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- 2021-05-13 发布
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2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国)
理科数学
(试题及答案解析)
一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知集合,,则中元素的个数为()
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】B
【解析】表示圆上所有点的集合,表示直线上所有点的集合,
故表示两直线与圆的交点,由图可知交点的个数为2,即元素的个数为2,故选B.
2.设复数z满足,则()
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】由题,,则,故选C.
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
2014年 2015年 2016年
根据该折线图,下列结论错误的是()
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
【答案】A
【解析】由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A选项错误,故选A.
4.的展开式中的系数为()
A. B. C.40 D.80
【答案】C
【解析】由二项式定理可得,原式展开中含的项为
,则的系数为40,故选C.
5.已知双曲线(,)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点.则的方程为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为,则①
又∵椭圆与双曲线有公共焦点,易知,则②
由①②解得,则双曲线的方程为,故选B.
6.设函数,则下列结论错误的是()
A.的一个周期为 B.的图像关于直线对称
C.的一个零点为 D.在单调递减
【答案】D
【解析】函数的图象可由向左平移个单位得到,
如图可知,在上先递减后递增,D选项错误,故选D.
7.执行右图的程序框图,为使输出的值小于91,则输入的正整数的最小值为()
A.5
B.4
C.3
D.2
【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示:
初始状态 0 100 1
第1次循环结束 100 2
第2次循环结束 90 1 3
此时首次满足条件,程序需在时跳出循环,即为满足条件的最小值,故选D.
8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知球心在圆柱体中心,圆柱体上下底面圆半径,
则圆柱体体积,故选B.
9.等差数列的首项为1,公差不为0.若,,成等比数列,则前6项的和为()
A. B. C.3 D.8
【答案】A
【解析】∵为等差数列,且成等比数列,设公差为.
则,即
又∵,代入上式可得
又∵,则
∴,故选A.
10.已知椭圆()的左、右顶点分别为,,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵以为直径为圆与直线相切,∴圆心到直线距离等于半径,
∴
又∵,则上式可化简为
∵,可得,即
∴,故选A
11.已知函数有唯一零点,则()
A. B. C. D.1
【答案】C
【解析】由条件,,得:
∴,即为的对称轴,
由题意,有唯一零点,
∴的零点只能为,
即,
解得.
12.在矩形中,,,动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为()
A.3 B. C. D.2
【答案】A
【解析】由题意,画出右图.
设与切于点,连接.
以为原点,为轴正半轴,
为轴正半轴建立直角坐标系,
则点坐标为.
∵,.
∴.
∵切于点.
∴⊥.
∴是中斜边上的高.
即的半径为.
∵在上.
∴点的轨迹方程为.
设点坐标,可以设出点坐标满足的参数方程如下:
而,,.
∵
∴,.
两式相加得:
(其中,)
当且仅当,时,取得最大值3.
二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若x,y满足约束条件则的最小值为________.
【答案】
【解析】由题,画出可行域如图:
目标函数为,则直线纵截距越大,值越小.
由图可知:在处取最小值,故.
14.设等比数列满足,,则________.
【答案】
【解析】为等比数列,设公比为.
,即,
显然,,
得,即,代入式可得,
.
15.设函数则满足的x的取值范围是________.
【答案】
【解析】,,即
由图象变换可画出与的图象如下:
由图可知,满足的解为.
16.,为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形的直角边所在直线与
,都垂直,斜边以直线为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线与成角时,与成角;
②当直线与成角时,与成角;
③直线与所成角的最小值为;
④直线与所成角的最大值为.
其中正确的是________(填写所有正确结论的编号)
【答案】②③
【解析】由题意知,三条直线两两相互垂直,画出图形如图.
不妨设图中所示正方体边长为1,
故,,
斜边以直线为旋转轴旋转,则点保持不变,
点的运动轨迹是以为圆心,1为半径的圆.
以为坐标原点,以为轴正方向,为轴正方向,
为轴正方向建立空间直角坐标系.
则,,
直线的方向单位向量,.
点起始坐标为,
直线的方向单位向量,.
设点在运动过程中的坐标,
其中为与的夹角,.
那么在运动过程中的向量,.
设与所成夹角为,
则.
故,所以③正确,④错误.
设与所成夹角为,
.
当与夹角为时,即,
.
∵,
∴.
∴.
∵.
∴,此时与夹角为.
∴②正确,①错误.
三、解答题:(共70分.第17-20题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答)
(一)必考题:共60分.
17.(12分)
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,.
(1)求c;
(2)设为边上一点,且,求的面积.
【解析】(1)由得,
即,又,
∴,得.
由余弦定理.又∵代入并整理得,故.
(2)∵,
由余弦定理.
∵,即为直角三角形,
则,得.
由勾股定理.
又,则,
.
18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为多少时,的数学期望达到最大值?
【解析】⑴易知需求量可取
.
则分布列为:
⑵①当时:,此时,当时取到.
②当时:
此时,当时取到.
③当时,
此时.
④当时,易知一定小于③的情况.
综上所述:当时,取到最大值为.
19.(12分)如图,四面体中,是正三角形,是直角三角形.,.
(1)证明:平面平面;
(2)过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分.求二面角的余弦值.
【解析】⑴取中点为,连接,;
为等边三角形
∴
∴
.
∴,即为等腰直角三角形,
为直角又为底边中点
∴
令,则
易得:,
∴
由勾股定理的逆定理可得
即
又∵
由面面垂直的判定定理可得
⑵由题意可知
即,到平面的距离相等
即为中点
以为原点,为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向,设,建立空间直角坐标系,
则,,,,
易得:,,
设平面的法向量为,平面的法向量为,
则,解得
,解得
若二面角为,易知为锐角,
则
20.(12分)已知抛物线,过点(2,0)的直线交于,两点,圆是以线段为直径的圆.
(1)证明:坐标原点在圆上;
(2)设圆过点(4,),求直线与圆的方程.
【解析】⑴显然,当直线斜率为时,直线与抛物线交于一点,不符合题意.
设,,,
联立:得,
恒大于,,.
∴,即在圆上.
⑵若圆过点,则
化简得解得或
①当时,圆心为,
,,
半径
则圆
②当时,圆心为,
,,
半径
则圆
21.(12分)已知函数.
(1)若,求的值;
(2)设为整数,且对于任意正整数,,求的最小值.
【解析】⑴ ,
则,且
当时,,在上单调增,所以时,,不满足题意;
当时,
当时,,则在上单调递减;
当时,,则在上单调递增.
①若,在上单调递增∴当时矛盾
②若,在上单调递减∴当时矛盾
③若,在上单调递减,在上单调递增∴满足题意
综上所述.
⑵ 当时即
则有当且仅当时等号成立
∴,
一方面:,
即.
另一方面:
当时,
∵,,
∴的最小值为.
22.选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数),直线的参数方程为(m为参数),设与的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程:
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,M为与C的交点,求M的极径.
【解析】⑴将参数方程转化为一般方程
……①
……②
①②消可得:
即的轨迹方程为;
⑵将参数方程转化为一般方程
……③
联立曲线和
解得
由解得
即的极半径是.
23.选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式的解集非空,求m的取值范围.
【解析】⑴可等价为.由可得:
①当时显然不满足题意;
②当时,,解得;
③当时,恒成立.综上,的解集为.
⑵不等式等价为,
令,则解集非空只需要.
而.
①当时,;
②当时,;
③当时,.
综上,,故.