴BO=AB ∴O是AB的中点。‎ 即点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点 …………4分 ‎ (2)连接AB1过点O作OM⊥AB1,连线CM,OC,‎ ‎∵OC⊥AB,平面ABC⊥平面AA1BB1 ∴OC⊥平面AABB。‎ ‎∴OM是斜线CM在平面AA1B1B的射影 ∵OM⊥AB1‎ ‎∴AB1⊥CM ∴∠OMC是二面角C—AB1—B的平面角 在Rt△OCM中,OC=,OM= ‎∴∠OMC=cosC+sin2‎ ‎∴二面角C—AB1—B的大小为 …………8分 ‎ (3)过点O作ON⊥CM,∵AB1⊥平面OCM,∴AB1⊥ON ‎∴ON⊥平面AB‎1C。∴ON是O点到平面AB‎1C的距离 连接BC1与B‎1C相交于点H,则H是BC1的中点 ‎∴B与C1到平面ACB1的相导。‎ 又∵O是AB的中点 ∴B到平面AB‎1C的距离 是O到平面AB‎1C距离的2倍 是G到平面AB‎1C距离为 …………12分 ‎55、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)如图,正方形ABCD中,AC∩BD=O,PO⊥平面ABCD,PO=AD=,点E在PD上,PE:ED=2:1。‎ ‎ (1)证明:PD⊥平面EAC;‎ ‎ (2)求二面角A—PD—C的余弦值;‎ ‎ (3)求点B到平面PDC的距离。‎ 解:(1) ‎ (2)∠CEA为二面角A—PD—C的平面角, ‎ (3)点B到平面PDC的距离为 ‎56、(湖北省八校高2008第二次联考)S Q D A B P C 如图,已知四棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,四边形为菱形,,为的中点,为的中点. ‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小.‎ 解:(1)证明取SC的中点R,连QR, DR.‎ 由题意知:PD∥BC且PD=BC; ‎ QR∥BC且QP=BC,‎ QR∥PD且QR=PD.‎ PQ∥DR, 又PQ面SCD,‎ PQ∥面SCD. …………(6分)‎ ‎ (2)法一:连接SP, ‎ .‎ ‎ . ,‎ …………(12分)‎ ‎(2)法二:以P为坐标原点,PA为x轴,PB为y轴,PS为z轴建立空间直角坐标系,‎ 则S(),B(),C(),Q().‎ ‎ 面PBC的法向量为(),设为面PQC的一个法向量,‎ ‎ 由,‎ cos,‎ …………(12分)‎ ‎57、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)如图,在长方体ABCD—A1B‎1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.‎ ‎ (1)证明:D1E⊥A1D;‎ ‎ (2)当E为AB的中点时,求点A到面ECD1的距离;‎ ‎ (3)AE等于何值时,二面角D1—EC—D的大小为.‎ ‎(1)证明:连,在长方体ABCD—A1B‎1C1D1中,为在平面的射影,‎ 而AD=AA1=1,则四边形是正方形,‎ 由三垂线定理得D1E⊥A1D ……………3分 ‎(2)解:以点D为原点,DA为轴,DC为轴建立如图所示的直角坐标系。则 、、、则,,‎ ,设平面的法向量为 ,记 点A到面ECD1的距离……………7分 ‎(3)解:设则,设平面的法向量为 ,记 而平面ECD的法向量,则二面角D1—EC—D的平面角 。‎ 当AE=时,二面角D1—EC—D的大小为。……………12分 ‎58、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)(湖北省鄂州市2008年高考模拟)在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足(如图1).将△AEF沿EF折起到的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连结A1B、A1P(如图2)‎ ‎ (Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP;‎ ‎ (Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小;‎ ‎ (Ⅲ)求二面角B-A1P-F的大小(用反三角函数表示).