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圆锥曲线的切点弦方程在高考中的应用
作者:吴时清 薛青丽 联系方式:13450376718 时间:2013.6.17
切点弦方程是解析几何中的热点问题,也是高考命题热点之一.随着导数的介入,它的内涵更加丰富,本文从圆锥曲线的切点弦定义入手,对圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中常见的曲线的切点弦方程进行证明,再到一般的圆锥曲线的切点弦方程的结论,以及切点弦方程在近年来高考中的应用.
一、切点弦方程的概念
平面内一点引曲线的两条切线,两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程.
二、圆的切点弦方程
证明:设圆外一点,过点作圆的的两条切线,切点是,则直线的方程是:.
证明:由平面几何知识易知,弦是圆与以为直径端点的圆的相交弦.
以为直径端点的圆的方程是:,
即……①
又…………………………………②
②-①得: .
三、椭圆、双曲线、抛物线的切点弦方程
设是圆锥曲线不含焦点部分外的一点,过点作曲线的两条切线,切点,则切点弦所在直线方程如下表:
方程
曲线
标准方程
切点弦方程
椭圆
双曲线
抛物线
四、二次曲线的切点弦方程
设从点引曲线的两条切线,切点为,则过的且线方程分别是:
,
因为点在上述两条切线上,所以满足方程
………………(**)
所以经过的直线方程是(**)
五、利用切点弦方程解高考题
【例1】2008年山东理科数学22题
如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为 直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.
(Ⅰ)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,,求此时抛物线的方程;
(Ⅲ)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上,其中,点C满足(O为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)证明:由题意设
由得,则
所以
因此直线MA的方程为
直线MB的方程为
所以 ①
②
由①、②得
因此 ,即
所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当x0=2时,
将其代入①、②并整理得:
所以 x1、x2是方程的两根,
因此
又
所以
由弦长公式得
又,
所以p=1或p=2,
因此所求抛物线方程为或
(Ⅲ)解:设D(x3,y3),由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),
则CD的中点坐标为
设直线AB的方程为
由点Q在直线AB上,并注意到点也在直线AB上,
代入得
若D(x3,y3)在抛物线上,则
因此 x3=0或x3=2x0.
即D(0,0)或
(1)当x0=0时,则,此时,点M(0,-2p)适合题意.
(2)当,对于D(0,0),此时
又AB⊥CD,
所以
即矛盾.
对于因为此时直线CD平行于y轴,
又
所以 直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾,
所以时,不存在符合题意的M点.
综上所述,仅存在一点M(0,-2p)适合题意.
【例2】2008年江西高考数学理
设点在直线上,过点作双曲线的两条切线,切点为,定点.
⑴过点作直线的垂线,垂足为,试求的重心所在曲线的方程;
⑵求证:三点共线.
解: ⑴设,∵垂直于直线,则
∴, 点坐标为
设的重心为,则
代入双曲线方程并整理得:,
∴ 重心的轨迹方程为
⑵设点,方程对求导得: ∴
∴ 切线的斜率为,方程为,又 ∴ 切线的方程为
同理: 切线的方程为,又在,上, ∴
即点都在直线上,又也在直线上
∴ 三点共线.
【例2】2013年广东高考理20题
已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(Ⅲ)当点在直线上移动时,求的最小值.
解:(Ⅰ)依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得.
所以抛物线的方程为.
(Ⅱ)抛物线的方程为,即,求导得
设,(其中),则切线的斜率分别为,,
所以切线的方程为,即,即
同理可得切线的方程为
因为切线均过点,所以,
所以为方程的两组解.
所以直线的方程为.
(Ⅲ)由抛物线定义可知,,
所以
联立方程,消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得,
所以
又点在直线上,所以,
所以
所以当时, 取得最小值,且最小值为.