南通内部高考模拟试卷 14页

‎2015年高考模拟试卷(1)‎ ‎ 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．‎ ‎1．设，，其中是虚数单位，则 ．‎ 第3题图 ‎2．已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．‎ ‎3．为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中株树木 的底部周长（单位：)，所得数据如图．则在这株树木 中，底部周长不小于的有 株．‎ ‎4．设向量，，且，若，‎ 则实数 ．‎ 第5题图 ‎5．如图所示的流程图的运行结果是 ．‎ ‎6．将边长为的正方形沿对角线折起，使，‎ 则三棱锥的体积为 ．‎ ‎7．设等差数列的前项和为，若，．‎ ‎ 当取最大值时， ．‎ ‎8．已知，且，则 ．‎ ‎9．若在区间内任取实数，在区间内任取实数，则直线与圆 相交的概率为 ．‎ ‎10．设函数的值域是，则实数的取值范围为 ．‎ ‎11．已知函数满足：当时，，当时，．若在区间内，函数恰有一个零点，则实数的取值范围是 ．‎ ‎12．设椭圆和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为、，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 ．‎ ‎13．设数列的通项公式为，则满足不等式的正整数的集合为 ．‎ ‎14．设函数，则满足的的取值范围是 ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 在中，的对边分别为，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）设，为垂足，若，，求的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，四棱锥中，底面为矩形，，为上一点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若∥平面，求证：为的中点．‎ ‎ ‎ ‎17．（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中 L A B O M L L a b ‎，，．‎ ‎（1）求大学与站的距离；‎ ‎（2）求铁路段的长．‎ ‎18．（本小题满分16分）设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆．若圆与轴相交于不同的两点，求的面积；‎ 第18题图 ‎（3）如图，、、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴．‎ ‎（1）确定与的关系；‎ ‎（2）若，试讨论函数的单调性； ‎ ‎（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 设数列的前项和为，满足．‎ ‎ （1）当时，‎ ‎①设，若，．求实数的值，并判定数列是否为等比数列；‎ ‎ ②若数列是等差数列，求的值；‎ ‎（2）当时，若数列是等差数列，，且，，‎ 求实数的取值范围．‎ 第Ⅱ卷（附加题，共40分）‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域 内作答． ‎ A．（选修４－１：几何证明选讲）‎ ‎ 如图，设、是圆的两条弦，直线是线段 的垂直平分线．已知，求线段的长度．‎ B．（选修４－２：矩阵与变换） ‎ ‎ 若点在矩阵对应变换的作用下得到点，求矩阵的逆矩阵．‎ C．（选修４－４：坐标系与参数方程）‎ 在极坐标系中，设圆经过点，圆心是直线与极轴的交点，求圆的 极坐标方程．‎ D．（选修４－５：不等式选讲）‎ ‎ 设均为正数，．求证：．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 已知数列满足，．‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）设，求证：当，时，．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 如图，已知点，直线，为平面内的动点，过作的垂线，垂足为，且．‎ ‎ （1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设是上的任意一点，过作轨迹的切线，切点为、．‎ l ‎ ①求证：、、三点的横坐标成等差数列；‎ ‎②若，，求的值．‎ ‎2015年高考模拟试卷(1) 参考答案 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题 ‎1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5.