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  • 2021-05-13 发布

等比数列高考专题复习资料

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‎ 等比数列 ‎【知识点回顾】‎ ‎1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列叫做等比数列,常数称为等比数列的公比.‎ ‎2.通项公式与前项和公式 ‎⑴通项公式:,为首项,为公比 .‎ ‎⑵前项和公式:①当时,‎ ‎②当时,.‎ ‎3.等比中项 如果成等比数列,那么叫做与的等比中项.‎ 即:是与的等差中项,,成等差数列.‎ ‎4.等比数列的判定方法 ‎⑴定义法:(,是常数)是等比数列;‎ ‎⑵中项法:()且是等比数列.‎ ‎5.等比数列的常用性质 ‎⑴数列是等比数列,则数列、(是常数)都是等比数列;‎ ‎⑵在等比数列中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即为等比数列,公比为.‎ ‎⑶‎ ‎⑷若,则;‎ ‎⑸若等比数列的前项和,则、、、是等比数列.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.求等比数列的公比、、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质.‎ 例1.已知等比数列的前项和(是非零常数),则数列是( )‎ A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.非等差数列 ‎[名师点拨]先由求出,再根据等差、等比数列定义作出判定.‎ 解:,‎ ‎∴当且时,是等比数列;当时,是等差数列,选C.‎ ‎2.求实数等比数列的中项要注意符号,求和要注意分类讨论.‎ 例2.若实数数列是等比数列,则 .‎ ‎[名师点拨]本题容易错认为,由等比数列的等比中项公式,得 解:是等比数列,,得 又是等比数列,,.‎ 考点一 等比数列的通项与前n项和 题型1:已知等比数列的某些项,求某项 例1.已知为等比数列,,则 ‎ ‎[解题思路]可以考虑基本量法,或利用等比数列的性质 解:方法1:‎ 方法2:,‎ 方法3:为等比数列 题型2:已知前项和及其某项,求项数.‎ 例2.⑴已知为等比数列前项和,,,公比,则项数 .‎ ‎⑵已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为,中间两数之和为,求这四个数.‎ ‎[解题思路]⑴利用等比数列的通项公式及求出及,代入可求项数;⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知,可求这四个数.‎ 解:⑴由,,公比,得.‎ ‎⑵方法1:设这四个数分别为,则;‎ 方法2:设前个数分别为,则第个数分别为,则 ‎,解得或;‎ 方法3:设第个数分别为,则第个数为,第个数为,则 或;‎ 方法4:设第个数分别为,设第个数分别为;‎ 方法5:设第个数分别为,则设第个数分别为,则 或 题型3:求等比数列前项和 例3.等比数列中从第5项到第10项的和.‎ ‎[解题思路]可以先求出,再求出,利用求解;也可以先求出及,‎ 由成等比数列求解.‎ 解:由,得,‎ ‎,,‎ 例4.已知为等比数列前项和,,求 ‎ ‎[解题思路]可以先求出,再根据的形式特点求解.‎ 解:,‎ 即 例5.已知为等比数列前项和,,求. ‎ ‎[解题思路]分析数列通项形式特点,结合等比数列前项和公式的推导,采用错位相减法求和.‎ 解:‎ ‎,----------------①‎ ‎ -------------②‎ ‎①—②,得 ‎ ‎ 变式1:已知为等比数列,,求的值.‎ 解:设等比数列的公比为,‎ ‎,,;‎ 考点二 证明数列是等比数列 例6.已知数列和满足:,,,其中为实数,.‎ ‎⑴ 对任意实数,证明数列不是等比数列;‎ ‎⑵ 试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论.‎ ‎[解题思路]⑴证明数列不是等比数列,只需举一个反例;⑵证明数列是等比数列,‎ 常用:①定义法;②中项法.‎ 解:⑴ 证明:假设存在一个实数,使是等比数列,则有,‎ 即矛盾.‎ 所以不是等比数列. ‎ ‎⑵ 解:因为 ‎ ‎ 又,所以 当,此时不是等比数列;‎ 当时,由上可知,此时是等比数列【名师点拨】等比数列的判定方法:‎ ‎⑴定义法:(,是常数)是等比数列;‎ ‎⑵中项法:()且是等比数列.‎ 变式1:已知数列的首项,,….证明:数列是等比数列; ‎ C ,又,,‎ 数列是以为首项,为公比的等比数列.‎ 考点三 等比数列的性质 例7.已知为等比数列前项和,,,则 .‎ ‎[解题思路]结合题意考虑利用等比数列前项和的性质求解.‎ 解:是等比数列,为等比数列,‎ ‎∴.‎ ‎【名师点拨】给项求项问题,先考虑利用等比数列的性质,再考虑基本量法.‎ 变式1:已知等比数列中,,则 .‎ 解:是等比数列,‎ ‎∴.‎ 考点四 等比数列与其它知识的综合 例8.设为数列的前项和,已知 ‎⑴证明:当时,是等比数列;‎ ‎⑵求的通项公式。‎ ‎[解题思路]由递推公式求数列的通项公式,主要利用:‎ ‎,同时注意分类讨论思想.‎ 解:由题意知,且 ,‎ 两式相减,得,即 ①‎ ‎⑴当时,由①知 ‎ 于是 ‎ 又,所以是首项为,公比为的等比数列。‎ ‎⑵当时,由(Ⅰ)知,即 ‎ 当时,由①得 ‎ 因此 ‎ 得 ‎ ‎【名师点拨】退一相减是解决含有的递推公式的重要手段,使其转化为不含的递推公式,从而针对性的解决;在由递推公式求通项公式时,重视首项是否可以吸收是易错点,同时重视分类讨论,做到条理清晰是关键.‎ ‎【基础巩固】‎ ‎1.设是公比为正数的等比数列,若,则数列前7项的和为( )‎ ‎ ‎ 解:由,得,,‎ ‎2.设等比数列的公比, 前n项和为,则( C )‎ ‎ ‎ 解:‎ ‎3.已知等比数列满足,则( A )‎ ‎ ‎ 解:,,‎ ‎4.已知等比数列的前三项依次为,,,则( C )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解:,,‎ ‎5.已知是等比数列,,则=( C )‎ ‎ ‎ 解:,‎ ‎6.已知,,,是公比为2的等比数列,则等于 ( )‎ A. B. C. 1 D.‎ ‎7.已知是等比数列,且,,那么 的值是( )‎ A.5 B.6 C.7 D.25‎ ‎8.在等比数列中,已知,,则该数列前5项的积为 ( )‎ A. B.3 C.1 D.‎ ‎9.的三边,,既成等比数列又成等差数列,则三角形的形状是( )‎ A.Rt B.等腰 C.等腰Rt D.等边 ‎10.三个数成等比数列,其积为1728,其和为38,则此三数为 ( )‎ A.3,12,48 B.4,16,27 C.8,12,18 D.4,12,36‎ ‎11.若6,,,,54这五个数成等比数列,则实数的值是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.(2009广雅中学)在等比数列中,已知,,则 . ‎ 解:利用成等比数列,得 ‎ ‎13. 设数列的前项和为,为等比数列,且 ‎ (Ⅰ)求数列和的通项公式; (Ⅱ)设,求数列的前n项和Tn.‎ ‎14. 已知等比数列的各项都是正数,, 且在前n项中, 最大的项为54, 求n的值.‎ ‎15.已知数列的前n项和满足:. 又.‎ ‎(1)求a的值;(2)求.‎ 已知等比数列的前项和为,且.‎ ‎(1)求的值及数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和