2015高考数学（文）（基本不等式及其应用）一轮复习学案 9页

学案36　基本不等式及其应用 导学目标： 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．‎ 自主梳理 ‎1．基本不等式≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：____________.‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．‎ ‎2．几个重要的不等式 ‎(1)a2＋b2≥________ (a，b∈R)．‎ ‎(2)＋≥____(a，b同号)．‎ ‎(3)ab≤2 (a，b∈R)．‎ ‎(4)2____.‎ ‎3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________.‎ ‎4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 ‎(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________(简记：积定和最小)．‎ ‎(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值是__________(简记：和定积最大)．‎ 自我检测 ‎1．“a>b>‎0”‎是“ab<”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．(2011·南平月考)已知函数f(x)＝x，a、b∈(0，＋∞)，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系是(　　)‎ A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A ‎3．下列函数中，最小值为4的函数是(　　)‎ A．y＝x＋ B．y＝sin x＋(00，≤a恒成立，则a的取值范围为________________．‎ 探究点一　利用基本不等式求最值 例1　(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值；‎ ‎(2)已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；‎ ‎(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．‎ 变式迁移1　(2011·重庆)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)‎ A. B．4‎ C. D．5‎ 探究点二　基本不等式在证明不等式中的应用 例2　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9.‎ 变式迁移2　已知x>0，y>0，z>0.‎ 求证：≥8.‎ 探究点三　基本不等式的实际应用 例3　(2011·镇江模拟)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．‎ ‎(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；‎ ‎(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？‎ ‎(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)‎ 变式迁移3　(2011·广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．‎ ‎(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．‎ ‎(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？‎ ‎(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)‎ ‎1．a2＋b2≥2ab对a、b∈R都成立；≥成立的条件是a，b∈R＋；＋≥2成立的条件是ab>0，即a，b同号．‎ ‎2．利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值．‎ ‎3．使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数y＝ax＋，当a>0，b<0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当a<0，b>0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；当a>0，b>0时函数在，上是减函数，在，上是增函数；当a<0，b<0时，可作如下变形：y＝－来解决最值问题．‎ ‎ ‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．设a>0，b>0，若是‎3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)‎ A．8 B．‎4 ‎ C．1 D. ‎2．(2011·鞍山月考)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)‎ A．2 B．‎4 ‎ C．6 D．8‎ ‎3．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　)‎ A．2 B．‎2‎ C．4 D．5‎ ‎4．一批货物随17列货车从A市以a km/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长‎400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于‎2 km，那么这批货物全部运到B市，最快需要(　　)‎ A．6 h B．8 h C．10 h D．12 h ‎5．(2011·宁波月考)设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by (a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为(　　)‎ A. B. C. D．4‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．(2010·浙江)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．‎ ‎7．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．‎ ‎8．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为__________________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(1)已知00)．