步步高高考数学第一轮复习08空间向量及其运算 16页

‎§8.6　空间向量及其运算 ‎2014高考会这样考1.考查空间向量的线性运算及其数量积；2.利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；3.考查空间向量基本定理及其意义．‎ 复习备考要这样做1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积．‎ ‎1．空间向量的有关概念 ‎(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．‎ ‎(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．‎ ‎(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．‎ ‎(4)共面向量：平行于同一个平面的向量．‎ ‎2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 ‎(1)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.‎ 推论如图所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta①‎ 其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝(1－t)＋t.‎ ‎(2)共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝__1__.‎ ‎(3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．‎ ‎3．空间向量的数量积及运算律 ‎(1)数量积及相关概念 ‎①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.‎ ‎②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律 ‎①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；‎ ‎②交换律：a·b＝b·a；‎ ‎③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.‎ ‎4．空间向量的坐标表示及应用 ‎(1)数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，‎ 则a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.‎ ‎(2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，‎ 则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)，‎ a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．‎ ‎(3)模、夹角和距离公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，‎ 则|a|＝＝，‎ cos〈a，b〉＝＝.‎ 设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，‎ 则dAB＝||＝.‎ ‎[难点正本　疑点清源]‎ ‎1．空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似，故在学习空间向量时，如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果．比如：‎ ‎(1)定义式：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉或cos〈a，b〉＝，用于求两个向量的数量积或夹角；‎ ‎(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，用于证明两个向量的垂直关系；‎ ‎(3)|a|2＝a·a，用于求距离等等．‎ ‎2．用空间向量解决几何问题的一般步骤：‎ ‎(1)适当的选取基底{a，b，c}；‎ ‎(2)用a，b，c表示相关向量；‎ ‎(3)通过运算完成证明或计算问题．‎ ‎1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．‎ 答案－13‎ 解析∵a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)，‎ ‎∴(a＋b)·(a－b)＝－20－5＋12＝－13.‎ ‎2．下列命题：‎ ‎①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；‎ ‎②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；‎ ‎③若a、b共线，则a与b所在直线平行；‎ ‎④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．‎ 其中不正确的所有命题的序号为__________．‎ 答案②③④‎ 解析①中四点恰好围成一封闭图形，正确；‎ ‎②中当a、b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|；‎ ‎③中a、b所在直线可能重合；‎ ‎④中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四点共面．‎ ‎3．同时垂直于a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)的单位向量是____________________．‎ 答案或 解析设与a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)同时垂直b单位向量是c＝(p，q，r)，则 解得或 即同时垂直a，b的单位向量为 或.‎ ‎4．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B‎1C1D1中，M为A‎1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)‎ A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 答案A 解析＝＋＝＋(－)‎ ‎＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.‎ ‎5.如图所示，在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，‎ 且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)‎ A．EF至多与A1D、AC之一垂直 B．EF与A1D、AC都垂直 C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 答案B 解析设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，＝，＝(－1，－1，1)，＝－，·＝·＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.‎ 题型一空间向量的线性运算 例1三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC 的重心，用基向量，，表示，.‎ 思维启迪：利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可．‎ 解＝＋＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝＋[(＋)－]‎ ‎＝－＋＋.‎ ＝＋＝－＋＋ ‎＝＋＋.‎ 探究提高用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．‎ 如图所示，ABCD－A1B‎1C1D1中，ABCD是平行四边形．若＝，＝2，若＝b，＝c，＝a，试用a，b，c表示.‎ 解如图，连接AF，则＝＋.‎ 由已知ABCD是平行四边形，‎ 故＝＋＝b＋c，‎ ＝＋＝－a＋c.