‎ 图1‎ 图2‎ E B P C F D 解:不妨设正三角形的边长为3,则 ‎(1)在图1中,取中点,连结,‎ 则∵ ,‎ ‎∴而,即△ ‎ 是正三角形 又∵, ∴ ‎∴在图2中有,,‎ ‎∴为二面角的平面角 ‎∵二面角为直二面角, ∴ 又∵, ∴⊥平面,即⊥平面.‎ ‎(2)由(1)问可知A1E⊥平面BEP,BE⊥EF,建立如图的坐标系,则E(0,0,0),A1(0,0,1)B(2,0,0),F(0,0,).在图1中,不难得到EF//DP且EF=DP;DE// FP且DE=FP 故点P的坐标P(1,,0)‎ ‎∴,, 不妨设平面A1BP的法向量,则 令得  ∴ 故直线A1E与平面A1BP所成角的大小为.‎ ‎ (3)由(2)问可知平面A1BP的法向量,, 设平面AEP的法向量,则 令得 故 显然二面角B-A1P-F为钝角  故二面角B-A1P-F为.‎ ‎【方法探究】本题属于翻折问题,在翻折前的图1中易证EF⊥AB,而翻折后保持这一垂直关系,并且易证,从而有“三条直线两两垂直”,所以本例可以建立坐标系,利用空间向量求解.‎ ‎【技巧点拨】本题属于翻折问题,这是高考的热点题型. 求解翻折问题的策略是对比翻折前后,分析变与不变,一般地有:(1)分析翻折前后点的变化,注意点与点的重合问题以及点的位置的改变;(2)分析翻折前后长度与角度的变化,注意利用平面图形解决空间的线段长度以及空间角的大小;(3)若翻折后,线与线仍同在一个平面内,则它们的位置关系不发生任何变化;若翻折后,线与线由同一平面转为不同平面,则应特别注意点的位置变化.‎ ‎59、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是a的正方形,‎ PA⊥平面ABCD,且PA=2AB ‎ (Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面PBD;‎ ‎ (Ⅱ)求二面角B—PC—D的余弦值.‎ 解:(Ⅰ)证明:∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥BD ‎∵ABCD为正方形 ∴AC⊥BD ‎∴BD⊥平面PAC又BD在平面BPD内,‎ ‎∴平面PAC⊥平面BPD 6分 ‎ (Ⅱ)解法一:在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N,连DN,‎ ‎∵Rt△PBC≌Rt△PDC,由BN⊥PC得DN⊥PC;‎ ‎∴∠BND为二面角B—PC—D的平面角,‎ 在△BND中,BN=DN=,BD= ‎∴cos∠BND = ‎ 解法二:以A为原点,AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系如图,在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N连DN,‎ ‎∵Rt△PBC≌Rt△PDC,由BN⊥PC得DN⊥PC;‎ ‎∴∠BND为二面角B—PC—D的平面角 设 10分 12分 解法三:以A为原点,AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间坐标系,作AM⊥PB于M、AN⊥PD于N,易证AM⊥平面PBC,AN⊥平面PDC,‎ 设 ‎∵二面角B—PC—D的平面角与∠MAN互补 ‎∴二面角B—PC—D的余弦值为 12分 ‎60、(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面底面ABCD. 已知 ‎(1)证明;‎ ‎(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小.‎ 解法一:(1)作,垂足为O,连结AO,由侧面底面ABCD,得底面ABCD. 因为SA=SB,所以AO=BO. 又,故为等腰直角三角形, 由三垂线定理,得 ‎(2)由(1)知,依题设,故,由,得 所以的面积 连结DB,得的面积 设D到平面SAB的距离为h,由,‎ 得,解得 设SD与平面SAB所成角为,则 所以直线SD与平面SAB所成的角为 解法二:(1)作,垂足为O,连结AO,由侧面底面ABCD,得平面ABCD. 因为SA=SB,所以AO=BO. 又,为等腰直角三角形, 如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O—xyz, ,所以 ‎(2)取AB中点E,. 连结SE,取SE中点G,连结OG, ,OG与平面SAB内两条相交直线SE、AB垂直,所以平面SAB.的夹角记为,SD与平面SAB所成的角记为,则与互余.