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- 2021-05-13 发布
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2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
文科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)若复数z满足为虚数单位),则为
(A)3+5i (B)3-5i (C)-3+5i (D)-3-5i
(2)已知全集,集合,,则为
(A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}
(3)函数的定义域为
(A) (B) (C) (D)
(4)在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是
(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差
(5)设命题p:函数的最小正周期为;命题q:函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是
(A)p为真 (B)为假 (C)为假 (D)为真
(6)设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
(7)执行右面的程序框图,如果输入=4,那么输出的n的值为
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(8)函数的最大值与最小值之和为
(A) (B)0 (C)-1 (D)
(9)圆与圆的位置关系为
(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离
(10)函数的图象大致为
(11)已知双曲线:的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为
(A) (B) (C) (D)
(12)设函数,.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是
(A) (B)
(C) (D)
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
(13)如图,正方体的棱长为1,E为线段上的一点,则三棱锥的体积为_____.
(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为,,,,,.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为____.
(15)若函数在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数在上是增函数,则a=____.
(16)如图,在平面直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x
轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为____.
三、解答题:本大题共6小题,共74分.
(17)(本小题满分12分)
在△ABC中,内角所对的边分别为,已知.
(Ⅰ)求证:成等比数列;
(Ⅱ)若,求△的面积S.
(18)(本小题满分12分)
袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
(19) (本小题满分12分)
如图,几何体是四棱锥,△为正三角形,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若∠,M为线段AE的中点,
求证:∥平面.
(20) (本小题满分12分)
已知等差数列的前5项和为105,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)对任意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项
和.
(21) (本小题满分13分)
如图,椭圆的离心率为,直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程;
(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.
(22) (本小题满分13分)
已知函数为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线在点处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,其中为的导函数.证明:对任意.
参考答案:
一、选择题:
(1)A (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)B (8)A (9)B (10)D (11)D (12)B
(12)解:设,则方程与同解,故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样,必须且只须或,因为,故必有由此得.不妨设,则.所以,比较系数得,故.,由此知,故答案为B.
二、填空题
(13) 以△为底面,则易知三棱锥的高为1,故.
(14)9 最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22,总城市数为11÷0.22=50,最右面矩形面积为0.18×1=0.18,50×0.18=9.
(15) 当时,有,此时,此时为减函数,不合题意.若,则,故,检验知符合题意.
(16)
三、解答题
(17)(I)由已知得:
,
,
,
再由正弦定理可得:,
所以成等比数列.
(II)若,则,
∴,
,
∴△的面积.
(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种:红1红2,红1红3,红1蓝1,红1蓝2,红2红3,红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2,蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况,故所求的概率为.
(II)加入一张标号为0的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的10种情况外,多出5种情况:红1绿0,红2绿0,红3绿0,蓝1绿0,蓝2绿0,即共有15种情况,其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况,所以概率为.
(19)(I)设中点为O,连接OC,OE,则由知,,
又已知,所以平面OCE.
所以,即OE是BD的垂直平分线,
所以.
(II)取AB中点N,连接,
∵M是AE的中点,∴∥,
∵△是等边三角形,∴.
由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即,
所以ND∥BC,
所以平面MND∥平面BEC,故DM∥平面BEC.
(20)(I)由已知得:
解得,
所以通项公式为.
(II)由,得,
即.
∵,
∴是公比为49的等比数列,
∴.
(21)(I)……①
矩形ABCD面积为8,即……②
由①②解得:,
∴椭圆M的标准方程是.
(II),
设,则,
由得.
.
当过点时,,当过点时,.
①当时,有,
,
其中,由此知当,即时,取得最大值.
②由对称性,可知若,则当时,取得最大值.
③当时,,,
由此知,当时,取得最大值.
综上可知,当和0时,取得最大值.
(22)(I),
由已知,,∴.
(II)由(I)知,.
设,则,即在上是减函数,
由知,当时,从而,
当时,从而.
综上可知,的单调递增区间是,单调递减区间是.
(III)由(II)可知,当时,≤0<1+,故只需证明在时成立.
当时,>1,且,∴.
设,,则,
当时,,当时,,
所以当时,取得最大值.
所以.
综上,对任意,.