‎ 由已知，＝2，∴＝＋ ‎＝－＝－ ‎＝c－(c－a)＝(a＋‎2c)，‎ 又＝－＝－(b＋c)，‎ ‎∴＝＋＝－(b＋c)‎ ‎＋(a＋‎2c)＝(a－b＋c)．‎ 题型二共线定理、共面定理的应用 例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、‎ DA的中点，‎ ‎(1)求证：E、F、G、H四点共面；‎ ‎(2)求证：BD∥平面EFGH；‎ ‎(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)．‎ 思维启迪：对于(1)只要证出向量与共线即可；对于(2)只要证出＝＋即可；对于(3)，易知四边形EFGH为平行四边形，则点M为线段EG与FH的中点，于是向量可由向量和表示，再将与分别用向量，和向量，表示．‎ 证明(1)连接BG，‎ 则＝＋ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝＋＋＝＋，‎ 由共面向量定理的推论知：‎ E、F、G、H四点共面．‎ ‎(2)因为＝－ ‎＝－＝(－)＝，‎ 所以EH∥BD.‎ 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，‎ 所以BD∥平面EFGH.‎ ‎(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.‎ 由(2)知＝，同理＝，‎ 所以＝，即EH綊FG，‎ 所以四边形EFGH是平行四边形．‎ 所以EG，FH交于一点M且被M平分．‎ 故＝(＋)＝＋ ‎＝＋ ‎＝(＋＋＋)．‎ 探究提高在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解．若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a＝λb关系，即可判定两直线平行．‎ 如图，在三棱柱ABC—A1B‎1C1中，D为BC边上的中点，‎ 求证：A1B∥平面AC1D.‎ 证明设＝a，＝c，＝b，‎ 则＝＋＝＋ ‎＝a＋c，‎ ＝＋＝＋＝－a＋b，‎ ＝＋＝－＋＝b－a＋c，‎ ＝－2，‎ ‎∵A1B⊄平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D.‎ 题型三空间向量数量积的应用 例3已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．‎ ‎(1)求以，为边的平行四边形的面积；‎ ‎(2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．‎ 思维启迪：利用两个向量的数量积可以求向量的模和两个向量的夹角．‎ 解(1)由题意可得：‎ ＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，‎ ‎∴cos〈，〉＝ ‎＝＝＝.‎ ‎∴sin〈，〉＝，‎ ‎∴以，为边的平行四边形的面积为 S＝2×||·||·sin〈，〉‎ ‎＝14×＝7.‎ ‎(2)设a＝(x，y，z)，‎ 由题意得，‎ 解得或，‎ ‎∴向量a的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．‎ 探究提高　(1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；‎ ‎(2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算；‎ ‎(3)通过数量积可以求向量的模.‎ 如图所示，平行六面体ABCD—A1B‎1C1D1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.‎ ‎(1)求AC1的长；‎ ‎(2)求BD1与AC夹角的余弦值．‎ 解(1)记＝a，＝b，＝c，‎ 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，‎ ‎∴a·b＝b·c＝c·a＝.‎ ‎||2＝(a＋b＋c)2‎ ‎＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)‎ ‎＝1＋1＋1＋2×＝6，‎ ‎∴||＝，即AC1的长为.‎ ‎(2)＝b＋c－a，＝a＋b，‎ ‎∴||＝，||＝，‎ ·＝(b＋c－a)·(a＋b)‎ ‎＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.‎ ‎∴cos〈，〉＝＝.‎ ‎∴AC与BD1夹角的余弦值为.‎ 空间向量运算错误 典例：(12分)如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱 ABCD—A1B‎1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N 是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，设 ‎＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示以下向量：‎ ‎(1)；(2)；(3)；(4).‎ 易错分析解本题易出错的地方就是对空间向量加减法的运算，特别是减法运算理解不清，如把误认为是－；另一个错误是向量的数乘表示不准，如把＝，误认为＝.‎ 规范解答 解如图连接AC，AD1.‎ ‎(1)＝(＋)‎ ‎＝(＋＋)‎ ‎＝(a＋b＋c)．[3分]‎ ‎(2)＝(＋)＝(＋2＋)‎ ‎＝(a＋2b＋c)．[6分]‎ ‎(3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝(＋2＋2)＝(a＋2b＋‎2c)‎ ‎＝a＋b＋c.[9分]‎ ‎(4)＝＋＝＋(－)‎ ‎＝＋＝＋＋ ‎＝a＋b＋c.[12分]‎ 温馨提醒(1)空间向量的加减法运算和数乘是表示向量的基础；(2)空间任一向量用一组基底表示是唯一的；(3)空间向量共线和两直线平行是不同的.‎ 方法与技巧 ‎1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．‎ ‎2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．‎ ‎3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．‎ 失误与防范 ‎1．向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．‎ ‎2．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．‎ A组专项基础训练 ‎(时间：35分钟，满分：57分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．已知O，A，B，C为空间四个点，又，，为空间的一个基底，则(　　)‎ A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 答案D 解析，，为空间的一个基底，所以，，不共面，但A，B，C三种情况都有可能使，，共面．‎ ‎2．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)‎ A．2，B．－， C．－3,2D．2,2‎ 答案A 解析由题意知：解得或 ‎3.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的 中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为(　　)‎ A．(1,1,1) B. C.D．(1,1,2)‎ 答案A 解析设PD＝a (a>0)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E，‎ ‎∴＝(0,0，a)，＝，‎ ‎∵cos〈，〉＝，∴＝a·，∴a＝2.‎ ‎∴E的坐标为(1,1,1)．‎ ‎4．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，‎ 则PC等于(　　)‎ A．6B．6‎ C．12 D．144‎ 答案C 解析因为＝＋＋，‎ 所以2＝2＋2＋2＋2· ‎＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.