2010年江苏省高考数学试卷 21页

‎2010年江苏省高考数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）‎ ‎1．（5.00分）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=　 　．‎ ‎2．（5.00分）设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为　 　．‎ ‎3．（5.00分）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是　 　．‎ ‎4．（5.00分）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有　 　根在棉花纤维的长度小于20mm．‎ ‎5．（5.00分）设函数f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R）是偶函数，则实数a=　 　．‎ ‎6．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是　 　．‎ ‎7．（5.00分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是　 　．‎ ‎8．（5.00分）函数y=x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=　 　．‎ ‎9．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣‎ ‎5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是　 　．‎ ‎10．（5.00分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为　 　．‎ ‎11．（5.00分）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是　 　．‎ ‎12．（5.00分）设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是　 　．‎ ‎13．（5.00分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是　 　．‎ ‎14．（5.00分）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是　 　．‎ ‎　‎ 二、解答题（共9小题，满分110分）‎ ‎15．（14.00分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．‎ ‎（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；‎ ‎（2）设实数t满足（）•=0，求t的值．‎ ‎16．（14.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．‎ ‎（1）求证：PC⊥BC；‎ ‎（2）求点A到平面PBC的距离．‎ ‎17．（14.00分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．‎ ‎（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；‎ ‎（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？‎ ‎18．（16.00分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0．‎ ‎（1）设动点P满足PF2﹣PB2=4，求点P的轨迹；‎ ‎（2）设x1=2，x2=，求点T的坐标；‎ ‎（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．‎ ‎19．（16.00分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列是公差为d的等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式（用n，d表示）；‎ ‎（2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求证：c的最大值为．‎ ‎20．（16.00分）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=，其中b为实数．‎ ‎（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；‎ ‎②求函数f（x）的单调区间．‎ ‎（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，α＞1，β＞1，若|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|，求m的取值范围．‎ ‎21．（10.00分）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A：AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC．‎ B：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（﹣2，0），C（﹣2，1）．设k为非零实数，矩阵M=，N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．‎ C：在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．‎ D：设a、b是非负实数，求证：．‎ ‎22．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．‎ ‎（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；‎ ‎（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．‎ ‎23．（10.00分）已知△ABC的三边长都是有理数．‎ ‎（1）求证cosA是有理数；‎ ‎（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．‎ ‎　‎ ‎2010年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）‎ ‎1．（5.00分）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=　1　．‎ ‎【解答】解：∵A∩B={3}∴3∈B，又∵a2+4≠3∴a+2=3 即 a=1　‎ ‎2．（5.00分）设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为　2　．‎ ‎【解答】解：z（2﹣3i）=2（3+2i），‎ ‎|z||（2﹣3i）|=2|（3+2i）|，‎ ‎|2﹣3i|=|3+2i|，z的模为2．‎ 故答案为：2‎ ‎3．（5.00分）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是　　．‎ ‎【解答】解：考查古典概型知识．‎ ‎∵总个数n=C42=6，∵事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3∴故填：．