高考数学全国1卷理及答案 12页

绝密 ★ 启用前 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试题卷共5页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。‎ ‎2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。‎ ‎3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ 5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）设集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）设，其中是实数，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）已知等差数列前项的和为，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）某公司的班车在，，发车，小明在至之间到达发车站乘 坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则的 ‎ 取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中 两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的 表面积是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）函数在的图像大致为 ‎（A） （B）‎ （C） ‎（D）‎ ‎（8）若，，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）执行右面的程序框图，如果输入的，，，则输出的值满足 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知,，则的焦点到准线的距离为 ‎ （A）2 （B）4 （C）6 （D）8‎ ‎（11）平面过正方体的顶点，平面，平面 ‎ ，平面，则所成角的正弦值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）已知函数，为的零点，为 ‎ 图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 ‎ （A）11 （B）9 （C）7 （D）5‎ ‎ ‎ 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。‎ ‎（13）设向量a，b，且abab，则 ．‎ ‎（14）的展开式中，的系数是 ．（用数字填写答案）‎ ‎（15）设等比数列满足，，则的最大值为 ．‎ ‎（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 的内角的对边分别为，已知．‎ ‎ （Ⅰ）求；‎ ‎ （Ⅱ）若，的面积为，求的周长．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在以为顶点的五面体中，面 为正方形，，且二面 角与二面角都是．‎ ‎ （Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ ‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎ （Ⅰ）求X的分布列；‎ ‎ （Ⅱ）若要求，确定的最小值；‎ ‎ （Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．‎ ‎ （Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；‎ ‎ （Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与 垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数有两个零点．‎ ‎ （Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎ （Ⅱ）设是的两个零点，证明：．‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 ‎ 如图，是等腰三角形，．以为圆心，‎ 为半径作圆．‎ ‎ （Ⅰ）证明：直线与⊙相切；‎ ‎ （Ⅱ）点在⊙上，且四点共圆，‎ 证明：．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．‎ ‎ （Ⅰ）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求．‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 ‎ 已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出的图像；‎ ‎ （Ⅱ）求不等式的解集．