高考数学冲刺训练题之三角函数 11页

2010 届高考数学快速提升成绩题型训练——三角函数 1. 右图为 的图象的一段，求其解析式。 解析 法 1 以 M 为第一个零点，则 A= ， 所求解析式为 点 M（ 在图象上，由此求得 所求解析式为 法 2. 由题意 A= ， ，则 图像过点 即 取 所求解析式为 2 设函数 图像的一条对称轴是直线 。 （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求函数 的单调增区间；（Ⅲ）画出函数 在区间 上 的图像。 解析（Ⅰ） 的图像的对称轴， （Ⅱ）由（Ⅰ）知 由题意得 所以函数 （Ⅲ）由 x 0 y －1 0 1 0 故函数 )sin( ϕω += xAy 3 2=ω )2sin(3 ϕ+= xy )0,3 π 3 2πϕ −= ∴ )3 22sin(3 π−= xy 3 2ω = 3sin(2 )y x ϕ= +  7( , 3)12 π 73 3sin( )6 π ϕ∴ = + 73 3sin( )6 π ϕ∴ = + 7 2 .6 2 k ππ ϕ π+ = + ∴ 2 2 .3 k πϕ π= − + 2 .3 πϕ = − ∴ 23sin(2 )3y x π= − )(),0()2sin()( xfyxxf =<<−+= ϕπϕ 8 π=x ϕ )(xfy = )(xfy = ],0[ π )(8 xfyx == 是函数π  ,1)82sin( ±=+×∴ ϕπ , .4 2k k Z π πϕ π∴ + = + ∈ .4 3,0 πϕϕπ −=<<− ).4 32sin(,4 3 ππϕ −=−= xy因此 .,224 3222 Zkkxk ∈+≤−≤− πππππ .],8 5,8[)4 32sin( Zkkkxy ∈++−= πππππ 的单调增区间为 知)4 32sin( π−= xy 8 π 8 3π 8 5π 8 7π π 2 2− 2 2− 上图像是在区间 ],0[)( πxfy = 3. 已知函数 ， （1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。 解析 （1）由题意得 sinx-cosx＞0 即 ， 从而得 ， ∴函数的定义域为 ， ∵ ，故 0＜sinx-cosx≤ ，所有函数 f(x)的值域是 。 （2）单调递增区间是 单调递减区间是 ， （3）因为 f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，故 f(x)是非奇非偶函数。 （4）∵ ∴函数 f(x)的最小正周期 T=2π。 4. 已知向量 = ( ，2)， =( ，（ 。 （1）若 ，且 的最小正周期为 ，求 的最大值，并求 取得最大 值时 的集合； （2）在（1）的条件下， 沿向量 平移可得到函数 求向量 。 解析 = ，T= ， = ， ，这时 的集合为 （2） 的图象向左平移 ，再向上平移 1 个单位可得 的图象， 所以向量 = 。 5. 设函数 的图象经过两点（0，1），（ ），且在 ， 求实数 a 的的取值范围. 解析 由图象过两点得 1=a+b，1=a+c， 当 a＜1 时， ， 只须 解得 )cos(sinlog)( 2 1 xxxf −= 0)4sin(2 >− π x ππππ +<−< kxk 242 ），（ 4 5242 ππππ ++ kk Zk ∈ 1)4sin(0 ≤−< π x 2 ),2 1[ +∞− ）， 4 524 32[ ππππ ++ kk Zk ∈ ），（ 4 3242 ππππ ++ kk Zk ∈ )()]2cos()2[sin(log)2( 2 1 xfxxxf =+−+=+ πππ a 3 b )cos,2sin 2 xx ωω − )0>ω ( )f x a b= ⋅  )(xf π )(xf )(xf x )(xf c ,2sin2 xy = c ( )f x a b= ⋅  1)62sin(2cos22sin3 2 −−=− πωωω xxx π 1=ω =)(xf 1)62sin(2 −− π x 1max =y x       ∈+= Zkkxx ,3 ππ  )(xf 12 π xy 2sin2= c )1,12( π− xcxbaxf sincos)( ++= 1,2 π 2|)(|20 ≤≤≤ xfx 内π )4sin()1(2)cos)(sin1()(,1,1 π+−+=+−+=−=−=∴ xaaxxaaxfacab 1)4sin(2 2,4 3 44,20 ≤+≤∴≤+≤≤≤ πππππ xxx 则 2|)(|,)21(2)(1 ≤−+≤≤ xfaxf 要使 2)21(2 ≤−+ a 2−≥a 当 要使 解得 ，故所求 a 的范围是 6. 