高考广东揭阳一模理数试卷 14页

绝密★启用前 揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试 数学(理科)‎ 本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．‎ 注意事项： ‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.‎ ‎4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）已知集合，集合，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）已知复数,且是实数,则实数=‎ v=2‎ 否 输出v 是 开始 结束 图1‎ 输入n, x i≥0?‎ i=i-1‎ i=n-1‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）若，, 则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）已知命题存在向量使得，命题对任意 的向量、、，若则.则下列判断正确的是 ‎ （A）命题是假命题 （B）命题是真命题 ‎ （C）命题是假命题 （D）命题是真命题 ‎（5）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中 提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.‎ 如图1所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的 一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为 ‎（A）66 （B）33 （C）16 （D）8‎ ‎（6）如果实数满足条件， 那么的最大值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）在同一坐标系中，曲线与抛物线的交点横坐标所在区间为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）在的展开式中，x项的系数为 ‎（A）－4 （B）－2 ‎ ‎（C）2 （D）4‎ ‎（9）某工件的三视图如图2所示，现将该工件通过切割，‎ 加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的 一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为 图2‎ ‎（A） （B）1 （C） 2 （D） ‎ ‎（10）已知正数满足，则曲线在点处的切线的倾斜角的 取值范围为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）已知双曲线右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点,则△APF周长的最小值为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）已知函数，（），设方程，，的实根的个数为分别为、、，则 ‎（A）9 (B)13 (C)17 (D) 21‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：‎ 本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．‎ ‎（13）已知函数，若，则_________.‎ ‎（14）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m, n作为点的坐标，那么点P在圆内部（不包括边界）的概率是 .‎ ‎（15）已知△ABC的顶点都在球O的球面上，AB=6，BC=8，AC=10，三棱锥O-ABC的体积为，则该球的表面积等于 . ‎ ‎（16）在△ABC中，,,点D在边AB上，且DA=DC，BD=1，则 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 设等差数列的前项和为，且,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设数列满足 ，求的前项和．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图3，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=BB1，‎ ‎，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD；‎ ‎ (Ⅰ)求证：BD⊥平面；‎ ‎ (Ⅱ)若，且，求二面角 的余弦值．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水 量发电．图4是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成 的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完 整），已知，历年中日泄流量在区间[30，60）‎ 的年平均天数为156，一年按364天计．‎ ‎（Ⅰ）请把频率分布直方图补充完整；‎ ‎（Ⅱ）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如60≤X<90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润为4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润 的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 如图5，已知椭圆的上顶点为A，左、右 顶点为B、C，右焦点为F，|AF|=3，且的周长为14.‎ ‎（I）求椭圆的离心率；‎ ‎（II）过点M(4, 0)的直线l与椭圆相交于不同两点P、Q，‎ 点N在线段PQ上．设，试判断点N 是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数.()‎ ‎（I）试确定函数的零点个数；‎ ‎（II）设是函数的两个零点，当时，求的取值范围．‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：与曲线相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求的最大值．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 设函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）设，当时，求证：．‎ 揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试 数学(理科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．‎ 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D B D A B B ‎ D B C A B 部分题目解析：‎ ‎（9）依题意知该工件为圆锥，底面半径为，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2，则有，解得，故2x=1，故新工件的体积为1.‎ ‎（10）设曲线在点处的切线的倾斜角为，‎ 则，故．‎ ‎（11）易得点,△APF的周长=‎ ‎，要△APF的周长最小，只需最小，如图，当A、P、F三点共线时取到，故.‎ ‎（12）由条件可在函数的值域为，方程的根为0，，，所以方程的根为方程或或的根，显然方程有3个实根，与均无实根，所以方程的实根个数为3，即；因是奇函数，先考虑的图象，因，由得 ‎，可知在上递增，在上递减，又，，由图象关于原点对称得的示意图如右，极小值为，‎ 极大值为. 方程的实根为方程 或或的根，显然方程有3个根，‎ 方程与各有１个根，从而方程 实根的个数为5，即n=5；记方程除0外的另外两个实根 分别为，可知，方程的实根为方程或或的根，显然方程有3个根，方程与各有１个根，从而方程根的个数为5，即t=5，故13.‎ 二、填空题：‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 或 ‎ 部分题目解析：‎ ‎（15）依题意知△ABC为直角三角形，其所在圆面的半径为，设三棱锥O-ABC的高为h，则由得，设球O的半径为R，则由得，故该球的表面积为.‎ ‎（16）解法1：设，，则，又,由正弦定理得：在△BDC中由正弦定理得：‎ ‎，由 ‎，得或 或.‎ ‎[注：该题若考生漏掉一解扣2分]‎ ‎【或或】‎ 解法2：过点C作于E，,则,在Rt△AEC中，，则在Rt△CED中，，在Rt△CEB中,，由BD=1得 或.】‎ 三、解答题：‎ ‎（17）解：（Ⅰ）设的公差为，则有，‎ 解得--------------------------------------------------------------------------------------4分 ‎------------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由①‎ 当时，，所以-----------------------------------------------------------------7分 当时，②-----------------------------8分 ‎①式减去②式得，‎ 求得，易知也成立，‎ 所以数列为等比数列，-------------------------------------------------------------------------10分 其前项和------------------------------------12分 ‎（18）解：（Ⅰ）连结ED，-------------------------------------------1分 ‎∵平面AB‎1C∩平面A1BD=ED，B‎1C∥平面A1BD，‎ ‎∴B‎1C∥ED，-------------------------------------------------------2分 ‎∵E为AB1中点，∴D为AC中点， ‎ ‎∵AB=BC， ∴BD⊥AC①，--------------------------------3分 法一：由A1A⊥平面ABC，平面ABC，得A1A⊥BD②，‎ 由①②及A‎1A、AC是平面内的两条相交直线，‎ 得BD⊥平面.