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  • 2021-05-13 发布

辽宁省大连市高考数学一模试卷理科解析

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‎2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数z=1+2i,则=(  )‎ A.5 B.5+4i C.﹣3 D.3﹣4i ‎2.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},,则A∩B=(  )‎ A.{x|1<x<3} B.{x|﹣1<x<3}‎ C.{x|﹣1<x<0或0<x<3} D.{x|﹣1<x<0或1<x<3}‎ ‎3.设a,b均为实数,则“a>|b|”是“a3>b3”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.若点P为抛物线上的动点,F为抛物线C的焦点,则|PF|的最小值为(  )‎ A.2 B. C. D.‎ ‎5.已知数列{an}满足an+1﹣an=2,a1=﹣5,则|a1|+|a2|+…+|a6|=(  )‎ A.9 B.15 C.18 D.30‎ ‎6.在平面内的动点(x,y)满足不等式,则z=2x+y的最大值是(  )‎ A.6 B.4 C.2 D.0‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示,则其体积为(  )‎ A.4 B. C. D.‎ ‎8.将一枚硬币连续抛掷n次,若使得至少有一次正面向上的概率不小于,则n的最小值为(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎9.运行如图所示的程序框图,则输出结果为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.若方程在上有两个不相等的实数解x1,x2,则x1+x2=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知向量,,(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],则的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知定义在R上的函数f(x)=ex+mx2﹣m(m>0),当x1+x2=1时,不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,则实数x1的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,0) B. C. D.(1,+∞)‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人,每人一张,且甲乙分得的电影票连号,则共有  种不同的分法(用数字作答).‎ ‎14.函数f(x)=ex•sinx在点(0,f(0))处的切线方程是  .‎ ‎15.我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”如果此物数量在100至200之间,那么这个数  .‎ ‎16.过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A,B两点,若,则双曲线的离心率为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知点,Q(cosx,sinx),O为坐标原点,函数.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小值及此时x的值;‎ ‎(2)若A为△ABC的内角,f(A)=4,BC=3,求△ABC的周长的最大值.‎ ‎18.某手机厂商推出一次智能手机,现对500名该手机使用者进行调查,对手机进行打分,打分的频数分布表如下:‎ 女性用户 分值区间 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100)‎ 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎10‎ 男性用户 分值区间 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100)‎ 频数 ‎45‎ ‎75‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎(1)完成下列频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的方差大小(不计算具体值,给出结论即可);‎ ‎(2)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意取3名用户,求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望.‎ ‎19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP,E为棱PD中点.‎ ‎(1)求证:PD⊥平面ABE;‎ ‎(2)若F为AB中点,,试确定λ的值,使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为.‎ ‎20.已知点P是长轴长为的椭圆Q:上异于顶点的一个动点,O为坐标原点,A为椭圆的右顶点,点M为线段PA的中点,且直线PA与OM的斜率之积恒为.‎ ‎(1)求椭圆Q的方程;‎ ‎(2)设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C,D两点,线段CD的垂直平分线与x轴交于点G,点G横坐标的取值范围是,求|CD|的最小值.‎ ‎21.已知函数f(x)=(x﹣2)ex+a(x+2)2(x>0).