‎ 所以直线SD与平面SAB所成的角为 ‎61、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)如图:在三棱锥中,面,是直角三角形,,,,点分别为的中点。‎ ‎⑴求证:;‎ ‎⑵求直线与平面所成的角的大小;‎ ‎⑶求二面角的正切值。‎ 解:⑴连结。在中, ,点为的中点, 又面,即为在平面内的射影 分别为的中点 ‎⑵面, 连结交于点,,‎ 平面 为直线与平面所成的角,且 面,,又 ,,‎ 在中,, ‎⑶过点作于点,连结,,‎ 面,即为在平面内的射影 ,为二面角的平面角 ‎ 中,,‎ ‎(其他解法根据具体情况酌情评分)‎ ‎62、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)如图,在底面为平行四边形的四棱锥中,,且,点是的中点。‎ ‎⑴求证:;‎ ‎⑵求证:;‎ ‎⑶求二面角的大小。‎ ‎ ‎ ‎63、A B C D P (湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)如图,四棱锥的底面是边长为的菱形,,平面,‎ .‎ ‎(Ⅰ)求直线PB与平面PDC所成的角的正切值;‎ ‎(Ⅱ)求二面角A-PB-D的大小.‎ 解:(Ⅰ)取DC的中点E.‎ ‎∵ABCD是边长为的菱形,,∴BE⊥CD.‎ ‎∵平面, BE平面,∴ BE.‎ ‎∴BE⊥平面PDC.∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角. ……………………3分 ‎∵BE=,PE=,∴==. ……………………………6分 ‎(Ⅱ)连接AC、BD交于点O,因为ABCD是菱形,所以AO⊥BD.‎ ‎∵平面, AO平面,‎ ‎∴ PD. ∴AO⊥平面PDB.‎ 作OF⊥PB于F,连接AF,则AF⊥PB.‎ 故∠AFO就是二面角A-PB-D的平面角. ……………………………9分 ‎∵AO=,OF=,∴=.‎ ‎∴=. ……………………………12分 ‎64、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.‎ ‎ (Ⅰ)求证:AF∥平面PEC;‎ ‎ (Ⅱ)求PC与平面ABCD所成角的大小;‎ ‎ (Ⅲ)求二面角P一EC一D的大小.‎ 解:(Ⅰ)取PC的中点O,连结OF、 ‎ ‎ OE.∴FO∥DC,且FO=DC ‎∴FO∥AE ……………………2分 又E是AB的中点.且AB=DC.∴FO=AE.‎ ‎∴四边形AEOF是平行四边形.∴AF∥OE 又OE平面PEC,AF平面PEC ‎∴AF∥平面PEC ‎(Ⅱ)连结AC ‎∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA是直线PC与平 面ABCD所成的角……………………6分 在Rt△PAC中, 即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 ……………………9分 ‎(Ⅲ)作AM⊥CE,交CE的延长线于M.连结PM,由三垂线定理.得PM⊥CE ‎∴∠PMA是二面角P—EC—D的平面角. ……………………11分 由△AME∽△CBE,可得,∴ ‎∴二面角P一EC一D的大小为 ……………………13分 解法二:以A为原点,如图建立直角坐标系,‎ 则A(0.0,0),B(2,0,0),C(2,l,0),‎ D(0,1,0),F(0,,),E(1,0,0),‎ P(0,0,1)‎ ‎(Ⅰ)取PC的中点O,连结OE,则O(1,,),‎ ‎∴ ……………………5分 又OE平面PEC,AF平面PEC,∴AF∥平面PEC ………………… 6分 ‎(Ⅱ)由题意可得,平面ABCD的法向量 即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 …………9分 ‎(Ⅲ)设平面PEC的法向量为 则,可得,令,则 ……11分 由(2)可得平面ABCD的法向量是 ‎∴二面角P一EC一D的大小为 ……………………13分 ‎65、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)在直三棱柱中,A‎1A=AB=3,AC=3,‎ 、Q分别为棱BB1、CC1上的点,且 .‎ ‎(1)求平面APQ与面ABC所成的锐二面角的大小.‎ ‎(2)在线段A1B(不包括两端点)上是否存在一点M,使AM+MC1最小?‎ 若存在,求出最小值;若不存在,说明理由.‎ 解:(1)建立如图所示空间直角坐标系A A(0,0,0),P(3,0,),Q(0,3,2).