高考冲刺样本17坐标系与参数方程 11页

第17部分——选修系列（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 知识点总结精华 ‎1.极坐标：M是平面上一点，表示OM的长度，是，‎ 则有序实数实数对,叫极径，叫极角；一般地，，。‎ ‎2.极坐标和直角坐标互化公式 或 ，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.‎ ‎（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合.‎ ‎（2）将点变成直角坐标，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。‎ ‎ 3.求轨迹方程的常用方法：‎ ‎⑴直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹的最基本的方法.‎ ‎⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.⑶代入法(相关点法或转移法).‎ ‎⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.‎ ‎⑸交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将、均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.‎ 十四 定积分 ‎（1）概念：用分点a＝x0b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到l的距离等于c，则椭圆的离心率为_____。‎ ‎ A. B. C. D. ‎6. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_____。‎ ‎ A. B. 10 C. D. ‎【简解】1小题：由已知转化为周期为2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，选B；‎ ‎2小题：设f(x)＝y，由互为反函数的值域与定义域的关系，选C；‎ ‎3小题：由mp＋nq≤＋容易求解，选A；‎ ‎4小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A；‎ ‎5小题：ab＝×，变形为12e－31e＋7＝0，再解出e，选B；‎ ‎6小题：由S＝S和三棱椎的等体积转化容易求，选A。‎ Ⅱ、示范性题组：‎ 例1. 若x、y、z∈R且x＋y＋z＝1，求(－1)( －1)( －1)的最小值。‎ ‎【分析】由已知x＋y＋z＝1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x＋y＋z，或者运用均值不等式后含xyz的形式。所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化。‎ ‎【解】(－1)( －1)( －1)＝（1－x）(1－y)(1－z)‎ ‎＝(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝(xy＋yz＋zx－xyz)‎ ‎＝＋＋－1≥3－1＝－1≥－1＝9‎ ‎【注】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题转化为求＋＋的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变。‎ 例2. 设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围。‎ ‎【分析】 设k＝x＋y，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。‎ ‎【解】由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。‎ 设k＝x＋y，则y＝k－x，代入已知等式得：x－6x＋2k＝0 ，‎ 即k＝－x＋3x，其对称轴为x＝3。‎ 由0≤x≤2得k∈[0,4]。‎ 所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。‎ ‎【另解】 数形结合法（转化为解析几何问题）：‎ 由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x＋y的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x＋y＝k，代入椭圆中消y得x－6x＋2k＝0。由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。‎ ‎【再解】 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：‎ 由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，设，则 x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα ‎＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]‎ 所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。‎ ‎【注】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。‎ 例3. 求值：ctg10°－4cos10°‎ ‎【分析】分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。‎ ‎【解一】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝ ‎＝＝ ‎＝＝＝＝ ‎（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积）‎ ‎【解二】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝ ‎＝＝ ‎＝＝ ‎＝＝＝ ‎（基本过程：切化弦→通分→化同名→特值代入→积化和→差化积）‎ ‎【解三】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝ ‎＝＝ ‎＝＝ ‎＝＝ ‎（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式）‎ ‎【注】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现。此种题型属于三角变换型。一般对，对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、将次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等。对此，我们要掌握变换的通法，活用2公式，攻克三角恒等变形的每一道难关。‎ 例4. 已知f(x)＝tgx，x∈(0, )，若x、x∈(0, )且x≠x，‎ 求证：[f(x)＋f(x)]>f() ‎ ‎【分析】从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件。‎ ‎【证明】[f(x)＋f(x)]>f() [tgx＋tgx]>tg (＋)>> 1＋cos(x＋x)>2cosxcosx 1＋cosxcosx＋sinxsinx>2cosxcosx cosxcosx＋sinxsinx<1 cos(x－x)<1 ‎ 由已知显然cos(x－x)<1成立，所以[f(x)＋f(x)]>f()‎ ‎ S A M ‎ ‎ D N C B ‎ ‎【注】 本题在用分析法证明数学问题的过程中，每一步实施的都是等价转化。此种题型属于分析证明型。‎ 例5. 如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。（83年全国高考）‎ ‎【分析】 由三垂线定理容易证明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SC⊥DM。‎ ‎【证明】由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影，‎ ‎∴ AB⊥SC。‎ ‎∵ AB⊥SC、AB⊥CD ‎∴ AB⊥平面SDNC ‎∴∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角 由已知得∠MDC＝∠NSC 又∵∠DCM＝∠SCN ‎∴△DCM≌△SCM ‎∴∠DMC＝∠SNC＝Rt∠‎ 即 SC⊥DM 所以SC⊥截面MAB。‎ ‎【注】立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。‎