‎ ‎(1)若f(x)是(0,+∞)的单调递增函数,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)当时,求证:函数f(x)有最小值,并求函数f(x)最小值的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.已知在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程;‎ ‎(2)若曲线C2的参数方程为(α为参数),曲线C1上点P的极角为,Q为曲线C2上的动点,求PQ的中点M到直线l距离的最大值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知a>0,b>0,函数f(x)=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1.‎ ‎(1)求证:2a+b=2;‎ ‎(2)若a+2b≥tab恒成立,求实数t的最大值.‎ ‎ ‎ ‎2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数z=1+2i,则=(  )‎ A.5 B.5+4i C.﹣3 D.3﹣4i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】由已知直接利用求解.‎ ‎【解答】解:∵z=1+2i,∴=|z|2=.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},,则A∩B=(  )‎ A.{x|1<x<3} B.{x|﹣1<x<3}‎ C.{x|﹣1<x<0或0<x<3} D.{x|﹣1<x<0或1<x<3}‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】先分别求出集合A,B,由此利用交集定义能求出A∩B.‎ ‎【解答】解:∵集合A={x|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3},‎ ‎={x|x<0或x>1},‎ ‎∴A∩B={x|﹣1<x<0或1<x<3}.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.设a,b均为实数,则“a>|b|”是“a3>b3”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.‎ ‎【解答】解:由a>|b|”能推出“a3>b3”,是充分条件,‎ 反之,不成立,比如a=1,b=﹣2,不是必要条件,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.若点P为抛物线上的动点,F为抛物线C的焦点,则|PF|的最小值为(  )‎ A.2 B. C. D.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】利用抛物线的性质直接求解即可.‎ ‎【解答】解:点P为抛物线上的动点,F为抛物线C的焦点,则|PF|的最小值为:.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.已知数列{an}满足an+1﹣an=2,a1=﹣5,则|a1|+|a2|+…+|a6|=(  )‎ A.9 B.15 C.18 D.30‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可得an,Sn,对n分类讨论即可得出.‎ ‎【解答】解:∵an+1﹣an=2,a1=﹣5,∴数列{an}是公差为2的等差数列.‎ ‎∴an=﹣5+2(n﹣1)=2n﹣7.‎ 数列{an}的前n项和Sn==n2﹣6n.‎ 令an=2n﹣7≥0,解得.‎ ‎∴n≤3时,|an|=﹣an.‎ n≥4时,|an|=an.‎ 则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2(32﹣6×3)=18.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎6.在平面内的动点(x,y)满足不等式,则z=2x+y的最大值是(  )‎ A.6 B.4 C.2 D.0‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线z=x+y的最优解,然后求解z最大值即可.‎ ‎【解答】解:根据不等式,画出可行域,‎ 由,可得x=3,y=0‎ 平移直线2x+y=0,∴当直线z=2x+y过点A(3,0)时,z最大值为6.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示,则其体积为(  )‎ A.4 B. C. D.‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥,结合三视图的数据,求出几何体的体积.‎ ‎【解答】解:由题意三视图可知,几何体是正四棱锥,‎ 底面边长为2的正方形,一条侧棱垂直正方形的一个顶点,长度为2,‎ 所以四棱锥的体积.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎8.将一枚硬币连续抛掷n次,若使得至少有一次正面向上的概率不小于,则n的最小值为(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.‎ ‎【分析】由题意,1﹣≥,即可求出n的最小值.‎ ‎【解答】解:由题意,1﹣≥,∴n≥4,‎ ‎∴n的最小值为4,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎9.运行如图所示的程序框图,则输出结果为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】由程序框图知,程序运行的功能是 用二分法求函数f(x)=x2﹣2在区间[1,2]上的零点,且精确到0.3;‎ 模拟运行过程,即可得出结果.‎ ‎【解答】解:由程序框图知,程序运行的功能是 用二分法求函数f(x)=x2﹣2在区间[1,2]上的零点,且精确到0.3;‎ 模拟如下;‎ m==时,f(1)•f()=(﹣1)×<0,‎ b=,|a﹣b|=≥d;‎ m==时,f(1)•f()=(﹣1)×(﹣)>0,‎ a=,|a﹣b|=<d;‎ 程序运行终止,输出m=.