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  • 2021-05-13 发布

高考数学快速提升成绩题型训练——导数

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n 运算能力主要是指在运算定律和定理的指导下,对数和式的组合或分解变形能力,包括数字的计算,代数式和某些超越式的恒等变形,集合的运算,解方程和不等式,三角恒等变形,数列极限的计算,几何图形中的计算等。‎ n 运算准确 运算熟练 运算合理(是核心)运算的简捷。‎ ‎2009届高考数学快速提升成绩题型训练——导数 ‎1. 讨论函数的增减性。‎ ‎2 证明函数在区间上是单调增加的。‎ ‎3. 求函数在区间上的最大值及最小值.‎ ‎4. 已知某商品的需求函数为(为商品的价格),总成本函数为,若工厂有权自定价格,求每天生产多少个单位产品,才能使利润达到最大?此时价格为多少?‎ ‎5. 已知在区间上最大值是5,最小值是-11,求的解析式.‎ ‎6. 设函数 (a、b、c、d∈R)图象关于原点对称,且x=1时,取极小值 ‎ (1)求a、b、c、d的值;‎ ‎ (2)当时,图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?试证明你 的结论.‎ ‎7. 知a>0,函数,x∈[0,+∞),设x1>0,记曲线y=f (x)在点M (x1,f (x1))处的切线为l.‎ ‎ (1)求l的方程;‎ ‎ (2)设l与x轴交点为(x2,0),证明:①x2≥,②若,则.‎ ‎8. 函数)‎ ‎ (1)已知的展开式中的系数为,求常数 ‎ (2)是否存在的值,使在定义域中取任意值时, 恒成立?如存在,求出 的值,如不存在,说明理由.‎ ‎9. 已知m为实数,函数f(x)=(x2-9)(x-m)在[-3,3]上都是递减的,求m取值范围。‎ ‎10. 求函数的单调递增区间。‎ ‎11. (1)已知:证明: ‎ ‎(2)证明:方程 只有一个实根:.‎ ‎12. 已知向量,若函数在区间上是增函数,求的取值范围。‎ ‎13. 某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元。已知每生产件这样的产品需要再增加可变成本(元),若生产出的产品都能以每件500元售出,要使利润最大,该厂应生产多少件这样的产品?最大利润是多少?‎ ‎14. 已知的图象相切.‎ ‎(Ⅰ)求b与c的关系式(用c表示b);‎ ‎(Ⅱ)设函数内有极值点,求c的取值范围。‎ ‎15. 已知抛物线C: y=x+2x和抛物线C:y=-x+,当取什么值时,C 和C有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程。‎ ‎16. 已知在与x=1时都取得极值。(1)求b、c之值;(2)若对任意,恒成立。求d的取值范围。‎ ‎17. 研究函数的单调性.‎ ‎18. 设函数=其中求的取值范围,使函数在区间上是单调函数.‎ ‎19. 已知不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎20. (1)求曲线在点(1,1)处的切线方程;‎ ‎  (2)运动曲线方程为,求t=3时的速度。‎ ‎21. 设,求函数的单调区间.‎ ‎22. 求下列函数的单调区间:‎ ‎⑴ ⑵ ‎⑶ ⑷ ‎23. 设f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,试求a、b的值,并求出f(x)的单调区间 ‎24. 若函数y=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,试求实数a的取值范围 ‎25. 设恰有三个单调区间,试确定的取值范围,并求出这三个单调区间 ‎26. 设f(x)=x3--2x+5‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当x∈[1,2]时,f(x)0,‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大 ‎↘‎ ‎ 因此f(0)必为最大值,∴f(0)=5,得b=5,‎ ‎ ‎ 若a<0,同理可得f(0)为最小值, ∴f(0)=-11,得b=-11,‎ …………(12分)‎ ‎6.解(1)∵函数图象关于原点对称,∴对任意实数,‎ ,即恒成立 …………4分 ,‎ 时,取极小值,解得…6分 ‎ (2)当时,图象上不存在这样的两点使结论成立.…………8分 假设图象上存在两点、,使得过此两点处的切线互相垂直,‎ 则由知两点处的切线斜率分别为,‎ 且…………(*)…………10分 、, 此与(*)相矛盾,故假设不成立.………………12分 ‎7.(1)解:,∴曲线y=f (x)在点M (x1,f (x1))处的切线的斜率 ∴切线l的方程为,即…… 4分 ‎(2)解:令y=0得   ①≥0  (*)   ∴,当且仅当时等号成立.‎ ‎∵,∴(*)中“=”不成立,故 ………8分      ∵ ∴,故x2<x1   ∴当时,成立. ………………………12分 ‎8.解(1)Tr+1=C 由 解得……3分 ……6分 ‎(2) 要使( ‎ 只需……8分 10当时,设 ‎(0, ‎(,+)‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 ……10分 ‎20当时,不成立 30当时,不成立 故当……12分 另解法 只需 ‎9. 