高考数学理专题目五第三讲圆锥曲线的综合问题目b二轮复习 6页

第三讲　圆锥曲线的综合问题(B)‎ ‎1．(2013·高考湖南卷)已知F1，F2分别是椭圆E：＋y2＝1的左，右焦点，F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b.当ab最大时，求直线l的方程．‎ ‎2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点是F(1，0)，且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围．‎ ‎3．(2013·肇庆市中小学教学质量评估高中毕业班第一次模拟试题)已知圆C的方程为x2＋y2＋2x－7＝0，圆心C关于原点对称的点为A，P是圆上任一点，线段AP的垂直平分线l交PC于点Q.‎ ‎(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹L方程；‎ ‎(2)过点B(1，)能否作出直线l2，使l2与轨迹L交于M、N两点，且点B是线段MN的中点，若这样的直线l2存在，请求出它的方程和M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎4．(2013·东莞市高三综合测试题)在平面直角坐标系xOy中，已知三点O(0，0)，A(－1，1)，B(1，1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足：|＋|＝4－·(＋)．‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M，N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，试探究kPM·kPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论；‎ ‎(3)设曲线C与y轴交于D、E两点，点M(0，m)在线段DE上，点P在曲线C上运动，若当点P的坐标为(0，2)时，||取得最小值，求实数m的取值范围．‎ 答案：‎ ‎1．【解】(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点．‎ 设圆心的坐标为(x0，y0)，‎ 由解得 所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.‎ ‎(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，‎ 则圆心到直线l的距离d＝ .‎ 所以b＝2＝ .‎ 由得(m2＋5)y2＋4my－1＝0.‎ 设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝－，y1y2＝－.‎ 于是a＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ＝.‎ 从而ab＝＝ ‎＝≤＝2.‎ 当且仅当＝，即m＝±时等号成立．‎ 故当m＝±时，ab最大，此时，直线l的方程为x＝y＋2或x＝－y＋2，即x－y－2＝0或x＋y－2＝0.‎ ‎2．【解】(1)设椭圆C的半焦距是c.‎ 依题意，得c＝1.‎ 因为椭圆C的离心率为，‎ 所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.‎ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)当MN⊥x轴时，显然y0＝0.‎ 当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．‎ 由，消去y并整理得，‎ ‎(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)．‎ 又x1＋x2＝，‎ 所以x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝.‎ 线段MN的垂直平分线的方程为 y＋＝－(x－)．‎ 在上述方程中，令x＝0，得y0＝＝.‎ 当k<0时，＋4k≤－4；当k>0时，＋4k≥4.‎ 所以－≤y0<0或0AC＝2，‎ ‎∴点Q的轨迹是以O为中心，C，A为焦点的椭圆，‎ ‎∵c＝1，a＝，∴b＝＝1‎ ‎∴点Q的轨迹L的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)假设直线l2存在，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，分别代入＋y2＝1得，两式相减得＝－(y1－y2)(y1＋y2)，‎ 即＝－×.‎ 由题意，得x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，∴＝－1，‎ 即kMN＝－1，∴直线l2的方程为y＝－x＋，‎ 由得6x2－12x＋5＝0.‎ ‎∵点B在椭圆L内，‎ ‎∴直线l2的方程为y＝－x＋，它与轨迹L存在两个交点，‎ 解方程6x2－12x＋5＝0，得x＝1±，‎ 当x＝1＋时，y＝－；当x＝1－时，y＝＋，‎ 所以，两交点坐标分别为 和.‎ ‎4．【解】(1)由题意可得，‎ ＋＝(－1－x，1－y)＋(1－x，1－y)＝(－2x，2－2y)，‎ 所以|＋|＝＝，‎ 又4－·(＋)＝4－(x，y)·(0，2)＝4－y，‎ 所以＝4－y，即＋＝1.‎ ‎(2)因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称．‎ 所以可设P(x，y)，M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，‎ 因为P，M，N在椭圆上，所以有 ＋＝1，①‎ ＋＝1，②‎ ‎①－②得＝－.‎ 又kPM＝，kPN＝，‎ 所以kPM·kPN＝·＝＝－，‎ 故kPM·kPN的值与点P的位置无关，与直线L也无关．‎ ‎(3)由于P(x，y)在椭圆C上运动，椭圆方程为＋＝1，‎ 故－2≤y≤2，且x2＝3－y2，‎ 因为＝(x，y－m)，所以 ‎||＝＝ ‎＝ .‎ 由题意，点P的坐标为(0，2)时，||取得最小值，即当y＝2时，||取得最小值，而－2≤y≤2，故有4m≥2，解得m≥，‎ 又椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为(0，2)、(0，－2)，而点M在线段DE上，即－2≤m≤2，亦即≤m≤2，‎ 所以实数m的取值范围是[，2]．‎