2011年上海市春季高考数学试卷答案与解析 14页

‎2011年上海市春季高考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1．（4分）（2011•上海）函数f（x）=lg（x﹣2）的定义域是　（2，+∞）　．‎ ‎【考点】对数函数的定义域．菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】对数的真数大于0，可得答案．‎ ‎【解答】解：由x﹣2＞0，得x＞2，所以函数的定义域为（2，+∞）．‎ 故答案为：（2，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查对数函数的定义域，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2011•上海）若集合A={x|x≥1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=　{x|1≤x≤2}　．‎ ‎【考点】交集及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】求解二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．‎ ‎【解答】解：由A={x|x≥1}，B={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，‎ 所以A∩B={x|x≥1}∩{x|﹣2≤x≤2}={x|1≤x≤2}．‎ 故答案为{x|1≤x≤2}．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2011•上海）在△ABC中，tanA=，则sinA=　　．‎ ‎【考点】同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有 ‎【专题】三角函数的求值．‎ ‎【分析】由题意可得A为锐角，再由 tanA==，sin2A+cos2A=1，解方程组求得sinA的值．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，tanA=，则A为锐角，再由 tanA==，sin2A+cos2A=1，‎ 求得sinA=，‎ 故答案为 ．‎ ‎【点评】本题主要考查角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2011•上海）若行列式=0，则x=　1　．‎ ‎【考点】二阶行列式与逆矩阵；函数的零点．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．‎ ‎【解答】解：∵=0，‎ ‎∴2×2x﹣4=0，即2x=2，‎ ‎∴x=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2011•上海）若，，则x=　　（结果用反三角函数表示）‎ ‎【考点】反三角函数的运用．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用反正弦函数的定义，由角的范围为，故可直接得到答案．‎ ‎【解答】解：由于，根据反正弦函数的定义可得x=‎ 故答案为 ‎【点评】本题的考点是反三角函数的运用，主要考查反正弦函数的定义，应特别主要角的范围．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2011•上海）（x+）6的二项展开式的常数项为　20　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】二项式定理．‎ ‎【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．‎ ‎【解答】解：（x+）6的二项展开式的通项公式为 Tr+1=•x6﹣r•x﹣r=•x6﹣2r．‎ 令 6﹣2r=0，求得r=3，故展开式的常数项为 =20，‎ 故答案为 20．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2011•上海）两条直线l1：x﹣y+2=0与l2：x﹣y+2=0的夹角的大小是　　．‎ ‎【考点】两直线的夹角与到角问题．菁优网版权所有 ‎【分析】设两条直线的夹角为θ，求得tanθ=||的值，可得tan2θ的值，求得 2θ 的值，可得 θ的值．‎ ‎【解答】解：由于两条直线l1：x﹣y+2=0与l2：x﹣y+2=0的斜率分别为、1，设两条直线的夹角为θ，‎ 则tanθ=||=||==2﹣，‎ ‎∴tan2θ==，∴2θ=，θ=，‎ 故答案为 ．‎ ‎【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式，二倍角公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2011•上海）若Sn为等比数列{an}的前n项的和，8a2+a5=0，则=　﹣7　．‎ ‎【考点】等比数列的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出q3的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n项和公式，即可求出结果．‎ ‎【解答】解：由8a2+a5=0，得到 =q3=﹣8‎ ‎===﹣7‎ 故答案为：﹣7．‎ ‎【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2011•上海）若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是　　．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C的方程 ‎【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）‎ ‎∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，‎ ‎∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）‎ ‎∴a=3，c=‎ ‎∴‎ ‎∴椭圆C的方程是 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查双曲线、椭圆的标准方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2011•上海）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为　2　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x，y），根据P（x，y）在椭圆上可得到x、y的关系式，表示出|OP|2+|PF|2，再将x、y的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．