‎ 设平面APQ的一个法向量为 令,则 平面ABC的一个法向量 ‎∴平面APQ与面ABC所成的锐角大小为45°.…………………………………………(6分)‎ ‎(1)问也用传统方法求解.(并参照计分)‎ ‎(2)沿A1B将面A1BC1与面A1BA展开,连结AC1与A1B交于点M,此时AM+MC1有最小值.‎ ‎∵又C‎1A1⊥面ABB‎1A1,∴C‎1A1⊥A1B.‎ ‎∴△AA‎1C1中,∠AA‎1C1=135°‎ AC1= ‎∴存在点M,使AM+AC1取最小值为………………………………………(12分)‎ ‎66、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)如图,棱柱ABCD—A1B‎1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC=60°,平面AA‎1C1C⊥平面ABCD,∠A‎1AC=60°。‎ ‎(Ⅰ)证明:BD⊥AA1;‎ ‎(Ⅱ)求二面角D—A‎1A—C的平面角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)在直线CC1上是否存在点P,使BP//平面DA‎1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由。‎ 解:连接BD交AC于O,则BD⊥AC,‎ 连接A1O 在△AA1O中,AA1=2,AO=1,‎ ‎∠A1AO=60°‎ ‎∴A1O2=AA12+AO2-2AA1·Aocos60°=3‎ ‎∴AO2+A1O2=A12‎ ‎∴A1O⊥AO,由于平面AA‎1C1C⊥‎ 平面ABCD,‎ 所以A1O⊥底面ABCD ‎∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、‎ y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系,‎ 则A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),A1(0,0,)‎ ‎……2分 ‎(Ⅰ)由于 则 ‎∴BD⊥AA1 ……………………4分 ‎ (Ⅱ)由于OB⊥平面AA‎1C1C ‎∴平面AA‎1C1C的法向量 设⊥平面AA1D 则 得到 ……………………6分 所以二面角D—A‎1A—C的平面角的余弦值是 ……………………8分 ‎(Ⅲ)假设在直线CC1上存在点P,使BP//平面DA‎1C1‎ 设 则 得 ……………………9分 设 则设 得到 ……………………10分 又因为平面DA‎1C1‎ 则· 即点P在C‎1C的延长线上且使C‎1C=CP ……………………12分 ‎67、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中点,截面DAN交PC于M.‎ ‎ (Ⅰ)求PB与平面ABCD所成角的大小;‎ ‎ (Ⅱ)求证:PB⊥平面ADMN;‎ ‎ (Ⅲ)求以AD为棱,PAD与ADMN为面的二面角的大小.‎ 解:解法一:(I)取AD中点O,连结PO,BO.‎ ‎ △PAD是正三角形,所以PO⊥AD,‎ ‎ 又因为平面PAD⊥平面ABCD,‎ ‎ 所以PO⊥平面ABCD,‎ ‎ BO为PB在平面ABCD上的射影, ‎ ‎ 所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角 ‎ 由已知△ABD为等边三角形,所以PO=BO=,‎ ‎ 所以PB与平面ABCD所成的角为45°.‎ ‎ (Ⅱ)△ABD是正三角形,所以AD⊥BO,所以AD⊥PB,‎ ‎ 又,PA=AB=2,N为PB中点,所以AN⊥PB,‎ ‎ 所以PB⊥平面ADMN.‎ ‎ (Ⅲ)连结ON,因为PB⊥平面ADMN,所以ON为PO在平面ADMN上的射影,‎ ‎ 因为AD⊥PO,所以AD⊥NO,‎ ‎ 故∠PON为所求二面角的平面角.‎ ‎ 因为△POB为等腰直角三角形,N为斜边中点,所以∠PON=45°,‎ ‎ 即所求二面角的大小为45°‎ 解法二:(Ⅰ)同解法一 ‎(Ⅱ)因为PO⊥平面ABCD,‎ 所以PO⊥BO,△ABD是正三角形,所以AD⊥BO,‎ 以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 由已知O(0,0,0),B(0,,0,),P(0,0,),A(1,0,0),D(-1,0,0),N(0,),‎ 所以 ,‎ 所以,‎ 所以AD⊥PB,AN⊥PB,所以PB⊥平面ADMN,‎ ‎(Ⅲ)因为AD⊥PB,AD⊥BO,所以AD⊥平面POB, 所以ON⊥AD,‎ 又PO⊥AD,所以故∠PON为所求二面角的平面角. ‎ 因为 设所求二面角为,则,‎ 所以=45°,即所求二面角的大小为45°.