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- 2021-05-13 发布
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解三角形、数列2018年全国高考分类真题(含答案)
一.选择题(共4小题)
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=( )
A. B. C. D.
2.在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( )
A.4 B. C. D.2
3.已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),若a1>1,则( )
A.a1<a3,a2<a4 B.a1>a3,a2<a4 C.a1<a3,a2>a4 D.a1>a3,a2>a4
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )
A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.12
二.填空题(共4小题)
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为 .
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB= ,c= .
7.设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为 .
8.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6= .
三.解答题(共9小题)
9.在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣.
(Ⅰ)求∠A;
(Ⅱ)求AC边上的高.
10.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(﹣,﹣).
(Ⅰ)求sin(α+π)的值;
(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.
11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B﹣).
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值.
12.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
13.设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,{bn}是首项为b1,公比为q的等比数列.
(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|an﹣bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;
(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,],证明:存在d∈R,使得|an﹣bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).
14.已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1﹣bn)an}的前n项和为2n2+n.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.
15.设{an}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*),
(i)求Tn;
(ii)证明=﹣2(n∈N*).
16.等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
17.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=﹣7,S3=﹣15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解三角形、数列2018年全国高考分类真题(含答案)
参考答案与试题解析
一.选择题(共4小题)
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
△ABC的面积为,
∴S△ABC==,
∴sinC==cosC,
∵0<C<π,∴C=.
故选:C.
2.在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( )
A.4 B. C. D.2
【解答】解:在△ABC中,cos=,cosC=2×=﹣,
BC=1,AC=5,则AB====4.
故选:A.
3.已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),若a1>1,则( )
A.a1<a3,a2<a4 B.a1>a3,a2<a4 C.a1<a3,a2>a4 D.a1>a3,a2>a4
【解答】解:a1,a2,a3,a4成等比数列,由等比数列的性质可知,奇数项符号相同,偶数项符号相同,
a1>1,设公比为q,
当q>0时,a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3,a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),不成立,
即:a1>a3,a2>a4,a1<a3,a2<a4,不成立,排除A、D.
当q=﹣1时,a1+a2+a3+a4=0,ln(a1+a2+a3)>0,等式不成立,所以q≠﹣1;
当q<﹣1时,a1+a2+a3+a4<0,ln(a1+a2+a3)>0,a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立,
当q∈(﹣1,0)时,a1>a3>0,a2<a4<0,并且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),能够成立,
故选:B.
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )
A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.12
【解答】解:∵Sn为等差数列{an}的前n项和,3S3=S2+S4,a1=2,
∴=a1+a1+d+4a1+d,
把a1=2,代入得d=﹣3
∴a5=2+4×(﹣3)=﹣10.
故选:B.
二.填空题(共4小题)
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为 9 .
【解答】解:由题意得acsin120°=asin60°+csin60°,
即ac=a+c,
得+=1,
得4a+c=(4a+c)(+)=++5≥2+5=4+5=9,
当且仅当=,即c=2a时,取等号,
故答案为:9.
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB= ,c= 3 .
【解答】解:∵在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
a=,b=2,A=60°,
∴由正弦定理得:,即=,
解得sinB==.
由余弦定理得:
cos60°=,
解得c=3或c=﹣1(舍),
∴sinB=,c=3.
故答案为:,3.
7.设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为 an=6n﹣3 .
【解答】解:∵{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,
∴,
解得a1=3,d=6,
∴an=a1+(n﹣1)d=3+(n﹣1)×6=6n﹣3.
∴{an}的通项公式为an=6n﹣3.
故答案为:an=6n﹣3.
8.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6= ﹣63 .
【解答】解:Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2an+1,①
当n=1时,a1=2a1+1,解得a1=﹣1,
当n≥2时,Sn﹣1=2an﹣1+1,②,
由①﹣②可得an=2an﹣2an﹣1,
∴an=2an﹣1,
∴{an}是以﹣1为首项,以2为公比的等比数列,
∴S6==﹣63,
故答案为:﹣63
三.解答题(共9小题)
9.在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣.
(Ⅰ)求∠A;
(Ⅱ)求AC边上的高.
【解答】解:(Ⅰ)∵a<b,∴A<B,即A是锐角,
∵cosB=﹣,∴sinB===,
由正弦定理得=得sinA===,
则A=.
(Ⅱ)由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB,
即64=49+c2+2×7×c×,
即c2+2c﹣15=0,
得(c﹣3)(c+5)=0,
得c=3或c=﹣5(舍),
则AC边上的高h=csinA=3×=.
10.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(﹣,﹣).
(Ⅰ)求sin(α+π)的值;
(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵角α的顶点与原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点P(﹣,﹣).
∴x=﹣,y=,r=|OP|=,
∴sin(α+π)=﹣sinα=;
(Ⅱ)由x=﹣,y=,r=|OP|=1,
得,,
又由sin(α+β)=,
得=,
则cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=,
或cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.
∴cosβ的值为或.
11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B﹣).
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值.
【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理得,得bsinA=asinB,
又bsinA=acos(B﹣).