若函数 的最大值为 ，试确定常数 a 的值. 解析 因为 的最大值为 的最大值为 1，则 所以 7. 已知二次函数 对任意 ，都有 成立，设向量 （sinx，2）， （2sinx， ）， （cos2x，1）， （1，2），当 [0， ]时，求不等式 f（ ）＞f （ ）的解集． 解析 设 f（x）的二次项系数为 m，其图象上两点为（1-x， ）、B（1＋x， ） 因为 ， ，所以 ， 由 x 的任意性得 f（x）的图象关于直线 x＝1 对称， 若 m＞0，则 x≥1 时，f（x）是增函数，若 m＜0，则 x≥1 时，f（x）是减函数． ∵　 ， ， ， ， ， ， ∴　当 时， ， ． ∵　 ，　∴　 ． 当 时，同理可得 或 ． 综上 的解集是当 时，为 ； 当 时，为 ，或 ． 8. 试判断方程 sinx= 实数解的个数. 1)()21(2,1 ≤≤−+> xfaa 时 2)21(22|)(| −≥−+≤ axf 只须 234 +≤a 2342 +≤≤− a )4sin(sin )2sin(2 2cos1)( 2 π π +++ − += xax x xxf 32 + )4sin(sin )2sin(2 1cos21)( 2 2 π π +++ − −+= xax x xxf )4sin(cossin)4sin(sincos2 cos2 22 2 ππ +++=+++= xaxxxaxx x )4sin()2()4sin()4sin(2 22 πππ ++=+++= xaxax )(xf )4sin(,32 π++ x ,322 2 +=+ a 3a = ± )(xf R∈x )1()1( xfxf +=− =a =b 2 1 =c =d ∈x π ⋅ a b ⋅ c d 1y 2y 12 )1()1( =++− xx )1()1( xfxf +=− 21 yy = (sin x=⋅ a b xsin2()2 ⋅ 11sin2)2 1 2 ≥+= x (cos2x=⋅ c d 1()1 ⋅ )2 122cos ≥+= x 0>m 2( ) ( ) (2sin 1) (cos2 1)f f f x f x> ⇔ + > +⋅ ⋅   a b c d 1sin2 2 +⇔ x 02cos222cos12cos122cos <⇔+>+−⇔+> xxxx 02cos <⇔ x 2 ππ2 +⇔ k 2 3ππ22 +<< kx Z∈k π0 ≤≤ x 4 π3 4 π << x 0⋅ ⋅   a b c d 0>m }4 π3 4 π|{ << xx 0>+= AxAxf )(xfy = ]3 2,[ ππ− 2( ) 2 f x = 2[ , ]6 3x π π∈ − ( ) sin( ) ( 0 , 0 , )2 2f x A x A π πω ϕ ω ϕ= + > > − < < 1, 1, 3A πω ϕ= = = ( ) sin( )3f x x π= + ( )y f x= 6x π= − [ , ]6x ππ∈ − − ( ) sinf x x= − 2sin( ) [ , ]3 6 3( ) sin [ , )6 x x f x x x π π π ππ  + ∈ −=  − ∈ − − 2[ , ]6 3x π π∈ − 2sin( )3 2x π+ = 3 5 3 4 4 12 12x x xπ π π π π+ = ⇒ = − =或 或 [ , ]6x ππ∈ − − 2sin 2x− = 3 4 4x xπ π=− =−或 2( ) 2f x = 3 5{ , , , }4 4 12 12 π π π π− − − )2||,0,0A)(xsin(A)x(f π<φ>ω>φ+ω= y y )2,( 0x )2,3( 0 −+ πx )x(f )x(fy = 3 1 x 3 π )x(gy = )x(gy = 100л 解析 （1）由题意可得： ， ， ， 函数图像过（0，1）， ， ， ， ； （2） 11. 已知函数 （Ⅰ）将 f(x)写成 的形式，并求其图象对称中心的横坐标及对称轴方程 （Ⅱ）如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac，且边 b 所对的角为 x，试求 x 的范围 及此时函数 f(x)的值域. 