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  • 2021-05-13 发布

解三角形数列全国数学高考分类真题含答案

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解三角形、数列2018年全国高考分类真题(含答案)‎ ‎ ‎ 一.选择题(共4小题)‎ ‎1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=(  )‎ A.4 B. C. D.2‎ ‎3.已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),若a1>1,则(  )‎ A.a1<a3,a2<a4 B.a1>a3,a2<a4 C.a1<a3,a2>a4 D.a1>a3,a2>a4‎ ‎4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(  )‎ A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.12‎ ‎ ‎ 二.填空题(共4小题)‎ ‎5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为   .‎ ‎6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB=   ,c=   .‎ ‎7.设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为   .‎ ‎8.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=   .‎ ‎ ‎ 三.解答题(共9小题)‎ ‎9.在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣.‎ ‎(Ⅰ)求∠A;‎ ‎(Ⅱ)求AC边上的高.‎ ‎10.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(﹣,﹣).‎ ‎(Ⅰ)求sin(α+π)的值;‎ ‎(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.‎ ‎11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B﹣).‎ ‎(Ⅰ)求角B的大小;‎ ‎(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值.‎ ‎12.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.‎ ‎(1)求cos∠ADB;‎ ‎(2)若DC=2,求BC.‎ ‎13.设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,{bn}是首项为b1,公比为q的等比数列.‎ ‎(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|an﹣bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;‎ ‎(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,],证明:存在d∈R,使得|an﹣bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).‎ ‎14.已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1﹣bn)an}的前n项和为2n2+n.‎ ‎(Ⅰ)求q的值;‎ ‎(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.‎ ‎15.设{an}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.‎ ‎(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*),‎ ‎(i)求Tn;‎ ‎(ii)证明=﹣2(n∈N*).‎ ‎16.等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.‎ ‎17.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=﹣7,S3=﹣15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并求Sn的最小值.‎ ‎ ‎ 解三角形、数列2018年全国高考分类真题(含答案)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题(共4小题)‎ ‎1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.‎ ‎△ABC的面积为,‎ ‎∴S△ABC==,‎ ‎∴sinC==cosC,‎ ‎∵0<C<π,∴C=.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=(  )‎ A.4 B. C. D.2‎ ‎【解答】解:在△ABC中,cos=,cosC=2×=﹣,‎ BC=1,AC=5,则AB====4.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),若a1>1,则(  )‎ A.a1<a3,a2<a4 B.a1>a3,a2<a4 C.a1<a3,a2>a4 D.a1>a3,a2>a4‎ ‎【解答】解:a1,a2,a3,a4成等比数列,由等比数列的性质可知,奇数项符号相同,偶数项符号相同,‎ a1>1,设公比为q,‎ 当q>0时,a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3,a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),不成立,‎ 即:a1>a3,a2>a4,a1<a3,a2<a4,不成立,排除A、D.