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- 2021-05-13 发布
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n 运算能力主要是指在运算定律和定理的指导下,对数和式的组合或分解变形能力,包括数字的计算,代数式和某些超越式的恒等变形,集合的运算,解方程和不等式,三角恒等变形,数列极限的计算,几何图形中的计算等。
n 运算准确 运算熟练 运算合理(是核心)运算的简捷。
2009届高考数学快速提升成绩题型训练——导数
1. 讨论函数的增减性。
2 证明函数在区间上是单调增加的。
3. 求函数在区间上的最大值及最小值.
4. 已知某商品的需求函数为(为商品的价格),总成本函数为,若工厂有权自定价格,求每天生产多少个单位产品,才能使利润达到最大?此时价格为多少?
5. 已知在区间上最大值是5,最小值是-11,求的解析式.
6. 设函数 (a、b、c、d∈R)图象关于原点对称,且x=1时,取极小值
(1)求a、b、c、d的值;
(2)当时,图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?试证明你
的结论.
7. 知a>0,函数,x∈[0,+∞),设x1>0,记曲线y=f (x)在点M (x1,f (x1))处的切线为l.
(1)求l的方程;
(2)设l与x轴交点为(x2,0),证明:①x2≥,②若,则.
8. 函数)
(1)已知的展开式中的系数为,求常数
(2)是否存在的值,使在定义域中取任意值时,
恒成立?如存在,求出
的值,如不存在,说明理由.
9. 已知m为实数,函数f(x)=(x2-9)(x-m)在[-3,3]上都是递减的,求m取值范围。
10. 求函数的单调递增区间。
11. (1)已知:证明:
(2)证明:方程 只有一个实根:.
12. 已知向量,若函数在区间上是增函数,求的取值范围。
13. 某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元。已知每生产件这样的产品需要再增加可变成本(元),若生产出的产品都能以每件500元售出,要使利润最大,该厂应生产多少件这样的产品?最大利润是多少?
14. 已知的图象相切.
(Ⅰ)求b与c的关系式(用c表示b);
(Ⅱ)设函数内有极值点,求c的取值范围。
15. 已知抛物线C: y=x+2x和抛物线C:y=-x+,当取什么值时,C 和C有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程。
16. 已知在与x=1时都取得极值。(1)求b、c之值;(2)若对任意,恒成立。求d的取值范围。
17. 研究函数的单调性.
18. 设函数=其中求的取值范围,使函数在区间上是单调函数.
19. 已知不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.
20. (1)求曲线在点(1,1)处的切线方程;
(2)运动曲线方程为,求t=3时的速度。
21. 设,求函数的单调区间.
22. 求下列函数的单调区间:
⑴ ⑵
⑶ ⑷
23. 设f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,试求a、b的值,并求出f(x)的单调区间
24. 若函数y=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,试求实数a的取值范围
25. 设恰有三个单调区间,试确定的取值范围,并求出这三个单调区间
26. 设f(x)=x3--2x+5
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x∈[1,2]时,f(x)0,
0
+
0
-
↗
极大
↘
因此f(0)必为最大值,∴f(0)=5,得b=5,
若a<0,同理可得f(0)为最小值, ∴f(0)=-11,得b=-11,
…………(12分)
6.解(1)∵函数图象关于原点对称,∴对任意实数,
,即恒成立
…………4分 ,
时,取极小值,解得…6分
(2)当时,图象上不存在这样的两点使结论成立.…………8分
假设图象上存在两点、,使得过此两点处的切线互相垂直,
则由知两点处的切线斜率分别为,
且…………(*)…………10分
、,
此与(*)相矛盾,故假设不成立.………………12分
7.(1)解:,∴曲线y=f (x)在点M (x1,f (x1))处的切线的斜率
∴切线l的方程为,即…… 4分
(2)解:令y=0得
①≥0 (*)
∴,当且仅当时等号成立.
∵,∴(*)中“=”不成立,故 ………8分
∵ ∴,故x2<x1
∴当时,成立. ………………………12分
8.解(1)Tr+1=C 由 解得……3分
……6分
(2) 要使(
只需……8分 10当时,设
(0,
(,+)
—
0
+
极小值
……10分
20当时,不成立 30当时,不成立 故当……12分
另解法 只需
9. 很多学生认为,函数单调递增(递减)的充要条件是
()。事实上,()只是函数单调递增(递减)的充分条件,而非必要条件。例如,我们知道函数在R上是增函数,但其导数0在R上恒成立,因此,函数在上单调递增(递减)的充要条件是:()且在的任意子区间上都不恒为0。因此,本题的正确答案为.