-------------------------------------------5分 ‎【法二:由A1A⊥平面ABC，A1A平面 ‎∴平面⊥平面ABC ，又平面平面ABC=AC，得BD⊥平面.】‎ ‎（Ⅱ）由得BC=BB1=1，‎ 由（Ⅰ）知，又得,----------------------------------------6分 ‎∵，∴，-----------------7分 如图以B为原点，建立空间直角坐标系如图示，‎ 则，，，‎ 得，，‎ 设是平面A1B1D的一个法向量，‎ 则，得，令z=1，得，----------9分 设为平面A1BD的一个法向量，则，得，‎ 令得， ---------------------------------------------------------------------------10分 依题意知二面角为锐二面角，设其大小为，‎ 则 ，‎ 即二面角的余弦值为．----------------------------------------------------12分 其它解法请参照给分．‎ ‎（19）解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为------------------------------------------------1分 ‎，----------------2分 设在区间[0，30）上，，‎ 则，‎ 解得，-------------------------------------------------3分 补充频率分布直方图如右；-----------------------------------------------------------------------6分 ‎（Ⅱ）记水电站日利润为Y元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为，恰好运行一台发电机的概率为，恰好运行二台发电机的概率为，恰好运行三台发电机的概率为，‎ ‎①若安装1台发电机，则Y的值为-500，4000，其分布列为 Y ‎-500‎ ‎4000‎ P E(Y)＝；----------------------------------8分 ‎②若安装2台发电机，则Y的值为-1000，3500，8000，其分布列为 Y ‎-1000‎ ‎3500‎ ‎8000‎ P E(Y)＝；-----------------------------10分 ‎③若安装3台发电机，则Y的值为-1500，3000，7500，12000，其分布列为 Y ‎-1500‎ ‎3000‎ ‎7500‎ ‎12000‎ P E(Y)＝；‎ ‎∵‎ ‎∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．--------------12分 ‎（20）解：（I）由，得，--------------------------1分 的周长为，即，得，‎ 所以，椭圆的离心率为；---------------------------------------------4分 ‎（II）显然直线l的斜率存在，设l的方程为，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，‎ 由，得，化简得①，-----6分 由消去x，得，‎ 得，，----------------------------------------------------8分 代入①式得，由得，‎ ‎，---------------------------------------10分 因为，得，所以，‎ 因此，N在一条直线上，实数．------------------------------------------12分 ‎【法二：显然直线l的斜率存在，设l的方程为，不妨设，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，，‎ 由，得，化简得①，6分 由，，得②，‎ 由消去x，得，‎ 可知，‎ 得，，，----------------------8分 代入①式得，由得，---------------------------------------9分 由②式得，得，‎ 因此，N在一条直线上，实数．--------------------------------------12分】‎ ‎【法三：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，，由，‎ 得-----------------------------------------------------------------------5分 所以将，代入椭圆方程得------------------7分 ‎-----------------9分 上面两式相减化简得 ‎，‎ 因为，得，所以，‎ 因此，N在一条直线上，实数．----------------------------------12分】‎ ‎（21）解法1：（I）函数的零点即方程的根，‎ 由得，令，‎ 则，--------------------2分 由得，∴函数在单调递增，‎ 由得，∴函数在上单调递减，----3分 ‎∴当时，函数有最大值，，‎ 又当时，>0，当时；‎ 当时>0，，当时，----------------------------------------4分 ‎∴当时，与只有一个公共点，从而函数有一个零点；---------- 5分 当时，与有两个公共点，从而函数有两个零点．-----------------6分 ‎（II）设由（I）知且，‎ ‎ 由，得（）‎ 由，得（）-----------------------8分 ‎∴， -------------------------9分 ‎∵∴，，（两者仅当时取等号）‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，----------------------------------------------------------------------11分 ‎∴，‎ 由得．--------------------------------------------------------------------------------12分 ‎【解法2：（I）∵，不是函数的零点；‎ 当时，由得，------------------------------1分 设，则，----------------------------------2分 所以在和上单调递减，-----------------------------------------------------3分 当且时，；当时，；‎ 当且时，；当时，；‎ 当时，由，有，‎ 当时，有，，‎ 所以当时，曲线与只一个公共点，函数有一个零点； -----------5分 当时，曲线与有两个公共点，函数有两个零点； -----------------6分 ‎（II）不妨设，由（I）得，且，，‎ 由，，得，，‎ ‎∴，-----8分 ‎∵∴，，（两者仅当时取等号）‎ ‎∴，又，----------------------------------------------------10分 ‎∴，------------------------------------------------------------------------11分 ‎∴，由得．------------------------------------------------12分】‎ 选做题：‎ ‎（22）解：（I）曲线C的普通方程为，-------------------------------------2分 由，得；---------------------------------------5分 ‎（II）解法1：联立和，‎ 得，-----------------------------------------------------------------6分 设、，则，---------8分 由， 得，--------------------------------9分 当时，|OM|取最大值．----------------------------------------------------------------10分 ‎【解法2：由（I）知曲线C是以点P为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线的方程为，则，-----------------------------------------------------6分 ‎∵，---------------------------------8分 当时，，，，当且仅当，即时取等号，‎ ‎∴,即的最大值为．------------------------------------------------------------10分】‎ ‎（23）解：（I）当时，不等式即 ‎ 当时，得，∴-----------------------------------------1分 当时，得，∴------------------------------2分 当时，得，与矛盾，--------------------------------------3分 综上得原不等式的解集为=-------------------------5分 ‎（II）-----------------------------------------------6分 ‎∵，‎ ‎∴--------------------------------------------------7分 ‎，------------------------------------------------------9分 当时取“=”，得证． ------------------------------------------------------------------------10分