‎ ‎68、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)如图,已知平行六面体的底面为正方形,分别为上、下底面中心,且在底面上的射影为,‎ ‎ (1)求证:平面平面;‎ A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A B C D O E F O1‎ ‎ (2)若点、分别在棱、上,且,问点在何处时,?‎ ‎ (3)若,求二面角的大小.‎ 解法一:(1)证明: 建立空间直角坐标系如图所示,设地面正方形的边长为a,,‎ ‎ 则 , ‎ ‎ 由 ,得 平面 A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A B C D O E F O1‎ x y z ‎ 又平面, 平面平面 …………………4分 ‎ (2) 由(1)及,‎ ‎ 得 ‎ 设,则,‎ ‎ ‎ ‎ 由 …………… 8分 ‎(3)由, 从而 , ‎ 设 是平面的一个法向量, 则 ‎ 又 平面的一个法向量为 ‎ 所求二面角的大小为 ………12分 ‎ 解法二:用欧氏几何推证的方法也可以解决。(略)‎ ‎69、(吉林省吉林市2008届上期末)如图,在直三棱柱ABC—A1B‎1C1中,AA1=,‎ AC=BC=2,∠C=90°,点D是A‎1C1的中点.‎ ‎ (1)求证:BC1//平面AB1D;‎ ‎ (2)求二面角A1—B1D—A的正切值.‎ ‎(1)证明:连结A1B交AB1于点O,连结OD ‎∵点D是A‎1C1的中点,点O是A1B的中点,∴OD∥BC1 …………………………2分 又∵OD平面A1B‎1C1,BC1平面A1B‎1C1‎ ‎∴BC1∥平面AB1D ………………………………………………………………5分 ‎ (2)过点A1作A1E垂直B1D交B1D延长于点E,连结AE ‎∵ABC—A1B‎1C1是直三棱柱 ∴A‎1A⊥平面A1B‎1C1‎ 又∵A1E⊥B1D ∴AE⊥B1D ∴∠AEA1是二面角A—B1D—A1的平面角 ………9分 …………………………………………………………12分 解法二:利用空间向量法(略)‎ ‎70、 (吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)如图,正三棱柱中,是的中点, ‎(Ⅰ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小。‎ 解法一:(Ⅰ)证明:连接 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∥。 ……………………3分 ∥平面 …………………………5分 ‎(Ⅱ)解:在平面 —— ……………………8分 设。‎ 在 所以,二面角——的大小为。 ………………12分 解法二:建立空间直角坐标系—,如图,‎ ‎(Ⅰ)证明:连接连接。设 则 ∥。 …………………………3分 ∥平面…………5分 ‎(Ⅱ)解: 设 故 同理,可求得平面。………………9分 设二面角——的大小为 的大小为。……………………12分 ‎71、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)如图,正三棱柱ABC—A1B‎1C1中,AB=2,AA1=1,D是BC的中点,点P在平面BCC1B1内,PB1=PC1= ‎ (1)求证:PA1⊥BC; (2)求证:PB1//平面AC1D;(3)求 ‎ 解:(1)证明:取B‎1C1的中点Q,连结A1Q,PQ,‎ ‎∴B‎1C1⊥A1Q,B‎1C1⊥PQ,‎ ‎∴B‎1C1⊥平面AP1Q,‎ ‎∴B‎1C1⊥PA1,‎ ‎∵BC∥B‎1C1,∴BC⊥PA1. ‎ ‎ (2)连结BQ,在△PB‎1C1中,PB1=PC1=,B‎1C1=2,Q为中点,‎ ‎∴PQ=1,∴BB1=PQ,‎ ‎∴BB1∥PQ,∴四边形BB1PQ为平行四边形,‎ ‎∴PB1∥BQ. ‎ ‎∴BQ∥DC1,‎ ‎∴PB1∥DC1,‎ 又∵PB1面AC1D,‎ ‎∴PB1∥平面AC1D.‎ ‎(3)= ‎ ‎72、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)P B C D A 如图,在四棱锥P-ABCD中,CD//AB , AD⊥AB , AD = DC = AB , BC⊥PC.