10. 定义域作为构成函数的三要素之一,它直接制约着函数的解析式、图像和性质,在解题过程中,必须优先考虑函数的定义域,且单调区间应该是定义域的子区间。本题中的定义域为,所以正确答案为.
11. 证明:(1)构造函数.。在上为增函数。
又。
(2)构造函数
上是增函数。
又,
12. 解法1(数形结合法):依定义有,则。若
,则在上可设图的抛物线,当且仅当上满足,即在上是增函数,故的取值范围是。
解法2(变量分离法):有,令,其图象为对称轴是直线,开口向上的抛物线,故要使在区间
上恒成立,即。而当时,,即在上是增函数,故。
13. 设生产件产品的利润为元,则
。当时,
的极大值点。故。因此,要使利润最大,该厂应生产60件这种产品,最大利润为9500元。
14. (Ⅰ)依题意,令
(Ⅱ)
x
x0
(
+
0
+
于是不是函数的极值点.
的变化如下:
x
x1
(
+
0
—
0
+
由此,的极小值点.
综上所述,当且仅当
15. 解 :设公切线L切C于P(x,y),切C于P(x,y),
则L的方程有两种表达方式:①;②.
∵
∴①、②变为和
于是消去,得,由题意知,,此时,重合。
故当时,和有且仅有一条公切线,且公切线方程为.
16. 解 ⑴
由题意知,是方程的两根,于是
⑵
当时,
当时,
当时,
当时,有极大值
又时, 的最大值为
对任意恒成立即
或
17. 解:
① 当时,由得
+
-
-
+
从上表中的符号随取值的变化规律发现,此时的单调区间是和,单调减区间是和.
② 当时, 此时的定义域为
因此在内单调递增.
③ 当时,定义域为
此时单调区间是和没有单调减区间.
18. 解:函数在上是单调函数,即或在上恒成立.
① 由,得在上的最小值是0,所以此与题设矛盾.
② 由,得
在上连续递增,且所有值都小于1,所以
综合①②可知,当时,函数在区间上是单调函数.
19. 解: 令
① 当时,由得且当时当时,
是的最小值.
在上恒成立即
② 当时,由得
x
(-x,-)
(-,0)
(0,)
(,+x)
f(x)
1
+
-
+
从上表可知f(x)=- a +2是极大值f()是极小值且为f(x)在(-,+)上的最小值.
因此f(x)>0在(-,+)上恒成立f()=-a-a+2>0,
即-20时,x>1或x<-,
当(x)<0时,-1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数
依题意,当x∈(1,4)时,(x)<0,当x∈(6,+∞)时,(x)>0,∴4≤a-1≤6
∴5≤a≤7∴a的取值范围为[5,7]
25. 解:由f(x)的解析式得,
若a>0, 则 , f(x) 单调,矛盾;
若a=o,则 ,f(x)单调;
若a<0, 则
由此可知,当a<0时,f(x)恰有三个单调区间,其中减区间为:,,增区间
26. 解:(1)(x)=3x2-x-2=0,得x=1,-在(-∞,-)和[1,+∞)上(x)>0,f(x)为增函数;在[-,1]上(x)<0,f(x)为减函数所以所求f(x)的单调增区间为(-∞,-]和[1,+∞),单调减区间为[-,1]
(2)当x∈[1,2]时,显然(x)>0,f(x)为增函数,f(x)≤f(2)=7
∴m>7
27. 解:(x)=3x2-a,(1)3x2-a>0在R上恒成立,∴a<0
又a=0时,f(x)=x3-1在R上单调递增,∴a≤0
(2)3x2-a<0在(-1,1)上恒成立,即a>3x2在(-1,1)上恒成立,即a>3
又a=3,f(x)=x3-3x-1,(x)=3(x2-1)在(-1,1)上,(x)<0恒成立,即f(x)在(-1,1)上单调递减,∴a≥3
(3)当x=-1时,f(-1)=a-20,得x∈(-,0)∪(,+∞),
则f(x)的单调递增区间为(-,0)和(,+∞)
29. 证:(1)
∴ 为上 ∴ 恒成立
∴
∴ 在上
∴ 恒成立
(2)原式 令
∴
∴
∴
(3)令
∴
∴
30. 解:
当时
(i)当时,对所有,有
即,此时在内单调递增
(ii)当时,对,有,
即,此时在(0,1)内单调递增,又知函数在x=1处连续,因此,函数在(0,+)内单调递增
(iii)当时,令,即
解得
因此,函数在区间内单调递增,在区间内也单调递增
令,
解得
因此,函数在区间内单调递减