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- 2021-05-13 发布
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2013高考理数冲刺押题系列 专题02 数列(上)(教师版)
【2013命题趋势预测】
通过对近三年高考中三角函数的题型分析,编者在此对2013三角函数的命题做出如下预测,欢迎各个老师进行讨论、指导;
1、 数列这个考点难度值具有“浮动性”,它既可以成为高考考卷中基础题(难度与三角函数平行),注重考察特殊数列的基础公式与应用,也可以与部分知识交汇,成为高考试卷中的压轴题,考察学生对综合知识的把握以及是否具有缜密的逻辑推理能力;因此,对于数列的趋势预测,要结合各省市近三年的高考考情,例如:福建省近三年中,无论是在市检、省检还是高考中,对于数列的要求只停留在基础的公式应用上,所以预测该省在2013年对于数列的难度不会增加,着重考察学生对基础知识的应用;其他省市可做同样的分析;
2、 大部分的省市对数列的出题分为两个部分,一是选择、填空中的数列问题,二是解答题中的数列,通过两个部分,来了解学生对数列问题的掌握程度;因此,我们可以预测,在2013年的高考中,大部分高考试卷会延续“选择+大题”或者“填空+大题”的考题形式,少部分试卷仅在解答题中考查三角函数问题;
3、 选择、填空的出题方向主要以等差、等比数列的基本公式、性质以及创新型数列找规律为主;解答题的出题方向存在多样化,可以单纯的考查数列的基本公式与数列求和的方法,也可以与函数、不等式等内容实现交会,考查学生的综合素养;因此相对于其他考点而言,数列的出题较为灵活.
【高考冲刺押题】
【押题1】已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前项的和为,且.
(1)求数列,的通项公式;
(2)记,求证:;
(3)求数列的前项和.
【押题2】已知数列中,,.
(1)写出的值(只写结果),并求出数列的通项公式;
(2)设,若对任意的正整数,当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【深度剖析】
押题指数:★★★★★
名师思路点拨:(1)由数列的递推公式可以求出的值,利用累乘法以及等差数列的前n项和公式可以得到数列的通项公式;(2)先利用裂项法求出,再将题设“恒成立”转化为,求出的最小值,然后将所求问题转化为“恒成立”,结合二次函数的图像进行分析即可.
名师押题理由:本题综合性强,体现出数列与函数的交汇,具体考点如下:
(1)数列递推公式的运算;(2)利用累乘法求数列的通项公式;(3)等差数列的前n项和公式;(4)裂项法求和;(5)利用导数法求函数的最值;(6)恒成立问题的转化;(7)定区间上的二次函数值域问题;
【押题3】在等差数列中,,其前项和为,等比数列的各项均为正数,,公比为,且,.
(1)求与;
(2)求的取值范围.
【深度剖析】
押题指数:★★★★★
名师思路点拨:(1)因为是等差数列,是等比数列,设出公差与公比,利用等差数列与等比数列的基本公式求出两个数列的通项公式;(2)先利用等差数列的前n项和公式求出数列的前n项和,再求出的表达式,观察可知,可以使用裂项法求出,然后在利用的有界性进行求解.
名师押题理由:本题基础性强,体现了数列与不等式交汇,考查学生对基础知识的掌握,具体考点如下:
1、等差数列的通项公式;2、等比数列的通项公式;3、等差数列的前n项和公式; 4、裂项法求和;5、不等式的基本性质.
【押题4】已知设数列的前项和为,且;数列为等差数列,.
(1)求数列 的通项公式;
(2)若(),为数列的前项和,求 .
=从而.
【押题5】已知数列{}、{}满足:.
(1)求;
(2)设,求证数列是等差数列,并求的通项公式;
(3)设,不等式恒成立时,求实数的取值
范围.
【深度剖析】
押题指数:★★★★★
名师思路点拨:(1)利用数列的递推公式可以求出;(2)利用等差数列的判定条件,,可以求出数列是以-4为首项,-1为公差的等差数列;(3)先利用裂项法求出,再求出,所以恒成立,然后对参数进行分类讨论,便可以得到结论.
名师押题理由:本题综合性强,体现出数列问题与不等式问题、函数问题的综合:
1、 数列递推公式的应用;2、等差数列的判定;3、等差数列通项公式的应用;
4、裂项法求和;5、不等式恒成立问题;6、二次函数最值探究.
【名校试题精选】
【模拟训练1】已知各项均为正数的数列前n项和为,首项为,且是的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,设,求数列的前n项和.
【模拟训练2】已知数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列是等比数列,公比为,且满足,求数列的前n项和.