解析 (1) 由 =0 即 即对称中心的横坐标为 （Ⅱ）由已知 b2=ac， 即 的值域为 . 12. （ω＞0） （1）若 f (x +θ)是周期为 2π 的偶函数，求 ω 及 θ 值 （2）f (x)在（0， ）上是增函数，求 ω 最大值。 解析（1）因为 f (x +θ)= 又 f (x +θ)是周期为 2π 的偶函数， 故 Z （2）因为 f (x)在（0， ）上是增函数，故 ω 最大值为 13. 已知 且 a∥b. 求 的值. 解析. 由 a∥b 得， π6=T 2=A )3 1sin(2)( ϕ+=∴ xxf  2 1sin =∴ ϕ 2 πϕ < 6 πϕ =∴ )63sin(2)( π+=∴ xxf )6sin(2)( π−= xxg .3cos33cos3sin)( 2 xxxxf += )sin( φω +xA 2 3)33 2sin(2 3 3 2cos2 3 3 2sin2 1)3 2cos1(2 3 3 2sin2 1)( ++=++=++= πxxxxxxf )33 2sin( π+x zkkxzkkx ∈−=∈=+ πππ 2 13)(33 2 得 zkk ∈− ，π 2 13 2 2 2 2 2 2 1cos 2 2 2 2 a c b a c ac ac acx ac ac ac + − + − −= = ≥ = ， 1 2 5cos 1 02 3 3 3 3 9 5 2| | | | sin sin( ) 13 2 9 2 3 3 3 2 33 sin( ) 13 3 2 xx x x x π π π π π π π π π π π ∴ ≤ < < ≤ < + ≤ − > − ∴ < + ≤ ∴ < + ≤ +  ， ， ， ， ， )(xf ]2 31,3( + )33sin(32)( πω += xxf 3 π )333sin(32 πθω ++x ∈+== kk 6,3 1 ππθω 3 π 6 1 ),2sin,2cos2 3 (),2cos2 3 ,2(cos xxxx +=−= ba )2sin( )42cos(21 π π + −+ x x ,02cos2sin2cos4 3 2 =−− xxx 即 思路点拨：三角函数的求值问题，关键是要找到已知和结论之间的联系，本题先要应用 向量的有关知识及二倍角公式将已知条件化简，然后将所求式子的角向已知角转化. 14. 已知△ABC 三内角 A、B、C 所对的边 a，b，c，且 （1）求∠B 的大小； （2）若△ABC 的面积为 ，求 b 取最小值时的三角形形状. 解析. (1)由 ∴ 即 由 ∵ . (2) 由 ∴ 当且仅当 时取等号， 即 ,故当 b 取最小值 时，三角形为正三角形. 15. 求函数 y= 的值域. 解：原函数化简为 ,2 1cossin,0sin2 1 2 cos1 4 3 =+∴=−+− xxxx x xx x x cos )4sin2sin4cos2(cos21 )2sin( )42cos(21 ππ π π ++ = + −+ .1)cos(sin2cos cossin2cos2 cos 2sin2cos1 2 =+=+=++= xxx xxx x xx .2222 222 ca c cba bca −=−+ −+ 4 33 ca b ab cba ac bca ca c cba bca −=−+ −+ −=−+ −+ 2 2 2 2 222 222 222 222 得 ,sinsin2 sin cos cos CA B C B −= ,cossinsincoscossin2 CBCBBA =− ,cossinsincoscossin2 CBcBBA += ),sin(cossin2 CBBA += ,sincossin2 ABA，ACB =−=+ 得π 60,2 1cos,0sin =∠=∴≠ BBA ,34 3360sin2 1sin2 1 ====∆ ac，acBacS ABC 得 ,3260cos2222 ==−≥−+= acacacaccab  3== ca 3≥b 3 )32cot()32sin( ππ −− xx 由 得原函数的定义域为 16. 求函数 y= 的单调区间. 解：化简函数式并跟踪 x 的取值范围的变化得 且 ， . 由 故函数递增区间为 ， ， 17. 