‎ ‎4．（5.00分）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有　30　根在棉花纤维的长度小于20mm．‎ ‎【解答】解：由图可知，棉花纤维的长度小于20mm段的频率为0.01+0.01+0.04，‎ 则频数为100×（0.01+0.01+0.04）×5=30．‎ 故填：30．‎ ‎　‎ ‎5．（5.00分）设函数f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R）是偶函数，则实数a=　﹣1　．‎ ‎【解答】解：因为函数f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R）是偶函数，‎ 所以g（x）=ex+ae﹣x为奇函数由g（0）=0，得a=﹣1．另解：由题意可得f（﹣1）=f（1），‎ 即为﹣（e﹣1+ae）=e+ae﹣1，即有（1+a）（e+e﹣1）=0，解得a=﹣1．故答案是﹣1‎ ‎6.（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是　4　．‎ ‎【解答】解：=e=2，d为点M到右准线x=1的距离，则d=2，∴MF=4．　‎ ‎7．（5.00分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是　63　．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+22+…+2n≥33的最小的S值 ‎∵S=1+2+22+23+24=31＜33，不满足条件．‎ S=1+2+22+23+24+25=63≥33，满足条件 故输出的S值为：63．‎ 故答案为：63‎ ‎8．（5.00分）函数y=x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=　21　．‎ ‎【解答】解：在点（ak，ak2）处的切线方程为：y﹣ak2=2ak（x﹣ak），‎ 当y=0时，解得，‎ 所以．‎ 故答案为：21．‎ ‎9．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣‎ ‎5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是　（﹣13，13）　．‎ ‎【解答】解：圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x﹣5y+c=0的距离小于1，即，‎ c的取值范围是（﹣13，13）．　‎ ‎10．（5.00分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为　　．‎ ‎【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，‎ 且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sin2x+5sinx﹣6=0，解得sinx=．线段P1P2的长为 ‎11．（5.00分）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是　（﹣1，﹣1）　．‎ ‎【解答】解：由题意，可得 故答案为：　‎ ‎12．（5.00分）设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是　27　．‎ ‎【解答】解：因为实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，‎ 则有：，，‎ 再根据 ，即当且仅当x=3，y=1取得等号，‎ 即有的最大值是27．　‎ ‎13．（5.00分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是　4　．‎ ‎【解答】解：∵+=6cosC，‎ 由余弦定理可得，‎ ‎∴‎ 则+==‎ ‎===‎ ‎==　‎ ‎14．（5.00分）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是　　．．‎ ‎【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：‎ ‎（方法一）利用导数求函数最小值．，‎ ‎=‎ ‎，‎ 当时，S′（x）＜0，递减；当时，S′（x）＞0，递增；‎ 故当时，S的最小值是．‎ ‎（方法二）利用函数的方法求最小值．‎ 令，‎ 则：‎ 故当时，S的最小值是．‎ ‎　‎ 二、解答题（共9小题，满分110分）‎ ‎15．（14.00分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．‎ ‎（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；‎ ‎（2）设实数t满足（）•=0，求t的值．‎ 从而得：．‎ ‎【解答】解：（1）（方法一）由题设知，则．‎ 所以．‎ 故所求的两条对角线的长分别为、．‎ ‎（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：‎ E为B、C的中点，E（0，1）‎ 又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）‎ 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；‎ ‎（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），．‎ 由（）•=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）=0，‎ 从而5t=﹣11，所以．‎ 或者：，，‎ ‎16．（14.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．‎ ‎（1）求证：PC⊥BC；‎ ‎（2）求点A到平面PBC的距离．‎ ‎【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．‎ 由∠BCD=90°，得CD⊥BC，‎ 又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，‎ 所以BC⊥平面PCD．‎ 因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．‎ ‎（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：‎ 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．‎ 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，‎ 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．‎ 易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．‎ ‎（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．‎ 因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．‎ 从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．