‎ ‎(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？‎ ‎(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？‎ ‎11．(14分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．‎ ‎(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；‎ ‎(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．‎ 学案36　基本不等式及其应用 自主梳理 ‎1．(1)a>0，b>0　(2)a＝b　2.(1)2ab　(2)2　(4)≤‎ ‎3.　　两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数　4.(1)x＝y　小　2　(2)x＝y　大　 自我检测 ‎1．A　2.A　3.C ‎4．大　－2－1　5.[，＋∞)‎ 课堂活动区 例1　解题导引　基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件．‎ 解　(1)∵x>0，y>0，＋＝1，‎ ‎∴x＋y＝(x＋y) ‎＝＋＋10≥6＋10＝16.‎ 当且仅当＝时，上式等号成立，又＋＝1，‎ ‎∴x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.‎ ‎(2)∵x<，∴5－4x>0.‎ y＝4x－2＋＝－＋3‎ ‎≤－2 ＋3＝1，‎ 当且仅当5－4x＝，‎ 即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.‎ ‎(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，‎ ‎∴＋＝1.‎ ‎∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋ ‎＝10＋2 ‎≥10＋2×2× ＝18，‎ 当且仅当＝，即x＝2y时取等号．‎ 又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.‎ ‎∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.‎ 变式迁移1　C　[∵a＋b＝2，∴＝1.‎ ‎∴＋＝(＋)()＝＋(＋)≥＋2＝(当且仅当＝，即b＝‎2a时，“＝”成立)，故y＝＋的最小值为.]‎ 例2　解题导引　“‎1”‎的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法．‎ 在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否有误的一种方法．‎ 证明　方法一　因为a>0，b>0，a＋b＝1，‎ 所以1＋＝1＋＝2＋.‎ 同理1＋＝2＋.‎ 所以(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)‎ ‎＝5＋2(＋)≥5＋4＝9.‎ 所以(1＋)(1＋)≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．‎ 方法二　(1＋)(1＋)＝1＋＋＋ ‎＝1＋＋＝1＋，‎ 因为a，b为正数，a＋b＝1，‎ 所以ab≤()2＝，于是≥4，≥8，‎ 因此(1＋)(1＋)≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．‎ 变式迁移2　证明　∵x>0，y>0，z>0，‎ ‎∴＋≥>0，‎ ＋≥>0，‎ ＋≥>0.‎ ‎∴ ‎≥＝8.‎ 当且仅当x＝y＝z时等号成立．‎ 所以(＋)(＋)(＋)≥8.‎ 例3　解题导引　1.用基本不等式解应用题的思维程序为：‎ →→→→ ‎2．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案．‎ 解　(1)依题意得 y＝(560＋48x)＋ ‎＝560＋48x＋ (x≥10，x∈N*)．‎ ‎(2)∵x>0，∴48x＋ ‎≥2＝1 440，‎ 当且仅当48x＝，即x＝15时取到“＝”，‎ 此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．‎ 答　当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元．‎ 变式迁移3　解　(1)由题意可设3－x＝，‎ 将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.‎ 当年生产x万件时，‎ ‎∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，‎ ‎∴年生产成本为32x＋3＝32＋3.‎ 当销售x(万件)时，年销售收入为 ‎150%＋t.‎ 由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y＝ (t≥0)．‎ ‎(2)y＝＝50－ ‎≤50－2＝50－2＝42(万元)，‎ 当且仅当＝，即t＝7时，ymax＝42，‎ ‎∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．‎ 课后练习区 ‎1．B　[因为‎3a·3b＝3，所以a＋b＝1，‎ ＋＝(a＋b)＝2＋＋ ‎≥2＋2＝4，当且仅当＝即a＝b＝时，“＝”成立．]‎ ‎2．B　[不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则1＋a＋＋≥a＋2＋1≥9，‎ ‎∴≥2或≤－4(舍去)．‎ ‎∴正实数a的最小值为4.]‎ ‎3．C　[因为＋＋2≥2＋2 ‎＝2≥4，当且仅当＝且 ＝，‎ 即a＝b＝1时，取“＝”号．]‎ ‎4．B　[第一列货车到达B市的时间为 h，由于两列货车的间距不得小于‎2 km，所以第17列货车到达时间为＋＝＋≥8，当且仅当＝，即a＝‎100 km/h时成立，所以最快需要8 h．]‎ ‎5．A ‎6．18‎ 解析　由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得 xy≥2＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，‎ 即()2－2－6≥0，‎ ‎∴(－3)·(＋)≥0.‎ 又∵>0，∴≥3，即xy≥18.‎ 故xy的最小值为18.‎ ‎7．4‎ 解析　过原点的直线与f(x)＝交于P、Q两点，则直线的斜率k>0，设直线方程为y＝kx，由得或 ‎∴P(，)，Q(－，－)或P(－，－)，Q(，)．‎ ‎∴|PQ|＝ ‎＝2≥4.‎ ‎8．(－∞，2－1)‎ 解析　由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得k＋1<3x＋，而3x＋≥2，∴k＋1<2，k<2－1.‎ ‎9．解　(1)∵0