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎10.若方程在上有两个不相等的实数解x1,x2,则x1+x2=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】正弦函数的对称性.‎ ‎【分析】由题意可得2x+∈[,],根据题意可得 =,由此求得x1+x2 值.‎ ‎【解答】解:∵x∈[0,],∴2x+∈[,],‎ 方程在上有两个不相等的实数解x1,x2,‎ ‎∴=,‎ 则x1+x2=,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎11.已知向量,,(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],则的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】简单线性规划;简单线性规划的应用;平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】根据题意,由向量的坐标运算公式可得=(3m+n,m﹣3n),再由向量模的计算公式可得=,可以令t=,将m+n∈[1,2]的关系在直角坐标系表示出来,分析可得t=表示区域中任意一点与原点(0,0)的距离,进而可得t的取值范围,又由=t,分析可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,向量,,‎ ‎=(3m+n,m﹣3n),‎ 则==,‎ 令t=,则=t,‎ 而m+n∈[1,2],即1≤m+n≤2,在直角坐标系表示如图,‎ t=表示区域中任意一点与原点(0,0)的距离,‎ 分析可得:≤t≤2,‎ 又由=t,‎ 故≤≤2;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎12.已知定义在R上的函数f(x)=ex+mx2﹣m(m>0),当x1+x2=1时,不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,则实数x1的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,0) B. C. D.(1,+∞)‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.‎ ‎【分析】通过变形可知问题转化为不等式f(x1)﹣f(1﹣x1)>f(1)﹣f(1﹣1)恒成立,设g(x)=f(x)﹣f(1﹣x)并求导可知g(x)在R上单调递增,利用单调性即得结论.‎ ‎【解答】解:∵不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,‎ ‎∴不等式f(x1)﹣f(x2)>f(1)﹣f(0)恒成立,‎ 又∵x1+x2=1,‎ ‎∴不等式f(x1)﹣f(1﹣x1)>f(1)﹣f(1﹣1)恒成立,‎ 设g(x)=f(x)﹣f(1﹣x),‎ ‎∵f(x)=ex+mx2﹣m(m>0),‎ ‎∴g(x)=ex﹣e1﹣x+m(2x﹣1),‎ 则g′(x)=ex+e1﹣x+2m>0,∴g(x)在R上单调递增,‎ ‎∴不等式g(x1)>g(1)恒成立,‎ ‎∴x1>1,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人,每人一张,且甲乙分得的电影票连号,则共有 48 种不同的分法(用数字作答).‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用.‎ ‎【分析】甲乙分得的电影票连号,有4×2=8种情况,其余3人,有=6种情况,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:甲乙分得的电影票连号,有4×2=8种情况,其余3人,有=6种情况,‎ ‎∴共有8×6=48种不同的分法.‎ 故答案为48.‎ ‎ ‎ ‎14.函数f(x)=ex•sinx在点(0,f(0))处的切线方程是 y=x .‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】先求出f′(x),欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=ex•sinx,f′(x)=ex(sinx+cosx),‎ f′(0)=1,f(0)=0,‎ ‎∴函数f(x)的图象在点A(0,0)处的切线方程为 y﹣0=1×(x﹣0),‎ 即y=x.‎ 故答案为:y=x.‎ ‎ ‎ ‎15.我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”如果此物数量在100至200之间,那么这个数 128 .‎ ‎【考点】数列的应用.‎ ‎【分析】根据“三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二”找到三个数:第一个数能同时被3和5整除;第二个数能同时被3和7整除;第三个数能同时被5和7整除,将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案.‎ ‎【解答】解:我们首先需要先求出三个数:‎ 第一个数能同时被3和5整除,但除以7余1,即15;‎ 第二个数能同时被3和7整除,但除以5余1,即21;‎ 第三个数能同时被5和7整除,但除以3余1,即70;‎ 然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加,即:15×2+21×3+70×2=233.‎ 最后,再减去3、5、7最小公倍数的整数倍,可得:233﹣105×2=23.或105k+23(k为正整数).‎ 由于物数量在100至200之间,故当k=1时,105+23=128‎ 故答案为:128‎ ‎ ‎ ‎16.过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A,B两点,若,则双曲线的离心率为  .