- 345.11 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第3练 导数及其应用
一、单选题
1.满足 的一个函数是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】显然只有 C. 满足
2.f(x)=x3﹣3x2+2在区间[﹣1,1]上的最大值是( )
A. ﹣2 B. 0 C. 2 D. 4
【答案】C
考点:导数与最值
3.设函数,下列结论中正确的是( )
A.是函数的极小值点,是极大值点
B.及均是的极大值点
C.是函数的极小值点,函数无极大值
D.函数无极值
【答案】C
【解析】;
令;
时,时,时,
故是函数的极小值点,函数无极大值。选C
4.曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析:,当时,,所以切线方程是,整理为,故选B.
考点:导数的几何意义
5.若函数在内有且仅有一个极值点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
点睛:本题主要考查了导数知识在函数极值上的应用,属于中档题。在本题中,不要遗漏掉这种特殊情况。
6.已知函数,则( )
A. 当时,在单调递减 B. 当时,在单调递减
C. 当时,在单调递增 D. 当时,在单调递增
【答案】D
【解析】分析:求导然后分析函数单调性根据a,b取值情况,重点分析最值即可得出原函数的单调情况,从而得出结论
详解:,当令则,所以 h(x)在(0,2)递减, (2,)递增, h(x)的最小值是h(2)=0,所以则 在单调递增,选D
点睛:考查导函数的应用,本题关键是二次求导后研究出函数的最值即可得出结论.
7.若曲线的一条切线经过点,则此切线的斜率为( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
8.已知关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由原不等式等价于,若时,不等式成立,若时,可令,则,又,且为单调递增函数,构造函数,则在的最值为,当时,易知在上递减,此时为减函数,不等式成立,当时,且,即,满足不等式,综合得的范围为.
9.已知函数,若存在实数,使得,则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简方程,分组研究以及最小值,确定等于号取法,解得.
【详解】
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值以及利用导数求函数最值,考查基本分析与求解能力.
10.已知函数,则和的公切线的条数为
A. 三条 B. 二条 C. 一条 D. 0条
【答案】A
【解析】
【分析】
分别设出两条曲线的切点坐标,根据斜率相等得到方程,构造函数,研究方程的根的个数,即可得到切线的条数.
【详解】
设公切线与和分别相切于点,,解得,代入化简得,构造函数,原函数在,极大值
故函数和x轴有交3个点,方程有三解,故切线有3条.
故选A.
【点睛】
这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程;步骤一般为:一,对函数求导,代入已知点得到在这一点处的斜率;二,求出这个点的横纵坐标;三,利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题,即转化为函数图像和x轴的交点问题.
11.函数在内存在极值点,则( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
若函数在无极值点,则或在恒成立.
①当在恒成立时,时,,得;时,,得;
②当在恒成立时,则且,得;
综上,无极值时或.
∴在在存在极值.
故选A.
【点睛】
(1)可导函数在点处取得极值的充要条件是,且在左侧与右侧的符号不同;
(2)若在内有极值,那么在内绝不是单调函数,即在某区间上单调递增或减的函数没有极值.
12.设,若函数恰有3个零点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
恰有3个零点,则恰有3个根,
令,即 与恰有3个交点,
,
当时,,所以在上是减函数;
当时,,
当时,,
当时,,
所以在时增函数,在时减函数,且,
所以
故选A.
【点睛】
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.
二、填空题
13.若函数在上可导, ,则 .
【答案】
考点:积分运算.
14.若曲线在点处的切线与曲线相切,则的值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义得到切线方程,联立方程,由判别式法得到的值.
【详解】
因为,所以,所以,
所以曲线在点处的切线方程为,即,
联立
得,
为直线与曲线相切,
所以,解得.
故答案为:
【点睛】
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率,其求法为:设是曲线上的一点,则以的切点的切线方程为:.若曲线在点的切线平行于轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为.
15.函数, ,若使得,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
令,令
,故在上是减函数,在上是增函数,当时有最小值,而当且仅当,即,故,当且仅当等号成立时成立,故,即
【点睛】
本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用,同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用,属于中档题.
16.若存在实常数k和b,使得函数对其公共定义域上的任意实数x都满足:恒成立,则称此直线的“隔离直线”,已知函数(e为自然对数的底数),有下列命题:
①内单调递增;
②之间存在“隔离直线”,且b的最小值为;
③之间存在“隔离直线”,且k的取值范围是;
④之间存在唯一的“隔离直线”.
其中真命题的序号为__________.(请填写正确命题的序号)
【答案】①②④
【解析】
【分析】
由题意结合“隔离直线”的定义逐一考查所给的说法是否正确即可.
【详解】
②、③设f(x)、g(x)的隔离直线为y=kx+b,则x2⩾kx+b对一切实数x成立,即有△1⩽0,k2+4b⩽0,b⩽0,
又⩽kx+b对一切x<0成立,则kx2+bx−1⩽0,即△2⩽0,b2+4k⩽0,k⩽0,
即有k2⩽−4b且b2⩽−4k,k4⩽16b2⩽−64k⇒−4⩽k⩽0,同理可得−4⩽b⩽0,故②对,③错;
④函数f(x)和h(x)的图象在处有公共点,
因此若存在f(x)和g(x)的隔离直线,那么该直线过这个公共点,
设隔离直线的斜率为k,则隔离直线方程为y−e=k(x−),即y=kx−k+e,
由f(x)⩾kx−k+e(x∈R),可得x2−kx+k−e⩾0当x∈R恒成立,
则△⩽0,即,故,此时直线方程为:,
下面证明:
令,则,
当时,G′(x)=0,当时,G′(x)<0,当时,G′(x)>0,
则当时,G(x)取到极小值,极小值是0,也是最小值.
所以,则当x>0时恒成立.
∴函数f(x)和g(x)存在唯一的隔离直线,故④正确.
故答案为:①②④.
【点睛】
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.