∴asinB=acos(B﹣),即sinB=cos(B﹣)=cosBcos+sinBsin=cosB+,
∴tanB=,
又B∈(0,π),∴B=.
(Ⅱ)在△ABC中,a=2,c=3,B=,
由余弦定理得b==,由bsinA=acos(B﹣),得sinA=,
∵a<c,∴cosA=,
∴sin2A=2sinAcosA=,
cos2A=2cos2A﹣1=,
∴sin(2A﹣B)=sin2AcosB﹣cos2AsinB==.
12.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
【解答】解:(1)∵∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
∴由正弦定理得:=,即=,
∴sin∠ADB==,
∵AB<BD,∴∠ADB<∠A,
∴cos∠ADB==.
(2)∵∠ADC=90°,∴cos∠BDC=sin∠ADB=,
∵DC=2,
∴BC=
==5.
13.设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,{bn}是首项为b1,公比为q的等比数列.
(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|an﹣bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;
(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,],证明:存在d∈R,使得|an﹣bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).
【解答】解:(1)由题意可知|an﹣bn|≤1对任意n=1,2,3,4均成立,
∵a1=0,q=2,
∴,解得.即≤d≤.
证明:(2)∵an=a1+(n﹣1)d,bn=b1•qn﹣1,
若存在d∈R,使得|an﹣bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,
则|b1+(n﹣1)d﹣b1•qn﹣1|≤b1,(n=2,3,…,m+1),
即b1≤d≤,(n=2,3,…,m+1),
∵q∈(1,],∴则1<qn﹣1≤qm≤2,(n=2,3,…,m+1),
∴b1≤0,>0,
因此取d=0时,|an﹣bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,
下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值,
①当2≤n≤m时,﹣==,
当1<q≤时,有qn≤qm≤2,
从而n(qn﹣qn﹣1)﹣qn+2>0,
因此当2≤n≤m+1时,数列{}单调递增,
故数列{}的最大值为.
②设f(x)=2x(1﹣x),当x>0时,f′(x)=(ln2﹣1﹣xln2)2x<0,
∴f(x)单调递减,从而f(x)<f(0)=1,
当2≤n≤m时,=≤(1﹣)=f()<1,
因此当2≤n≤m+1时,数列{}单调递递减,
故数列{}的最小值为,
∴d的取值范围是d∈[,].
14.已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1﹣bn)an}的前n项和为2n2+n.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.
【解答】解:(Ⅰ)等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项,
可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4,
解得a4=8,
由+8+8q=28,可得q=2(舍去),
则q的值为2;
(Ⅱ)设cn=(bn+1﹣bn)an=(bn+1﹣bn)2n﹣1,
可得n=1时,c1=2+1=3,
n≥2时,可得cn=2n2+n﹣2(n﹣1)2﹣(n﹣1)=4n﹣1,
上式对n=1也成立,
则(bn+1﹣bn)an=4n﹣1,
即有bn+1﹣bn=(4n﹣1)•()n﹣1,
可得bn=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1)
=1+3•()0+7•()1+…+(4n﹣5)•()n﹣2,
bn=+3•()+7•()2+…+(4n﹣5)•()n﹣1,
相减可得bn=+4[()+()2+…+()n﹣2]﹣(4n﹣5)•()n﹣1
=+4•﹣(4n﹣5)•()n﹣1,
化简可得bn=15﹣(4n+3)•()n﹣2.
15.设{an}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*),
(i)求Tn;
(ii)证明=﹣2(n∈N*).
【解答】(Ⅰ)解:设等比数列{an}的公比为q,由a1=1,a3=a2+2,可得q2﹣q﹣2=0.
∵q>0,可得q=2.
故.
设等差数列{bn}的公差为d,由a4=b3+b5,得b1+3d=4,
由a5=b4+2b6,得3b1+13d=16,
∴b1=d=1.
故bn=n;
(Ⅱ)(i)解:由(Ⅰ),可得,
故=;
(ii)证明:∵==.
∴==﹣2.
16.等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
【解答】解:(1)∵等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
∴1×q4=4×(1×q2),
解得q=±2,
当q=2时,an=2n﹣1,
当q=﹣2时,an=(﹣2)n﹣1,
∴{an}的通项公式为,an=2n﹣1,或an=(﹣2)n﹣1.
(2)记Sn为{an}的前n项和.
当a1=1,q=﹣2时,Sn===,
由Sm=63,得Sm==63,m∈N,无解;
当a1=1,q=2时,Sn===2n﹣1,
由Sm=63,得Sm=2m﹣1=63,m∈N,
解得m=6.
17.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=﹣7,S3=﹣15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
【解答】解:(1)∵等差数列{an}中,a1=﹣7,S3=﹣15,
∴a1=﹣7,3a1+3d=﹣15,解得a1=﹣7,d=2,
∴an=﹣7+2(n﹣1)=2n﹣9;
(2)∵a1=﹣7,d=2,an=2n﹣9,
∴Sn===n2﹣8n=(n﹣4)2﹣16,
∴当n=4时,前n项的和Sn取得最小值为﹣16.