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程,设出过右焦点且与第一三象限的渐近线垂直的直线方程,与双曲线的渐近线方程联立把A,B表示出来,再由,求出a,b,c的关系,然后求双曲线的离心率.‎ ‎【解答】解:双曲线的渐近线方程为y=±x,‎ 设焦点F(c,0),与y=x垂直的直线为y=﹣(x﹣c),‎ 由可得A(,);‎ 由可得B(,﹣),‎ 再由,可得0﹣(﹣)=2(﹣0),‎ 化为a2=3b2=3(c2﹣a2),‎ 即为3c2=4a2,‎ 则e==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知点,Q(cosx,sinx),O为坐标原点,函数.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小值及此时x的值;‎ ‎(2)若A为△ABC的内角,f(A)=4,BC=3,求△ABC的周长的最大值.‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算;基本不等式在最值问题中的应用;余弦定理的应用.‎ ‎【分析】(1)利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式,然后求解最值.‎ ‎(2)利用函数的解析式求解A,然后利用余弦定理求解即可,得到bc的范围,然后利用基本不等式求解最值.‎ ‎【解答】解:(1)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴当时,f(x)取得最小值2.‎ ‎(2)∵f(A)=4,∴,‎ 又∵BC=3,∴,‎ ‎∴9=(b+c)2﹣bc.,‎ ‎∴,‎ ‎∴,当且仅当b=c取等号,‎ ‎∴三角形周长最大值为.‎ ‎ ‎ ‎18.某手机厂商推出一次智能手机,现对500名该手机使用者进行调查,对手机进行打分,打分的频数分布表如下:‎ 女性用户 分值区间 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100)‎ 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎10‎ 男性用户 分值区间 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100)‎ 频数 ‎45‎ ‎75‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎(1)完成下列频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的方差大小(不计算具体值,给出结论即可);‎ ‎(2)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意取3名用户,求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望.‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出女性用户和男性用户的频率分布直方图,由图可得女性用户的波动小,男性用户的波动大.‎ ‎(Ⅱ)运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,评分不低于80分有6人,其中评分小于90分的人数为4,从6人人任取3人,记评分小于90分的人数为X,则X取值为1,2,3,分别求出相应在的概率,由此能求出X的分布列和数学期望.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图:‎ 由图可得女性用户的波动小,男性用户的波动大.‎ ‎(Ⅱ)运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,评分不低于80分有6人,‎ 其中评分小于90分的人数为4,从6人人任取3人,‎ 记评分小于90分的人数为X,则X取值为1,2,3,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 或.‎ ‎ ‎ ‎19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP,E为棱PD中点.‎ ‎(1)求证:PD⊥平面ABE;‎ ‎(2)若F为AB中点,,试确定λ的值,使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(I)证明AB⊥平面PAD,推出AB⊥PD,AE⊥PD,AE∩AB=A,即可证明PD⊥平面ABE.‎ ‎(II) 以A为原点,以 为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系A﹣BDP,求出相关点的坐标,平面PFM的法向量,平面BFM的法向量,利用空间向量的数量积求解即可.‎ ‎【解答】解:(I)证明:∵PA⊥底面ABCD,AB⊂底面ABCD,∴PA⊥AB,‎ 又∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD,PA∩AD=A,PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,‎ ‎∴AB⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,AD=AP,E为PD中点,∴AE⊥PD,AE∩AB=A,AE⊂平面ABE,AB⊂平面ABE,∴PD⊥平面ABE.‎ ‎(II) 以A为原点,以为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系A﹣BDP,令|AB|=2,‎ 则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(0,1,1),F(1,0,0),,,,M(2λ,2λ,2﹣2λ)‎ 设平面PFM的法向量,,即,‎ 设平面BFM的法向量,,‎ 即, ,解得.‎ ‎ ‎ ‎20.已知点P是长轴长为的椭圆Q:‎ 上异于顶点的一个动点,O为坐标原点,A为椭圆的右顶点,点M为线段PA的中点,且直线PA与OM的斜率之积恒为.