‎ 当q=﹣1时,a1+a2+a3+a4=0,ln(a1+a2+a3)>0,等式不成立,所以q≠﹣1;‎ 当q<﹣1时,a1+a2+a3+a4<0,ln(a1+a2+a3)>0,a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立,‎ 当q∈(﹣1,0)时,a1>a3>0,a2<a4<0,并且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),能够成立,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(  )‎ A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.12‎ ‎【解答】解:∵Sn为等差数列{an}的前n项和,3S3=S2+S4,a1=2,‎ ‎∴=a1+a1+d+4a1+d,‎ 把a1=2,代入得d=﹣3‎ ‎∴a5=2+4×(﹣3)=﹣10.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共4小题)‎ ‎5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为 9 .‎ ‎【解答】解:由题意得acsin120°=asin60°+csin60°,‎ 即ac=a+c,‎ 得+=1,‎ 得4a+c=(4a+c)(+)=++5≥2+5=4+5=9,‎ 当且仅当=,即c=2a时,取等号,‎ 故答案为:9.‎ ‎ ‎ ‎6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB=  ,c= 3 .‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.‎ a=,b=2,A=60°,‎ ‎∴由正弦定理得:,即=,‎ 解得sinB==.‎ 由余弦定理得:‎ cos60°=,‎ 解得c=3或c=﹣1(舍),‎ ‎∴sinB=,c=3.‎ 故答案为:,3.‎ ‎ ‎ ‎7.设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为 an=6n﹣3 .‎ ‎【解答】解:∵{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,‎ ‎∴,‎ 解得a1=3,d=6,‎ ‎∴an=a1+(n﹣1)d=3+(n﹣1)×6=6n﹣3.‎ ‎∴{an}的通项公式为an=6n﹣3.‎ 故答案为:an=6n﹣3.‎ ‎ ‎ ‎8.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6= ﹣63 .‎ ‎【解答】解:Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2an+1,①‎ 当n=1时,a1=2a1+1,解得a1=﹣1,‎ 当n≥2时,Sn﹣1=2an﹣1+1,②,‎ 由①﹣②可得an=2an﹣2an﹣1,‎ ‎∴an=2an﹣1,‎ ‎∴{an}是以﹣1为首项,以2为公比的等比数列,‎ ‎∴S6==﹣63,‎ 故答案为:﹣63‎ ‎ ‎ 三.解答题(共9小题)‎ ‎9.在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣.‎ ‎(Ⅰ)求∠A;‎ ‎(Ⅱ)求AC边上的高.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵a<b,∴A<B,即A是锐角,‎ ‎∵cosB=﹣,∴sinB===,‎ 由正弦定理得=得sinA===,‎ 则A=.‎ ‎(Ⅱ)由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB,‎ 即64=49+c2+2×7×c×,‎ 即c2+2c﹣15=0,‎ 得(c﹣3)(c+5)=0,‎ 得c=3或c=﹣5(舍),‎ 则AC边上的高h=csinA=3×=.‎ ‎ ‎ ‎10.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(﹣,﹣).‎ ‎(Ⅰ)求sin(α+π)的值;‎ ‎(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵角α的顶点与原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点P(﹣,﹣).‎ ‎∴x=﹣,y=,r=|OP|=,‎ ‎∴sin(α+π)=﹣sinα=;‎ ‎(Ⅱ)由x=﹣,y=,r=|OP|=1,‎ 得,,‎ 又由sin(α+β)=,‎ 得=,‎ 则cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=,‎ 或cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.‎ ‎∴cosβ的值为或.‎ ‎ ‎ ‎11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B﹣).‎ ‎(Ⅰ)求角B的大小;‎ ‎(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理得,得bsinA=asinB,‎ 又bsinA=acos(B﹣).‎ ‎∴asinB=acos(B﹣),即sinB=cos(B﹣)=cosBcos+sinBsin=cosB+,‎ ‎∴tanB=,‎ 又B∈(0,π),∴B=.‎ ‎(Ⅱ)在△ABC中,a=2,c=3,B=,‎ 由余弦定理得b==,由bsinA=acos(B﹣),得sinA=,‎ ‎∵a<c,∴cosA=,‎ ‎∴sin2A=2sinAcosA=,‎ cos2A=2cos2A﹣1=,‎ ‎∴sin(2A﹣B)=sin2AcosB﹣cos2AsinB==.‎ ‎ ‎ ‎12.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.‎ ‎(1)求cos∠ADB;‎ ‎(2)若DC=2,求BC.‎ ‎【解答】解:(1)∵∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.‎ ‎∴由正弦定理得:=,即=,‎ ‎∴sin∠ADB==,‎ ‎∵AB<BD,∴∠ADB<∠A,‎ ‎∴cos∠ADB==.