‎ 数学答案 ‎17、正确答案（评分标准及答案仅供参考）（12分）‎ 解：(1) ∵ anbn+1+bn+1=nbn   ∴  n=1时  a1·b2+b2=b1‎ ‎∴  a1·    ∴ a1=2   由已知{an}乘以2为首项，公差3的等差数列 ‎∴  an=a1+(n-1)·d=2+3(n-1)    ∴ an=3n-1‎ ‎(2)由①知代入 中∴  (3n-1)bn+1+bn+1=nbn ‎ ‎ ∴  (3n-1)bn+1+bn+1=nbn    ∴  bn+1=        (n∈n*)‎ ‎∴  设{bn}构成以1为首项，公比为    的等比数列 ‎∴  设{bn}前n项和Sn，则Sn ‎18、正确答案（评分标准及答案仅供参考）（12分）‎ ‎(1)证明 ‎∵   PD 面ABC  ∴  PDAB ‎∵  DE面PAB     ∴ DEAB 又∵  PDDE    ∴ AB平面PGD    ∴  PGAB ‎ ∵  正三棱锥P-ABC中PA=PB    ∴  G为AB中点 ‎(2）正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC   ∵  各侧面为直角三角形 ‎∴PAPB,PBPC,PCPA,∴ PB平面PAC 作EF//PB交PA于F 则EF面PAC ∴ F为E在平面PAC内正投影 正三棱锥P-ABC中，D 为三角形ABC的重心，PA=6 ∴  AB=‎ ‎∴DG=PG=∴PD=‎ 中由摄影定理PD=PEPG    ∴  PE=‎ ‎∵ 为等腰三角形，EFPA ∴EF=PF=‎ ‎      D-PEF的高为DE.‎ RtPGD中    DE==2‎ ‎∴四面体PDEF体积  ‎ ‎19、（12分）‎ 正确答案（评分标准及答案仅供参考）‎ 解：当n=19时 x≤19  y=19×200=3800元 ‎（1）x>19时   y=19×200+(x-19)·500=500x-5700(元)·‎ ‎∵  y=                             ‎ ‎(2)由柱状图知，更换16个频率0.06；更换17件频率为0.16.‎ 更换18件频率为0.24，更换19件频率为0.24    ∴ 更换易损零件不大于n〃的频率为不小于0.5的.则n≥19‎ ‎∴  n的最小值为19件 ‎(3)若每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为 ‎=4000（元）‎ 若每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为 ‎=4050（元）    4000<4050‎ ‎∴ 购买1台机器的同时应购买19台易损零件.‎ ‎20、（12分）‎ 正确答案（评分标准及答案仅供参考）‎ 解：将直线l与抛物线联立∴  解得 ‎(1) ∵ M关于P的对称点为N  ∴   ∴ 即 ‎∴  ON直线斜率     ∴  ON方程 则H点坐标∴解答 ∴‎ ‎∴‍=2‎ ‎(2)由①知∴ MH直线程 与抛物线联立   得  ‎ 即y2-4ty=4t2     ∴∴直线MH与抛物相切 ‎∴  直线MH与曲线C除点H外没有其它公共点 ‎21、（12分）‎ 正确答案（评分标准及答案仅供参考）‎ II）解：由①知 若a≥0  f(x)在(-∞,1)减，（1，+∞）增，且f(1)=-e<0.‎ x→+∞时，f(x) →+∞，x→-∞时，f(x)→+∞‎ ‎∴一定有2个零点；‎ 若a<-  时，f(x) 在（-∞，1）内递增，（1，ln(-2a)）内递减，（ln(-2a),+ ∞）递增 且f(1)=-e<0    f(x)只有一个零点；‎ 若a=- 时   f(x)在R上递增，则f(x)只有一个零点；‎ 若0>a>时，f(x)在（-∞，ln(-2a)）增，（ln(-2a),1）减，（1，+∞）增 ‎∵f(1)=-e<0   x→+∞时，f(x)→+∞，x→-∞时f(x) →-∞‎ ‎∴f(x)在（1，+∞）内只有一个零点，f(x)若恰有2个零点，只能使f(ln(-2a)=0‎ 而[ln(-2a)-2]·(-2a)+a[ln(-2a)-1]2=0‎ 即须4-ln(-2a)+[ln(-2a)-1]2=0* ∵0,[ln(-2a)-1]2>0  ∴*不可能为0‎ 综上f(x)有2个零点  a的范围为[0,+ ∞]‎ ‎ ‎ ‎22、（10分） 三选一 ‎22.（1）取AB中点P，∵是等腰三角形 ‎∴OP⊥AB ‎ ‎∵∠AOB=120°‎ ‎∴∠AOP=∠BOP=60°‎ ‎∴OP=OA=r 所以AB与⊙O相切 ‎（2）设CD 中点为Q,四边形ABCD 外接圆圆心为O'‎ 连结 OC,OD,O'  C,O' D.‎ 由OC=OD 知OQ⊥CD 由O'C=O'D,知O'Q⊥CD ‎∴O',O,D三点共线 同理O,O',P三点共线 ‎∴Q.O,O',P四点共线 即PQ过点O,且PQ⊥AB,PQ⊥CD ‎∴AB//CD ‎23.（1）（t为参数） 消参后得 ‎∴曲线C1表示以（0，1）为圆心，半径为a的圆.‎ 曲线 C1为：化为极坐标方程为：‎ ‎（2）曲线 C2 化为普通方程：即 ‎①曲线②曲线 C1与C2的公共弦所在直线方程为①-②得即 ‎∵曲线                   ‎ ‎∴曲线C3的直角坐标方程 ‎∴，∴a＞0，a=1.‎ ‎24. （Ⅰ）令x+1=0，2x-3=0      ∴x=-12；‎ ‎∴f(x)=‎ 作出草图 ‎（Ⅱ）令得（3,1）‎ ‎  得（1 ，1）‎ ‎  得（，1）‎ ‎ 得（5 ，1）‎ 由图像知  丨f（x）＞1丨的解集（1  ，3）∪（—   ，  ）∪（5，+  ）‎