‎ ‎【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x，y），则有+y2=1，解得y2=1﹣，‎ 因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+（x+1）2+y2=x2+（x+1）2+2﹣x2=（x+1）2+2，‎ 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=﹣1，‎ ‎|OP|2+|PF|2的最小值为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、两点间的距离公式、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2011•上海）根据如图所示的程序框图，输出结果i=　8　．‎ ‎【考点】循环结构．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】按要求一步步代入循环体，直到符合要求退出循环，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：因为i=0，t=76；‎ 不满足t≤0，∴t=76﹣10=66，i=0+1=1；‎ 不满足t≤0，∴t=66﹣10=56，i=1+1=2；‎ 不满足t≤0，∴t=56﹣10=46，i=2+1=3；‎ 不满足t≤0，∴t=46﹣10=36，i=3+1=4；‎ 不满足t≤0，∴t=36﹣10=26，i=4+1=5；‎ 不满足t≤0，∴t=26﹣10=16，i=5+1=6；‎ 不满足t≤0，∴t=16﹣10=6，i=6+1=7；‎ 不满足t≤0，∴t=6﹣10=﹣4，i=7+1=8；‎ 满足t≤0，输出结果i=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2011•上海）2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为　168　．‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从8所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解 ‎【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，‎ 解决这个问题得分三步完成，‎ 第一步把三个学生分成两组，‎ 第二步从8所学校中取两个学校，‎ 第三步，把学生分到两个学校中，共有C31C22A82=168‎ 故答案为：168．‎ ‎【点评】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成三步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2011•上海）有一种多面体的饰品，其表面右6个正方形和8个正三角形组成（如图），则AB与CD所成的角的大小是　　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】由图形补出正方体，可得所求的角即为ED与CD所成的角，在△CDE中，由余弦定理可得答案．‎ ‎【解答】解：该饰品实际上就是正方体的8个顶角被切掉，切线经过正方体每条棱边的中点，‎ 如图：‎ 可得AB与CD所成的角即为ED与CD所成的角，‎ 设正方体的棱长为2，在△CDE中，可得CD=DE=，EC=，‎ 由余弦定理可得cos∠CDE==，故∠CDE=，‎ 故AB与CD所成的角为 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成的角，补出正方体是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2011•上海）为求方程x5﹣1=0的虚根，可以把原方程变形为（x﹣1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=0，由此可得原方程的一个虚根为　　．‎ ‎【考点】根与系数的关系；复数相等的充要条件．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】化简方程的左边，比较系数，求出a，b，再求方程的虚根．‎ ‎【解答】解：由题可知（x﹣1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=（x﹣1）[x4+（a+b）x3+（2+ab）x2+（a+b）x+1]‎ 比较系数可得，∴‎ ‎∴原方程的一个虚根为，中的一个 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查方程的根，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15．（5分）（2011•上海）若向量，则下列结论正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有 ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】由给出的两个向量的坐标，求出的坐标，然后直接进行数量积的坐标运算求解．‎ ‎【解答】解：由，则．‎ 所以．‎ 则．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，考查了利用数量积判断两个向量的垂直关系，解答的关键是熟记数量积的坐标运算公式，是基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2011•上海）f（x）=的图象关于（　　）‎ A．原点对称 B．直线y=x对称 C．直线y=﹣x对称 D．y轴对称 ‎【考点】奇偶函数图象的对称性．菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】先判断函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：因为函数的定义域为R，所以定义域关于原点对称．‎ f（x）==，‎ 则f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数．‎ 故函数f（x）的图象关于原点对称．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数奇偶性的图象关系，将函数进行化简是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）（2011•上海）直线l：y=k（x+）与圆C：x2+y2=1的位置关系是（　　）‎ A．相交或相切 B．相交或相离 C．相切 D．相交 ‎【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题；直线与圆．‎ ‎【分析】根据点到直线的距离求出圆心到直线的距离d，再根据d与半径r的大小关系，得出结论．‎ ‎【解答】解：由于圆心（0，0），半径等于1，‎ 圆心到直线l：y=k（x+）的距离为 d===＜＜r=1，‎ 故直线和圆相交，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（5分）（2011•上海）若，，均为单位向量，则=（，）是++=（，）的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】均为单位向量，若，=（，）不成立；若=（，）可推得，由此可得．‎ ‎【解答】解：均为单位向量，，‎ 若，，‎ 则=（，）不成立；‎ 若均为单位向量，‎ ‎=（，）可推得 所以“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选B ‎【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的性质和应用，解题时要全面考虑．