‎ ‎(2)∵∠ADC=90°,∴cos∠BDC=sin∠ADB=,‎ ‎∵DC=2,‎ ‎∴BC=‎ ‎==5.‎ ‎ ‎ ‎13.设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,{bn}是首项为b1,公比为q的等比数列.‎ ‎(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|an﹣bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;‎ ‎(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,],证明:存在d∈R,使得|an﹣bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).‎ ‎【解答】解:(1)由题意可知|an﹣bn|≤1对任意n=1,2,3,4均成立,‎ ‎∵a1=0,q=2,‎ ‎∴,解得.即≤d≤.‎ 证明:(2)∵an=a1+(n﹣1)d,bn=b1•qn﹣1,‎ 若存在d∈R,使得|an﹣bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,‎ 则|b1+(n﹣1)d﹣b1•qn﹣1|≤b1,(n=2,3,…,m+1),‎ 即b1≤d≤,(n=2,3,…,m+1),‎ ‎∵q∈(1,],∴则1<qn﹣1≤qm≤2,(n=2,3,…,m+1),‎ ‎∴b1≤0,>0,‎ 因此取d=0时,|an﹣bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,‎ 下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值,‎ ‎①当2≤n≤m时,﹣==,‎ 当1<q≤时,有qn≤qm≤2,‎ 从而n(qn﹣qn﹣1)﹣qn+2>0,‎ 因此当2≤n≤m+1时,数列{}单调递增,‎ 故数列{}的最大值为.‎ ‎②设f(x)=2x(1﹣x),当x>0时,f′(x)=(ln2﹣1﹣xln2)2x<0,‎ ‎∴f(x)单调递减,从而f(x)<f(0)=1,‎ 当2≤n≤m时,=≤(1﹣)=f()<1,‎ 因此当2≤n≤m+1时,数列{}单调递递减,‎ 故数列{}的最小值为,‎ ‎∴d的取值范围是d∈[,].‎ ‎ ‎ ‎14.已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1﹣bn)an}的前n项和为2n2+n.‎ ‎(Ⅰ)求q的值;‎ ‎(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项,‎ 可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4,‎ 解得a4=8,‎ 由+8+8q=28,可得q=2(舍去),‎ 则q的值为2;‎ ‎(Ⅱ)设cn=(bn+1﹣bn)an=(bn+1﹣bn)2n﹣1,‎ 可得n=1时,c1=2+1=3,‎ n≥2时,可得cn=2n2+n﹣2(n﹣1)2﹣(n﹣1)=4n﹣1,‎ 上式对n=1也成立,‎ 则(bn+1﹣bn)an=4n﹣1,‎ 即有bn+1﹣bn=(4n﹣1)•()n﹣1,‎ 可得bn=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1)‎ ‎=1+3•()0+7•()1+…+(4n﹣5)•()n﹣2,‎ bn=+3•()+7•()2+…+(4n﹣5)•()n﹣1,‎ 相减可得bn=+4[()+()2+…+()n﹣2]﹣(4n﹣5)•()n﹣1‎ ‎=+4•﹣(4n﹣5)•()n﹣1,‎ 化简可得bn=15﹣(4n+3)•()n﹣2.‎ ‎ ‎ ‎15.设{an}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.‎ ‎(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*),‎ ‎(i)求Tn;‎ ‎(ii)证明=﹣2(n∈N*).‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:设等比数列{an}的公比为q,由a1=1,a3=a2+2,可得q2﹣q﹣2=0.‎ ‎∵q>0,可得q=2.‎ 故.‎ 设等差数列{bn}的公差为d,由a4=b3+b5,得b1+3d=4,‎ 由a5=b4+2b6,得3b1+13d=16,‎ ‎∴b1=d=1.‎ 故bn=n;‎ ‎(Ⅱ)(i)解:由(Ⅰ),可得,‎ 故=;‎ ‎(ii)证明:∵==.‎ ‎∴==﹣2.‎ ‎ ‎ ‎16.等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.‎ ‎【解答】解:(1)∵等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.‎ ‎∴1×q4=4×(1×q2),‎ 解得q=±2,‎ 当q=2时,an=2n﹣1,‎ 当q=﹣2时,an=(﹣2)n﹣1,‎ ‎∴{an}的通项公式为,an=2n﹣1,或an=(﹣2)n﹣1.‎ ‎(2)记Sn为{an}的前n项和.‎ 当a1=1,q=﹣2时,Sn===,‎ 由Sm=63,得Sm==63,m∈N,无解;‎ 当a1=1,q=2时,Sn===2n﹣1,‎ 由Sm=63,得Sm=2m﹣1=63,m∈N,‎ 解得m=6.‎ ‎ ‎ ‎17.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=﹣7,S3=﹣15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并求Sn的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)∵等差数列{an}中,a1=﹣7,S3=﹣15,‎ ‎∴a1=﹣7,3a1+3d=﹣15,解得a1=﹣7,d=2,‎ ‎∴an=﹣7+2(n﹣1)=2n﹣9;‎ ‎(2)∵a1=﹣7,d=2,an=2n﹣9,‎ ‎∴Sn===n2﹣8n=(n﹣4)2﹣16,‎ ‎∴当n=4时,前n项的和Sn取得最小值为﹣16.‎ ‎ ‎