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- 2021-05-13 发布
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等比数列
【知识点回顾】
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列叫做等比数列,常数称为等比数列的公比.
2.通项公式与前项和公式
⑴通项公式:,为首项,为公比 .
⑵前项和公式:①当时,
②当时,.
3.等比中项
如果成等比数列,那么叫做与的等比中项.
即:是与的等差中项,,成等差数列.
4.等比数列的判定方法
⑴定义法:(,是常数)是等比数列;
⑵中项法:()且是等比数列.
5.等比数列的常用性质
⑴数列是等比数列,则数列、(是常数)都是等比数列;
⑵在等比数列中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即为等比数列,公比为.
⑶
⑷若,则;
⑸若等比数列的前项和,则、、、是等比数列.
【方法总结】
1.求等比数列的公比、、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质.
例1.已知等比数列的前项和(是非零常数),则数列是( )
A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.非等差数列
[名师点拨]先由求出,再根据等差、等比数列定义作出判定.
解:,
∴当且时,是等比数列;当时,是等差数列,选C.
2.求实数等比数列的中项要注意符号,求和要注意分类讨论.
例2.若实数数列是等比数列,则 .
[名师点拨]本题容易错认为,由等比数列的等比中项公式,得
解:是等比数列,,得
又是等比数列,,.
考点一 等比数列的通项与前n项和
题型1:已知等比数列的某些项,求某项
例1.已知为等比数列,,则
[解题思路]可以考虑基本量法,或利用等比数列的性质
解:方法1:
方法2:,
方法3:为等比数列
题型2:已知前项和及其某项,求项数.
例2.⑴已知为等比数列前项和,,,公比,则项数 .
⑵已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为,中间两数之和为,求这四个数.
[解题思路]⑴利用等比数列的通项公式及求出及,代入可求项数;⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知,可求这四个数.
解:⑴由,,公比,得.
⑵方法1:设这四个数分别为,则;
方法2:设前个数分别为,则第个数分别为,则
,解得或;
方法3:设第个数分别为,则第个数为,第个数为,则
或;
方法4:设第个数分别为,设第个数分别为;
方法5:设第个数分别为,则设第个数分别为,则
或
题型3:求等比数列前项和
例3.等比数列中从第5项到第10项的和.
[解题思路]可以先求出,再求出,利用求解;也可以先求出及,
由成等比数列求解.
解:由,得,
,,
例4.已知为等比数列前项和,,求
[解题思路]可以先求出,再根据的形式特点求解.
解:,
即
例5.已知为等比数列前项和,,求.
[解题思路]分析数列通项形式特点,结合等比数列前项和公式的推导,采用错位相减法求和.
解:
,----------------①
-------------②
①—②,得
变式1:已知为等比数列,,求的值.
解:设等比数列的公比为,
,,;
考点二 证明数列是等比数列
例6.已知数列和满足:,,,其中为实数,.
⑴ 对任意实数,证明数列不是等比数列;
⑵ 试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论.
[解题思路]⑴证明数列不是等比数列,只需举一个反例;⑵证明数列是等比数列,
常用:①定义法;②中项法.
解:⑴ 证明:假设存在一个实数,使是等比数列,则有,
即矛盾.
所以不是等比数列.
⑵ 解:因为
又,所以
当,此时不是等比数列;
当时,由上可知,此时是等比数列【名师点拨】等比数列的判定方法:
⑴定义法:(,是常数)是等比数列;
⑵中项法:()且是等比数列.
变式1:已知数列的首项,,….证明:数列是等比数列;
C ,又,,
数列是以为首项,为公比的等比数列.
考点三 等比数列的性质
例7.已知为等比数列前项和,,,则 .
[解题思路]结合题意考虑利用等比数列前项和的性质求解.
解:是等比数列,为等比数列,
∴.
【名师点拨】给项求项问题,先考虑利用等比数列的性质,再考虑基本量法.
变式1:已知等比数列中,,则 .
解:是等比数列,
∴.
考点四 等比数列与其它知识的综合
例8.设为数列的前项和,已知
⑴证明:当时,是等比数列;
⑵求的通项公式。
[解题思路]由递推公式求数列的通项公式,主要利用:
,同时注意分类讨论思想.
解:由题意知,且 ,
两式相减,得,即 ①
⑴当时,由①知
于是
又,所以是首项为,公比为的等比数列。
⑵当时,由(Ⅰ)知,即
当时,由①得
因此
得
【名师点拨】退一相减是解决含有的递推公式的重要手段,使其转化为不含的递推公式,从而针对性的解决;在由递推公式求通项公式时,重视首项是否可以吸收是易错点,同时重视分类讨论,做到条理清晰是关键.
【基础巩固】
1.设是公比为正数的等比数列,若,则数列前7项的和为( )
解:由,得,,
2.设等比数列的公比, 前n项和为,则( C )
解:
3.已知等比数列满足,则( A )
解:,,
4.已知等比数列的前三项依次为,,,则( C )
A. B. C. D.
解:,,
5.已知是等比数列,,则=( C )
解:,
6.已知,,,是公比为2的等比数列,则等于 ( )
A. B. C. 1 D.
7.已知是等比数列,且,,那么 的值是( )
A.5 B.6 C.7 D.25
8.在等比数列中,已知,,则该数列前5项的积为 ( )
A. B.3 C.1 D.
9.的三边,,既成等比数列又成等差数列,则三角形的形状是( )
A.Rt B.等腰 C.等腰Rt D.等边
10.三个数成等比数列,其积为1728,其和为38,则此三数为 ( )
A.3,12,48 B.4,16,27 C.8,12,18 D.4,12,36
11.若6,,,,54这五个数成等比数列,则实数的值是 ( )
A. B. C. D.
12.(2009广雅中学)在等比数列中,已知,,则 .
解:利用成等比数列,得
13. 设数列的前项和为,为等比数列,且
(Ⅰ)求数列和的通项公式; (Ⅱ)设,求数列的前n项和Tn.
14. 已知等比数列的各项都是正数,, 且在前n项中, 最大的项为54, 求n的值.
15.已知数列的前n项和满足:. 又.
(1)求a的值;(2)求.
已知等比数列的前项和为,且.
(1)求的值及数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和
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