‎ 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积．‎ 因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．‎ 又PD=DC=1，所以．‎ 由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积．‎ 由VA﹣PBC=VP﹣ABC，，得，‎ 故点A到平面PBC的距离等于．‎ ‎17．（14.00分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．‎ ‎（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；‎ ‎（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？‎ ‎【解答】解：（1）=tanβ⇒AD=，同理：AB=，BD=．‎ AD﹣AB=DB，故得﹣=，‎ 得：H===124．‎ 因此，算出的电视塔的高度H是124m．‎ ‎（2）由题设知d=AB，得tanα=，tanβ===，‎ tan（α﹣β）====‎ d+≥2，（当且仅当d===55时，取等号）‎ 故当d=55时，tan（α﹣β）最大．‎ 因为0＜β＜α＜，则0＜α﹣β＜，所以当d=55时，α﹣β最大．‎ 故所求的d是55m．‎ ‎18．（16.00分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0．‎ ‎（1）设动点P满足PF2﹣PB2=4，求点P的轨迹；‎ ‎（2）设x1=2，x2=，求点T的坐标；‎ ‎（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．‎ ‎【解答】解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（﹣3，0）．‎ 由PF2﹣PB2=4，得（x﹣2）2+y2﹣[（x﹣3）2+y2]=4，化简得．‎ 故所求点P的轨迹为直线．‎ ‎（2）将分别代入椭圆方程，以及y1＞0，y2＜0，‎ 得M（2，）、N（，）‎ 直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB方程为：，即．‎ 联立方程组，解得：，‎ 所以点T的坐标为．‎ ‎（3）点T的坐标为（9，m）‎ 直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB方程为：，即．‎ 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到x1≠﹣3，x2≠3，‎ 解得：、．‎ ‎（方法一）当x1≠x2时，‎ 直线MN方程为：‎ 令y=0，解得：x=1．此时必过点D（1，0）；‎ 当x1=x2时，直线MN方程为：x=1，与x轴交点为D（1，0）．‎ 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）．‎ ‎（方法二）若x1=x2，则由及m＞0，得，‎ 此时直线MN的方程为x=1，过点D（1，0）．‎ 若x1≠x2，则，直线MD的斜率，‎ 直线ND的斜率，得kMD=kND，所以直线MN过D点．‎ 因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）．‎ ‎　‎ ‎19．（16.00分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列是公差为d的等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式（用n，d表示）；‎ ‎（2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求证：c的最大值为．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知：d＞0，=+（n﹣1）d=+（n﹣1）d，‎ ‎∵2a2=a1+a3，‎ ‎∴3a2=S3，即3（S2﹣S1）=S3，‎ ‎∴，‎ 化简，得：，‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2d2﹣（n﹣1）2d2=（2n﹣1）d2，适合n=1情形．‎ 故所求an=（2n﹣1）d2‎ ‎（2）（方法一）Sm+Sn＞cSk⇒m2d2+n2d2＞c•k2d2⇒m2+n2＞c•k2，恒成立．‎ 又m+n=3k且m≠n，，‎ 故，即c的最大值为．‎ ‎（方法二）由及，得d＞0，Sn=n2d2．‎ 于是，对满足题设的m，n，k，m≠n，有．‎ 所以c的最大值．‎ 另一方面，任取实数．设k为偶数，令，则m，n，k符合条件，且．‎ 于是，只要9k2+4＜2ak2，即当时，．‎ 所以满足条件的，从而．‎ 因此c的最大值为．‎ ‎　‎ ‎20．（16.00分）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=，其中b为实数．‎ ‎（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；‎ ‎②求函数f（x）的单调区间．‎ ‎（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，α＞1，β＞1，若|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|，求m的取值范围．‎ ‎②根据第一问令φ（x）=x2﹣bx+1，讨论对称轴与2的大小，当b≤2时，对于x＞1，φ（x）＞0，所以f′（x）＞0，可得f（x）在区间（1，+∞）上单调性，当b＞2时，φ（x）图象开口向上，对称轴，可求出方程φ（x）=0的两根，判定两根的范围，从而确定φ（x）的符号，得到f′（x）的符号，最终求出单调区间．‎ ‎（2）先对函数g（x）求导，再m分m≤0，m≥1，0＜m＜1进行，同时运用函数的单调性即可得到．‎ ‎【解答】解：（1）①f′（x）=‎ ‎∵x＞1时，恒成立，‎ ‎∴函数f（x）具有性质P（b）；‎ ‎②当b≤2时，对于x＞1，φ（x）=x2﹣bx+1≥x2﹣2x+1=（x﹣1）2＞0‎ 所以f′（x）＞0，故此时f（x）在区间（1，+∞）上递增；‎ 当b＞2时，φ（x）图象开口向上，对称轴，‎ 方程φ（x）=0的两根为：，而 当时，φ（x）＜0，f′（x）＜0，‎ 故此时f（x）在区间上递减；‎ 同理得：f（x）在区间上递增．‎ 综上所述，当b≤2时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）；‎ 当b＞2时，f（x）的单调减区间为；f（x）的单调增区间为．‎ ‎（2）由题设知：g（x）的导函数g′（x）=h（x）（x2﹣2x+1），其中函数h（x）＞0对于任意的x∈（1，+∞）都成立，所以，‎ 当x＞1时，g′（x）=h（x）（x﹣1）2＞0，‎ 从而g（x）在区间（1，+∞）上单调递增．‎ ‎①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得 α∈（x1，x2），同理可得β∈（x1，x2），‎ 所以由g（x）的单调性知g（α），g（β）∈（g（x1），g（x2）），‎ 从而有|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|，符合题设；‎ ‎②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，‎ 于是由α＞1，β＞1及g（x）的单调性知g（β）≤g（x1）＜g（x2）≤g（α），所以|g（α）﹣g（β）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，与题设不符．