【详细解析】当时,……2分
又当时,,满足上式……4分
∴……5分
(2)由(1)可知,,……7分
【深度剖析】
名校试题来源:2012-2013福建省三明一中、三明二中高三上学期期末联考
难度系数:★★
综合系数:★★★★★
名师思路点拨:(1)利用数列前n项和与数列通项公式之间的关系可以求出数列的通项公式;(2)利用“”可以求出等比数列的公比,进而套用等比数列的公式进行求解.
【模拟训练3】设数列为等差数列,为单调递增的等比数列,且,,.
(1)求的值及数列,的通项;
(2)若,求数列的前项和.
【深度剖析】
名校试题来源:2012-2013江西省景德镇市高三上学期期末考试
难度系数:★★★
综合系数:★★★★★
名师思路点拨:(1)利用等差中项的性质以及等比中项的性质可以求出“,”,在利用等差数列以及等比数列的条件将“”转为为关于公差d以及公比q的方程组,进而解出d、q;(2)先化简“”,然后利用裂项法进行求和.
【模拟训练4】在数列{an}中,a1=1,an=n2[1+++…+] (n≥2,n∈N)
(1)当n≥2时,求证:=;
(2)求证:(1+)(1+)…(1+)<4.
【深度剖析】
名校试题来源:2012-2013江西省南昌市高三上学期期末调研
难度系数:★★★★
综合系数:★★★★★
名师思路点拨:(1)将题设条件转化为“”,两式相除化简可以得到答案;(2)可以得到,然后使用进行放缩可以得到答案.
【模拟训练5】已知数列的前项n和为,,与的等差中项是.
(1)证明数列为等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)若对任意正整数n,不等式恒成立,求实数的最大值.
定.
【模拟训练6】设数列的前项和为,满足,
且。
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)设数列的前项和为,且,证明:对一切正整数,都有:
即
∴
∴…………………………………………………12分
【深度剖析】
名校试题来源:2012-2013重庆市九校联盟高三上学期期末测试
难度系数:★★★★
综合系数:★★★★★
名师思路点拨:(1)利用“,且”,采用列举法可以求出第(1)问;(2)利用数列前n项和与数列通项公式之间的关系可以得到,等式两边同时除以,构造等比数列进行求解;(3)可以证明,对该式进行前n项和计算,进而得到结论.
【模拟训练7】数列的前项和为,数列是首项为,公差不为零的等差数列,且成等比数列.
(1)求的值;
(2)求数列与的通项公式;
(3)求证:.
【详细解析】(1)∵,∴当时,,解得;
当时,,解得;
当时,,解得. -----------------3分
(2)当时,, ------------5分
【深度剖析】
名校试题来源:2012-2013广东省佛山市高三上学期质量检测
难度系数:★★★
综合系数:★★★★★
名师思路点拨:(1)利用“”采用列举法可以得到的值;(2)
利用数列前n项和与数列通项公式之间的关系可以得到数列的通项公式;利用是等比数列的条件可以得到数列的通项公式;(3)利用错位相减法求出的前n项和,与5比较即可.
【模拟训练8】已知数列的前n项和为, 且满足,
(1)求的值;
(2)求证:数列是等比数列;
(3)若, 求数列的前n项和.
令
因此……………………………11分
所以 ………………………12分
【深度剖析】
名校试题来源:2012-20133陕西省西安一中高三上学期期末测试
难度系数:★★★
综合系数:★★★★★
名师思路点拨:(1)利用列举法结合条件“”进行解题;(2)可以得到“”,然后使用构造辅助数列的方法进行运算;(3)因为“”,整体使用错位相减法和分组求和法进行求和.
【模拟训练9】已知实数组成的数组满足条件:
①; ②.
(1)当时,求,的值;
(2)当时,求证:;
(3)设,且,求证:.
【详细解析】(1)解:
由①得,再由②知,且.
【深度剖析】
名校试题来源:2012-2013北京市东城区区高三上学期期末考试
难度系数:★★★★★
综合系数:★★★★★
名师思路点拨:(1)由题设条件可知,当时,“”
,解出两个未知量即可;(2)由题设条件可知“,”,利用这两个条件将已知条件往这个方向构造即可;(3)因为“”,然后使用绝对值的性质进行放缩即可.
【模拟训练10】已知正项数列的前项和为,且.
(1)求的值及数列的通项公式;
(2)求证:;
(3)是否存在非零整数,使不等式
对一切都成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
…9分
∵,∴,数列单调递增. ………………10分
假设存在这样的实数,使得不等式对一切都成立,则
当为奇数时,得; ……11分