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19．（12分）（2011•上海）已知向量=（sin2x﹣1，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=•，求函数f（x）的最小正周期及x∈[0，]时的最大值．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有 ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】利用两个向量的数量积公式求得函数f（x）的解析式为 sin（2x+），根据x∈[0，]，利用正弦函数的定义域和值域求函数的最大值．‎ ‎【解答】解：∵向量=（sin2x﹣1，cosx），=（1，2cosx），‎ 函数f（x）=•=（sin2x﹣1）+2cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），‎ 故函数的周期为=π．‎ ‎∵x∈[0，]，∴≤2x+≤，‎ 故当2x+=时，函数取得最大值为 ．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2011•上海）某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】设出蛋筒冰淇淋的底面半径和高，由圆形蛋皮的周长等于5倍圆锥的底面周长求得圆锥底面半径，进一步求出圆锥的高，然后直接利用表面积公式和体积公式求解．‎ ‎【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h．‎ 因为，所以r=2．‎ 则．‎ 则圆锥的表面积S=．‎ 体积V=．‎ 故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96cm2，体积约为57.80cm3．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥的表面积和体积，解答的关键是明确圆锥的底面周长是展开后的扇形的弧长，同时熟记有关公式，是基础题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2011•上海）已知抛物线F：y2=4x ‎（1）△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为kAB，kBC，kCA，若A的坐标在原点，求kAB﹣kBC+kCA的值；‎ ‎（2）请你给出一个以P（2，1）为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），把B、C点左边代入抛物线方程，利用斜率公式计算kAB﹣kBC+kCA的值即可；‎ ‎（2）先研究△PBC，四边形PBCD，五边形PBCDE，再研究n=2k，n=2k﹣1（k∈N，k≥2）边形的情形，最后研究n边形P1P2…Pn（k∈N，k≥3），按由特殊到一般的思路逐步得到结论；‎ ‎【解答】解：（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），‎ ‎∵，，‎ ‎∴kAB﹣kBC+kCA=+=﹣+=0；‎ ‎（2）①研究△PBC，‎ kPB﹣kBC+kCP=﹣+=﹣+==1；‎ ‎②研究四边形PBCD，‎ kPB﹣kBC+kCD﹣kDP=﹣+﹣=0；‎ ‎③研究五边形PBCDE，‎ kPB﹣kBC+kCD﹣kDE+kEP=﹣+﹣==1；‎ ‎④研究n=2k边形P1P2…P2k（k∈N，k≥2），其中P1=P，‎ 有﹣…+=0，‎ 证明：左边=+===0=右边；‎ ‎⑤研究n=2k﹣1边形P1P2…P2k﹣1（k∈N，k≥2），其中P1=P，‎ 有+﹣…+（﹣1）2k﹣2=1，‎ 证明：左边=+===1=右边；‎ ‎⑥研究n边形P1P2…Pn（k∈N，k≥3），其中P1=P，‎ 有+﹣…+（﹣1）n﹣1=，‎ 证明：左边=+（﹣1）n﹣1=[1+（﹣1）n﹣1]==右边．‎ ‎【点评】本题考查直线斜率、直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生逻辑推理能力及探究问题解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎22．（16分）（2011•上海）定义域为R，且对任意实数x1，x2都满足不等式f（）≤的所有函数f（x）组成的集合记为M，例如，函数f（x）=kx+b∈M．‎ ‎（1）已知函数f（x）=，证明：f（x）∈M；‎ ‎（2）写出一个函数f（x），使得f（x0）∉M，并说明理由；‎ ‎（3）写出一个函数f（x）∈M，使得数列极限=1，=1．‎ ‎【考点】数列与函数的综合；数列的极限．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）分类讨论，验证f（）≤成立，即可得到结论；‎ ‎（2）利用条件，构造函数f（x）=﹣x2，f（x）∉M，再取值验证即可；‎ ‎（3）利用条件，构造函数f（x）=满足f（x）∈M，验证条件即可．‎ ‎【解答】解：（1）证明：由题意，当x1≤x2≤0或0≤x1≤x2时，f（）≤成立 设x1≤0≤x2，且＜0，‎ ‎∵﹣f（）==0‎ ‎∴f（）≤成立 设x1≤0≤x2，且≥0，‎ ‎∵﹣f（）==0‎ ‎∴f（）≤成立 ‎∴综上所述，f（x）∈M；‎ ‎（2）如函数f（x）=﹣x2，f（x）∉M 取x1=﹣1，x2=1，则=﹣1，f（）=0‎ 此时f（）≤不成立；‎ ‎（3）f（x）=满足f（x）∈M，且==1，==1．‎ ‎【点评】本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎23．（18分）（2011•上海）对于给定首项x0＞（a＞0），由递推公式xn+1=（xn+）（n∈N）得到数列{xn}，对于任意的n∈N，都有xn＞，用数列{xn}可以计算的近似值．‎ ‎（1）取x0=5，a=100，计算x1，x2，x3的值（精确到0.01）；归纳出xn，xn+1，的大小关系；‎ ‎（2）当n≥1时，证明：xn﹣xn+1＜（xn﹣1﹣xn）；‎ ‎（3）当x0∈[5，10]时，用数列{xn}计算的近似值，要求|xn﹣xn+1|＜10﹣4，请你估计n，并说明理由．‎ ‎【考点】数列递推式；数列与不等式的综合；反证法与放缩法．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）利用数列递推式，代入计算，即可得到结论，同时可猜想结论；‎ ‎（2）作差，利用条件，证明其大于0，即可得到结论；‎ ‎（3）由题意，只要，由此可估计n的值．‎ ‎【解答】（1）解：∵x0=5，a=100，xn+1=（xn+）‎ ‎∴x1=（5+）≈4.74‎ 同理可得x2≈4.67，x3≈4.65‎ 猜想xn＞xn+1；‎ ‎（2）证明：xn﹣xn+1﹣（xn﹣1﹣xn）==‎ ‎∵；‎ ‎∴xn﹣xn+1==＞0‎ ‎∴xn＞xn+1‎ ‎∴；‎ ‎（3）解：由（2）知＜…＜‎ 由题意，只要，即2n＞104（x0﹣x1）‎ ‎∵‎ ‎∴n＞=15.1‎ ‎∴n=16．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．‎ ‎　‎