‎ ‎③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，进而得|g（α）﹣g（β）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，与题设不符 因此，综合①、②、③得所求的m的取值范围为（0，1）．‎ ‎　‎ ‎21．（10.00分）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A：AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC．‎ B：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（﹣2，0），C（﹣2，1）．设k为非零实数，矩阵M=，N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．‎ C：在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．‎ D：设a、b是非负实数，求证：．‎ ‎【分析】A、连接OD，则OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，再证明OB=BC=OD=OA，即可求解．‎ B、由题设得，根据矩阵的运算法则进行求解．‎ C、在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，由题意将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算a值．‎ D、利用不等式的性质进行放缩证明，然后再进行讨论求证．‎ ‎【解答】解：A：（方法一）证明：连接OD，则：OD⊥DC，‎ 又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，‎ ‎∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，‎ 所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，‎ 所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC．‎ ‎（方法二）证明：连接OD、BD．‎ 因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90°，AB=2OB．‎ 因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=90°．‎ 又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，‎ 于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO．‎ 即2OB=OB+BC，得OB=BC．‎ 故AB=2BC．‎ B满分（10分）．由题设得 由，可知A1（0，0）、B1（0，﹣2）、C1（k，﹣2）．‎ 计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|=2×1=2．‎ 所以k的值为2或﹣2．‎ C解：ρ2=2ρcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2+y2=2x，（x﹣1）2+y2=1，‎ 直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，‎ 又圆与直线相切，所以，‎ 解得：a=2，或a=﹣8．‎ D（方法一）证明：‎ ‎=‎ ‎=‎ 因为实数a、b≥0，‎ 所以上式≥0．即有．‎ ‎（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得 ‎=‎ ‎=‎ 当a≥b时，，从而，得；‎ 当a＜b时，，从而，得；‎ 所以．‎ ‎　‎ ‎22．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．‎ ‎（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；‎ ‎（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．‎ ‎【分析】（1）根据题意做出变量的可能取值是10，5，2，﹣3，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率，写出变量的概率和分布列．‎ ‎（2）设出生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4﹣n件，根据生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元，列出关于n的不等式，解不等式，根据这个数字属于整数，得到结果，根据独立重复试验写出概率．‎ ‎【解答】解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，﹣3，且 P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，‎ P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=﹣3）=0.2×0.1=0.02．‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎﹣3‎ P ‎0.72‎ ‎0.18‎ ‎0.08‎ ‎0.02‎ ‎（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4﹣n件．‎ 由题设知4n﹣（4﹣n）≥10，‎ 解得，‎ 又n∈N，得n=3，或n=4．‎ 所求概率为P=C43×0.83×0.2+0.84=0.8192‎ 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．‎ ‎　‎ ‎23．（10.00分）已知△ABC的三边长都是有理数．‎ ‎（1）求证cosA是有理数；‎ ‎（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．‎ ‎【解答】解：（1）证明：设三边长分别为a，b，c，，‎ ‎∵a，b，c是有理数，b2+c2﹣a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，‎ ‎∴必为有理数，‎ ‎∴cosA是有理数．‎ ‎（2）①当n=1时，显然cosA是有理数；‎ 当n=2时，∵cos2A=2cos2A﹣1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；‎ ‎②假设当n=k（k≥2）时，结论成立，即coskA、cos（k﹣1）A均是有理数．‎ 当n=k+1时，cos（k+1）A=coskAcosA﹣sinkAsinA，，，‎ 解得：cos（k+1）A=2coskAcosA﹣cos（k﹣1）A ‎∵cosA，coskA，cos（k﹣1）A均是有理数，∴2coskAcosA﹣cos（k﹣1）A是有理数，‎ ‎∴cosA，coskA，cos（k﹣1）A均是有理数．‎ 即当n=k+1时，结论成立．‎ 综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数．‎ ‎　‎