‎ ‎(1)求证:PA⊥BC ;‎ ‎(2)试在线段PB上找一点M,使CM // 平面PAD, 并说明理由.‎ 解:(1)连,在四边形ABCD中,.‎ ‎ 设,.‎ 在中,, 在中, .‎ ‎ ,………………………3分 又,‎ ……………………………………………………5分 …………………………………………7分.‎ ‎(2)当为的中点时,………………8分 ‎ 取的中点,连结则.‎ ‎ ‎ ,…………12分 ‎ ,,……14分.‎ A B B1‎ C1‎ A1‎ C ‎73、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)如图,在正三棱柱ABC–A1B‎1C1中,AB = 2,AB1⊥BC1‎ ‎(1)求BB1的长;‎ ‎(2)求二面角A1–AB1–C1的余弦值.‎ 解:(1)分别取中点,连结.‎ ‎ 在正三棱柱中,四边形为矩形,.‎ ‎ 分别为中点,‎ ‎ ,.‎ ‎ 为正三角形,为中点.‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ 分别以,,所在直线为.‎ ‎ 建立如图的空间直角坐标系……………………………………2分.‎ 设,.‎ ‎ , ‎ ‎ 即: ‎ 即:……………………………………5分.‎ ‎(2) ‎ 的一个法向量是…………………7分.‎ ‎ 设平面的法向量为 ,‎ 又 解得: 不妨设,则平面的一个法向量…………10分 二面角的余弦值是.‎ ‎74、A B C D D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ (江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)直棱柱中,底面ABCD是直角梯形,‎ ‎∠BAD=∠ADC=90°,.‎ ‎(Ⅰ)求证:AC⊥平面BB‎1C1C;‎ ‎(Ⅱ)在A1B1上是否存一点P,使得DP与平面BCB1与 平面ACB1都平行?证明你的结论.‎ 证明:(Ⅰ) 直棱柱中,BB1⊥平面ABCD,BB1⊥AC. ………………2分 又∠BAD=∠ADC=90°,,‎ ‎∴,∠CAB=45°,∴, BC⊥AC.………………………………5分 又,平面BB‎1C1C, AC⊥平面BB‎1C1C. ………………7分 ‎(Ⅱ)存在点P,P为A1B1的中点. ……………………………………………………………8分 证明:由P为A1B1的中点,有PB1‖AB,且PB1=AB.……………………………………9分 又∵DC‖AB,DC=AB,DC ∥PB1,且DC= PB1,‎ ‎∴DC PB1为平行四边形,从而CB1∥DP.……………………………………………11分 又CB1面ACB1,DP 面ACB1,DP‖面ACB1.………………………………13分 同理,DP‖面BCB1.……………………………………………………………………14分 评讲建议:‎ 本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识,第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC,第二小题,要求学生熟练掌握一个常用结论:若一直线与两相交平面相交,则这条直线一定与这两平面的交线平行;同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性,这里只需要指出结论并验证其充分性即可,当然亦可以先探求结论,再证明之,这事实上证明了结论是充分且必要的.‎ 变题:‎ 求证:(1)A1B⊥B1D;(2)试在棱AB上确定一点E,使A1E∥平面ACD1,并说明理由.‎ ‎75、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E、F分 ‎ 别是BB1、CD的中点.‎ ‎ (1)求证AE⊥D‎1F;‎ ‎(2)证明平面AED⊥平面A1FD1.‎ 解:(1)取AB的中点G,则易证得A‎1G∥D‎1F.‎ 又正方形A1ABB1中,E、G分别是相应边的中点,‎ ‎∴A‎1G⊥AE,‎ ‎∴D‎1F⊥AE.‎ ‎(2)由正方体可知:A1 D1⊥面A1ABB1,∴A1D1⊥AE .‎ 又由(1)已证:D‎1F⊥AE.‎ ‎∵A1D1∩D‎1F= D1,‎ ‎∴AE⊥平面A1FD1 .‎ 又平面AED,‎ ‎ ∴平面AED⊥平面A1FD1 .‎