已知 ①化简 f(x);②若 ，且 ，求 f(x)的值； 解:①分析:注意此处角，名的关系，所以切化弦化同角，2x 化 x，化同角. ②求 f(x)即求 sinx,此处未知角 x，已知角 ，而 ，∴可把 x 化成已知. ∵ , ∴ , ∴ , ∴ ∴ . ππππ kxxxy ≠−≠−−= 320)32sin().32cos( 即这里 )( 12 5 12 62 0)32cos( 32 Zk kxk kx x kx ∈      +≤≤− +≠ ⇔      ≥− ≠− ππππ ππ π ππ .,12 5,66,12 Zkkkkk ∈    +   +  +− ππππππππ  1sectan 1sectan +− −+ xx xx )42tan( π+= xy 0cos ≠x 02sin ≠x ⇔∈        +<+<− ≠ +≠ )( 2422 2 2 Zk kxk kx kx πππππ π ππ )( 222 32 2 2 Zk kxk kx kx ∈        +<<− ≠ +≠ ππππ π ππ )22,2 32( ππππ −− kk )2,22( πππ kk − Zkkk ∈+ ).22,2( πππ ctgx xxxf + +−= 1 12cos2sin)( 5 3)4sin( =π+x π<<π 4 3 4 x ctgx xxxf + +−= 1 12cos2sin)( x x xxx sin cos1 1sin21cossin2 2 + ++−⋅= xxx xxx 2 2 sin2cossin )sin(cossin2 =+ +⋅= 4 π+x 4)4( π−π+= xx π<<π 4 3 4 x π<π+<π 42 x 5 4)4(sin1)4cos( 2 −=π+−−=π+ xx ]4)4sin[(sin π−π+= xx 210 7 4sin)4cos(4cos)4sin( =ππ+−ππ+= xx 25 49sin2)( 2 == xxf 18. 已知ΔABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，且 A ∴ 2 10sin 1 cos 10B B= − = sin 1tan cos 3 BB B ∴ = = [ ] 1 1 tan tan 2 3tan tan ( ) tan( ) 11 11 tan tan 1 2 3 A BC A B A B A B π ++∴ = − + = − + = − = − = −− • − • 2tan 1, 135 , sin 2C C C= − ∴ = ° ∴ = sin sin b c B C = 101sin 510 sin 52 2 c Bb C • = = = 90 60 150BCD = + =  ∠ CB AC CD= = 15CBE = ∠ 6 2cos cos(45 30 ) 4CBE += − = ∠ ABE△ 2AB = 2 sin (45 15 ) sin(90 15 ) AE =− +    E D C BA 故 25. 在 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 。 （1）求角 B 的大小； （2）若 ，求 a 的值。 解析：（1）由正弦定理得 ，得 代入 ，即 ∵ A+B+C= ∴ sin（B+C）=sinA ∴ ∵ ∴ 又 ∵ 角 B 为三角形的内角 ∴ （2）将 代入余弦定理 ， 得 ∴ ∴ 或 选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按 ctrl 点击打开) ABC∆ ca b C B +−= 2cos cos 4,13 =+= cab RC c B b A a 2sinsinsin === CRCBRbARa sin2,sin2,sin2 === CA B C B sinsin2 sin cos cos +−= 0sincoscossincossin2 =++ BCBCBA 0)sin(cossin2 =++ CBBA π 0sincossin2 =+ ABA 0sin ≠A 2 1cos −=B 3 2π=B 3 2,4,13 π==+= Bcab Baccab cos2222 −+= 3 2cos)4(2)4(13 22 π aaaa −−−+= 0342 =+− aa 1=a 3=a 2sin30 cos15AE =   12 2 6 2 4 × = + 6 2= −