高考试题数学理山东卷 解析版 18页

绝密★启用前 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）‎ 数学理 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.‎ ‎2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. ‎ ‎3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.‎ ‎ 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 参考公式：‎ ‎ 如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A,B独立，那么P(AB)=P(A)·P(B).‎ 第Ⅰ卷（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 ‎（1）若复数z满足 其中i为虚数单位，则z=‎ ‎（A）1+2i （B）12i （C） （D）‎ ‎【答案】B 考点：注意共轭复数的概念.‎ ‎（2）设集合 则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，，则，选C.‎ 考点：本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算.‎ ‎（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中 自习时间的范围是，样本数据分组为 .根据直方图，‎ 这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 ‎（A）56 （B）60 （C）120 （D）140‎ ‎【答案】D 考点：频率分布直方图[来源:gkstk.Com]‎ ‎（4）若变量x，y满足则的最大值是 ‎（A）4 （B）9 （C）10 （D）12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y ‎）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.‎ 考点：线性规划求最值 ‎（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为 ‎ ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C 考点：根据三视图求几何体的体积.‎ ‎（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的 ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：直线a与直线b相交,则一定相交,若相交,则a,b可能相交，也可能平行,故选A.‎ 考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断.‎ ‎（7）函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是 ‎（A） （B）π （C） （D）2π ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：,故最小正周期,故选B.‎ 考点：三角函数化简，周期公式 ‎（8）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=.若n⊥（tm+n），则实数t的值为 ‎（A）4 （B）–4 （C） （D）–‎ ‎【答案】B 考点：平面向量的数量积 ‎（9）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时， ；当 时，；当 ‎ 时， .则f(6)= ‎ ‎（A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：当时，,所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D.‎ 考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性 ‎（10）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性 质.下列函数中具有T性质的是 ‎（A）y=sin x （B）y=ln x （C）y=ex （D）y=x3‎ ‎【答案】A 考点：函数求导，注意本题实质上是检验函数图像上是否存在两点的导数值乘积等于-1.‎ 第Ⅱ卷（共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎（11）执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；满足条件，结束循环，此时，.‎ 考点：循环结构的程序框图 ‎（12）若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以由，因此 考点：二项式定理 ‎（13）已知双曲线E： （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为 E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.‎ ‎【答案】2‎ 考点：双曲线的几何性质，把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键.‎ ‎（14）在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：直线y=kx与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率P=.‎ 考点：直线与圆位置关系；几何概型 ‎（15）已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三 个不同的根，则m的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意画出函数图像如下图所示，要满足存在实数b，使得关于x的方程 f（x）=b有三个不同的根，则，解得，故m的取值范围是.‎ 考点：分段函数，函数图像，能够准确画出函数的图像是解决本题的关键.‎ 三、解答题：本答题共6小题，共75分.‎ ‎（16）（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 [来源:gkstk.Com]‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=2c;学优高考网 ‎（Ⅱ）求cosC的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ 由知,‎ 所以 ，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 故 的最小值为.‎ 考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式.‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.‎ ‎（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；‎ ‎（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎（II）解法一：‎ 连接,则平面，‎ 又且是圆的直径，所以 可得平面的一个法向量 因为平面的一个法向量 所以.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ 解法二：‎ 考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令 求数列的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 又，‎ 得，‎ ‎，‎ 两式作差，得 所以 考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”‎ 得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：‎ ‎（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；学优高考网 ‎（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，‎ ‎ (Ⅱ)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.‎ 由事件的独立性与互斥性，得 ‎ ,‎ ‎,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎.‎ 可得随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P 所以数学期望.‎ 考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望 ‎ (20)(本小题满分13分)‎ 已知.‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）当时，证明对于任意的成立.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 当， 时，，单调递增；‎ ‎，单调递减.[来源:gkstk.Com]‎ 当时，.‎ 综上所述，‎ 当时，函数在内单调递增，在内单调递减；‎ 当时，在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；‎ 当时，在内单调递增；‎ 当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，[来源:学优高考网]‎ 考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想.‎ ‎（21）（本小题满分14分）‎ 平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F 是C的一个顶点.‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.‎ ‎（i）求证：点M在定直线上;‎ ‎（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 ‎ 的最大值及取得最大值时点P的坐标.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为 所以，‎ ‎，‎ 所以，‎ 令，则，‎ 当，即时，取得最大值，此时，满足，‎ 所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.‎ 考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.‎