很多学生认为,函数单调递增(递减)的充要条件是 ‎()。事实上,()只是函数单调递增(递减)的充分条件,而非必要条件。例如,我们知道函数在R上是增函数,但其导数0在R上恒成立,因此,函数在上单调递增(递减)的充要条件是:()且在的任意子区间上都不恒为0。因此,本题的正确答案为.‎ ‎10. 定义域作为构成函数的三要素之一,它直接制约着函数的解析式、图像和性质,在解题过程中,必须优先考虑函数的定义域,且单调区间应该是定义域的子区间。本题中的定义域为,所以正确答案为.‎ ‎11. 证明:(1)构造函数.。在上为增函数。‎ 又。 ‎(2)构造函数 上是增函数。‎ 又, ‎12. 解法1(数形结合法):依定义有,则。若 ,则在上可设图的抛物线,当且仅当上满足,即在上是增函数,故的取值范围是。‎ 解法2(变量分离法):有,令,其图象为对称轴是直线,开口向上的抛物线,故要使在区间 上恒成立,即。而当时,,即在上是增函数,故。‎ ‎13. 设生产件产品的利润为元,则 。当时, 的极大值点。故。因此,要使利润最大,该厂应生产60件这种产品,最大利润为9500元。‎ ‎14. (Ⅰ)依题意,令 ‎(Ⅱ) x x0‎ ‎( ‎+‎ ‎0‎ ‎+‎ 于是不是函数的极值点.‎ 的变化如下:‎ x x1‎ ‎( ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 由此,的极小值点.‎ 综上所述,当且仅当 ‎15. 解 :设公切线L切C于P(x,y),切C于P(x,y), ‎ ‎ 则L的方程有两种表达方式:①;②.‎ ‎∵ ‎∴①、②变为和 于是消去,得,由题意知,,此时,重合。‎ 故当时,和有且仅有一条公切线,且公切线方程为.‎ ‎16. 解 ⑴ ‎ 由题意知,是方程的两根,于是 ‎ ‎ ⑵ ‎ 当时, ‎ 当时, ‎ 当时, ‎ 当时,有极大值 ‎ 又时, 的最大值为 ‎ 对任意恒成立即 ‎ 或 ‎17. 解: ① 当时,由得 ‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎+‎ 从上表中的符号随取值的变化规律发现,此时的单调区间是和,单调减区间是和.‎ ‎② 当时, 此时的定义域为 因此在内单调递增.‎ ‎③ 当时,定义域为 此时单调区间是和没有单调减区间.‎ ‎18. 解:函数在上是单调函数,即或在上恒成立.‎ ① 由,得在上的最小值是0,所以此与题设矛盾.‎ ② 由,得 在上连续递增,且所有值都小于1,所以 综合①②可知,当时,函数在区间上是单调函数. ‎ ‎19. 解: 令 ① 当时,由得且当时当时, ‎ 是的最小值.‎ ‎ 在上恒成立即 ‎ ② 当时,由得 ‎ ‎ x ‎(-x,-)‎ ‎(-,0)‎ ‎(0,)‎ ‎(,+x)‎ f(x)‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎ 从上表可知f(x)=- a +2是极大值f()是极小值且为f(x)在(-,+)上的最小值.‎ ‎ 因此f(x)>0在(-,+)上恒成立f()=-a-a+2>0,‎ ‎ 即-20时,x>1或x<-,‎ 当(x)<0时,-1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数 依题意,当x∈(1,4)时,(x)<0,当x∈(6,+∞)时,(x)>0,∴4≤a-1≤6‎ ‎∴5≤a≤7∴a的取值范围为[5,7]‎ ‎25. 解:由f(x)的解析式得, ‎ 若a>0, 则 , f(x) 单调,矛盾;‎ 若a=o,则 ,f(x)单调;‎ 若a<0, 则 由此可知,当a<0时,f(x)恰有三个单调区间,其中减区间为:,,增区间 ‎26. 解:(1)(x)=3x2-x-2=0,得x=1,-在(-∞,-)和[1,+∞)上(x)>0,f(x)为增函数;在[-,1]上(x)<0,f(x)为减函数所以所求f(x)的单调增区间为(-∞,-]和[1,+∞),单调减区间为[-,1]‎ ‎(2)当x∈[1,2]时,显然(x)>0,f(x)为增函数,f(x)≤f(2)=7‎ ‎∴m>7‎ ‎27. 解:(x)=3x2-a,(1)3x2-a>0在R上恒成立,∴a<0‎ 又a=0时,f(x)=x3-1在R上单调递增,∴a≤0‎ ‎(2)3x2-a<0在(-1,1)上恒成立,即a>3x2在(-1,1)上恒成立,即a>3‎ 又a=3,f(x)=x3-3x-1,(x)=3(x2-1)在(-1,1)上,(x)<0恒成立,即f(x)在(-1,1)上单调递减,∴a≥3‎ ‎(3)当x=-1时,f(-1)=a-20,得x∈(-,0)∪(,+∞),‎ 则f(x)的单调递增区间为(-,0)和(,+∞)‎ ‎29. 证:(1) ‎ ‎∴ 为上 ∴ 恒成立 ‎∴ ‎∴ 在上 ‎ ‎∴ 恒成立 ‎(2)原式 令 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ∴ ‎(3)令 ∴ ‎∴ ‎30. 解: ‎ 当时 ‎(i)当时,对所有,有 即,此时在内单调递增 ‎(ii)当时,对,有,‎ 即,此时在(0,1)内单调递增,又知函数在x=1处连续,因此,函数在(0,+)内单调递增 ‎(iii)当时,令,即 解得 因此,函数在区间内单调递增,在区间内也单调递增 令,‎ 解得 因此,函数在区间内单调递减