； 6. ； 7. ； 8. ； ‎ ‎9. ； 10. ； 11. ；【解析】当时，，由条件得，，函数恰有一个零点方程有唯一解，在直角坐标系内分别作出与的图象，当直线经过点时， ，当直线和曲线相切时，切点为，此时，由图象可知，当时，函数与的图象由唯一的交点．‎ ‎12. ；【解析】在四边形中，，，，，由题意得，，即，化解得，又在椭圆中，． 13. {1，2，3}；【解析】由于数列的通项公式为，所以数列为等比数列，首项为，公比；数列也是等比数列，首项为，公比．不等式等价于，即，解之得，，只能取． 14. ；【解析】，函数在上单调递增，且，或，解得或．‎ 二、解答题 ‎15. （1）， 由正弦定理，得, ‎ ‎ 又在中，， ，‎ ‎ 即， 又， ， ‎ ‎ 又，； ‎ ‎（2） 由余弦定理，， ，，，‎ ‎ ，，即， ‎ ‎ ， . ‎ ‎ ‎ ‎16.（1）底面为矩形，，又，‎ ‎，， 平面， ‎ 又， 平面平面； ‎ ‎（2）连接，交于，连接， 平面，‎ 平面平面， ， ‎ ‎，底面为矩形， 是的中点，即，‎ ‎， 为的中点. ‎ ‎17. （1）在中，，且，，‎ ‎ 由余弦定理得，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，即大学与站的距离为； ‎ ‎（2），且为锐角，， ‎ 在中，由正弦定理得，,‎ ‎ 即，，， ‎ ‎ ， ，，， ‎ ‎，又， ， ‎ ‎ 在中，， 由正弦定理得，，‎ ‎ 即，，即铁路段的长为． ‎ ‎18. （1）圆的方程为， 直线与圆O相切，‎ ‎，即，又， ，‎ ‎， 椭圆的方程为； ‎ ‎（2）由题意，可得， ‎ 圆的半径，， ‎ ‎ 的面积为； ‎ ‎（3）由题意可知，‎ 的斜率为，直线的方程为，‎ 由，得，‎ 其中，，， ‎ 则直线的方程为，‎ 令，则， 即， ‎ 直线的方程为，‎ 由，解得，， ‎ 的斜率 ，‎ ‎（定值）． ‎ ‎19. （1）， ，‎ 由题意得， ； ‎ ‎（2），‎ ‎①当时，，‎ 当时，，函数在单调减；‎ 当时，，函数在单调增； ‎ ‎②当时，即，，‎ 函数在上单调减；‎ 函数在和单调增； ‎ ‎③当时，即，，‎ 函数在单调增； ‎ ‎④当时．即，，‎ 函数在单调减区间；‎ 函数在和单调增； ‎ ‎ （3）由题设，‎ ‎ ‎ ‎ ① ‎ 令，则，‎ 时，， 函数在是减函数，‎ 而，时，‎ ‎，， ，即， ② ‎ ‎ 令，则，‎ ‎ 时，， 在是增函数，‎ ‎ 时，， ，‎ 即 ③由①②③得． ‎ ‎20.（1），，‎ ‎①令，可得，即，‎ 令，可得，即，‎ ‎,， ① ‎ 当时，， ②‎ ‎①-②，得， ‎ ‎，即， ‎ 又，，‎ ‎， 数列是等比数列； ‎ ‎② 数列是等差数列，‎ 设，‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎； ‎ ‎ （2）当时，‎ 数列是等差数列，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，， ‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎，‎ 即， ，，‎ 令， ，‎ 当时，， 在上是增函数，而，， ． ‎ 第Ⅱ卷（附加题，共40分）‎ ‎21. A．连接BC，相交于点．因为AB是线段CD的垂直平分线，‎ 所以AB是圆的直径，∠ACB＝90°．设，则，由射影定理得 CE＝AE·EB，又，即有，解得（舍）或 ‎ 所以，AC＝AE·AB＝5×6＝30，． ‎ B．，即， 解得，， ‎ ‎ 解法一：， . ‎ 解法二:设，由，得 ‎ ‎ 解得． ‎ C．因为圆心为直线与极轴的交点，所以令，得，即圆心是， ‎ 又圆经过点， 圆的半径，圆过原点，‎ 圆的极坐标方程是． ‎ ‎（说明：化为普通方程去完成给相应的分数）‎ D.由为正数，根据平均值不等式，得，，．‎ ‎ 将此三式相加，得，即． ‎ ‎ 由，则有．所以，．　 ‎ ‎22.（1）令，‎ 则， ‎ ‎，，，‎ 数列，即是等比数列； ‎ ‎（2）由（1）得，，， ‎ 下面用数学归纳法证明当，时，．‎ ‎①当时，不等式的左边，右边，而，‎ 时，不等式成立； ‎ ‎②假设当时，不等式成立，即；‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，不等式也成立． ‎ 由①②可得，‎ 当，时，． ‎ ‎23. （1）设，则，，‎ ‎，，，‎ ‎ ，，‎ ‎ ，即动点的轨迹的方程为； ‎ ‎ 另解：设，则，，，‎ 以为邻边的平行四边形是菱形，，‎ ‎ ，，‎ 即动点的轨迹的方程为； ‎ ‎（2）①设，，，则 ‎ 切线的方程，‎ ‎，， ① ‎ ‎ 同理， ② ‎ ‎ 方法1:①②得，‎ ‎ ，，‎ 即、、三点的横坐标成等差数列. ‎ 方法2：由①②得是方程的两根， ‎ ‎，即、、三点的横坐标成等差数列. ‎ ‎②由①②得是方程的两根，，‎ ‎ ，， ‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，或. ‎