‎ 所以||＝12.‎ 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎5.在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为 AD的中点，则＝______________(用a，b，c表示)．‎ 答案a＋b＋c 解析＝＋＝＋＋ ‎＝a＋b＋c.‎ ‎6．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.‎ 答案－2或 解析由已知得＝＝，‎ ‎∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝.‎ ‎7．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)、B(10，－1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．‎ 答案2‎ 解析由题意知·＝0，||＝||，可解得x＝2.‎ 三、解答题(共22分)‎ ‎8．(10分)如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD 的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B、G、N三 点共线．‎ 证明设＝a，＝b，＝c，‎ 则＝＋＝＋ ‎＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，‎ ＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝－a＋b＋c＝.‎ ‎∴∥，即B、G、N三点共线．‎ ‎9．(12分)已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.‎ ‎(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；‎ ‎(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．‎ 解(1)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，‎ ‎∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，‎ 又|a|＝＝，‎ ‎|b|＝＝，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝－，‎ 即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.‎ ‎(2)方法一∵ka＋b＝(k－1，k,2)．‎ ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，‎ ‎∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，‎ ‎∴k＝2或k＝－，∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－.‎ 方法二由(2)知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1，‎ ‎∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k‎2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－.‎ B组专项能力提升 ‎(时间：25分钟，满分：43分)‎ 一、选择题(每小题5分，共15分)‎ ‎1．有下列命题：‎ ‎①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；‎ ‎②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；‎ ‎③若＝x＋y，则P，M，A、B共面；‎ ‎④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ 答案B 解析其中①③为真命题．‎ ‎2．正方体ABCD—A1B‎1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)‎ A.aB.aC.a D.a 答案A 解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，‎ 则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，‎ N.‎ 设M(x，y，z)．‎ ‎∵点M在AC1上且＝，‎ ‎∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)‎ ‎∴x＝a，y＝，z＝.∴M，‎ ‎∴||＝＝a.‎ ‎3.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，‎ 则cos〈，〉的值为(　　)‎ A．0B. C.D. 答案A 解析设＝a，＝b，＝c，‎ 由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，‎ ·＝a·(c－b)＝a·c－a·b ‎＝|a||c|－|a||b|＝0，‎ ‎∴cos〈，〉＝0.‎ 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎4．已知a＋3b与‎7a－5b垂直，且a－4b与‎7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.‎ 答案60°‎ 解析由条件知(a＋3b)·(‎7a－5b)‎ ‎＝7|a|2＋‎16a·b－15|b|2＝0，‎ 及(a－4b)·(‎7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－‎30a·b＝0.‎ 两式相减，得‎46a·b＝23|b|2，∴a·b＝|b|2.‎ 代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝|b|.‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝.‎ ‎∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝60°.‎ ‎5.如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ，AB⊥BC，‎ BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC ‎＝CD＝1，则AD的长为________．‎ 答案 解析＝＋＋，‎ 所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cosθ.‎ 所以||＝，‎ 即AD的长为.‎ ‎6．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________．‎ 答案 解析b－a＝(1＋t,2t－1,0)，‎ ‎∴|b－a|＝ ‎＝，‎ ‎∴当t＝时，|b－a|取得最小值.‎ 三、解答题 ‎7．(13分)直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，‎ D、E分别为AB、BB′的中点．‎ ‎(1)求证：CE⊥A′D；‎ ‎(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．‎ ‎(1)证明设＝a，＝b，＝c，‎ 根据题意，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，‎ ‎∴＝b＋c，＝－c＋b－a.‎ ‎∴·＝－c2＋b2＝0.‎ ‎∴⊥，即CE⊥A′D.‎ ‎(2)解∵＝－a＋c，‎ ‎||＝|a|，||＝|a|.‎ ·＝(－a＋c)· ‎＝c2＝|a|2，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝.‎ 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.‎