‎ ‎(1)求椭圆Q的方程;‎ ‎(2)设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C,D两点,线段CD的垂直平分线与x轴交于点G,点G横坐标的取值范围是,求|CD|的最小值.‎ ‎【考点】圆锥曲线的最值问题;椭圆的标准方程.‎ ‎【分析】(1)利用椭圆Q的长轴长为,求出.设P(x0,y0),通过直线PA与OM的斜率之积恒为,化简求出b,即可得到椭圆方程.‎ ‎(2)设直线l方程为y=k(x+1)(k≠0),代入有(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),利用韦达定理求出CD的垂直平分线方程,推出,利用弦长公式化简,推出|CD|的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)∵椭圆Q的长轴长为,∴.‎ 设P(x0,y0),‎ ‎∵直线PA与OM的斜率之积恒为,∴,‎ ‎∴,∴b=1,‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎(2)设直线l方程为y=k(x+1)(k≠0),代入有(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∴CD的垂直平分线方程为,‎ 令y=0,得 ‎∵,∴,∴. =,.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=(x﹣2)ex+a(x+2)2(x>0).‎ ‎(1)若f(x)是(0,+∞)的单调递增函数,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)当时,求证:函数f(x)有最小值,并求函数f(x)最小值的取值范围.‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(1)求出函数的导数f'(x)=ex+(x﹣2)ex+2ax+4a,通过f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.得到,构造函数,利用导函数的单调性以及最值求解即可.‎ ‎(2)通过[f'(x)]′=x•ex+2a>0,数码y=f'(x)在(0,+∞)上单调递增,利用零点判定定理说明存在t∈(0,1)使f'(t)=0,判断x=t,,推出.即在t∈(0,+∞)上单调递减,通过求解函数的最值,求解f(x)的最小值的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)f'(x)=ex+(x﹣2)ex+2ax+4a,‎ ‎∵函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,∴f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.‎ ‎∴ex+(x﹣2)ex+2ax+4a≥0,∴,‎ 令,,‎ ‎∴,∴.‎ ‎(2)[f'(x)]′=x•ex+2a>0,‎ ‎∴y=f'(x)在(0,+∞)上单调递增又f'(0)=4a﹣1<0,f'(1)=6a>0,‎ ‎∴存在t∈(0,1)使f'(t)=0‎ ‎∴x∈(0,t)时,f'(x)<0,x∈(t,+∞)时,f'(x)>0,‎ 当x=t时,且有f'(t)=et•(t﹣1)+2a(t+2)=0,‎ ‎∴.‎ 由(1)知在t∈(0,+∞)上单调递减,,且,‎ ‎∴t∈(0,1).‎ ‎∴,,‎ ‎∴f(1)<f(t)<f(0),﹣e<f(t)<﹣1,‎ ‎∴f(x)的最小值的取值范围是(﹣e,﹣1).‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.已知在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程;‎ ‎(2)若曲线C2的参数方程为(α为参数),曲线C1上点P的极角为 ‎,Q为曲线C2上的动点,求PQ的中点M到直线l距离的最大值.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.‎ ‎【分析】(1)曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ,可得直角坐标方程.直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t可得普通方程.‎ ‎(2),直角坐标为(2,2),,利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值.‎ ‎【解答】解:(1)曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ,‎ 可得直角坐标方程:.‎ 直线l的参数方程为(t为参数),‎ 消去参数t可得普通方程:x+2y﹣3=0.‎ ‎(2),直角坐标为(2,2),,‎ ‎∴M到l的距离≤,‎ 从而最大值为.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知a>0,b>0,函数f(x)=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1.‎ ‎(1)求证:2a+b=2;‎ ‎(2)若a+2b≥tab恒成立,求实数t的最大值.‎ ‎【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法.‎ ‎【分析】(1)法一:根据绝对值的性质求出f(x)的最小值,得到x=‎ 时取等号,证明结论即可;法二:根据f(x)的分段函数的形式,求出f(x)的最小值,证明即可;‎ ‎(2)法一,二:问题转化为≥t恒成立,根据基本不等式的性质求出的最小值,从而求出t的范围即可;法三:根据二次函数的性质判断即可.‎ ‎【解答】解:(1)法一:f(x)=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|,‎ ‎∵|x+a|+|x﹣|≥|(x+a)﹣(x﹣)|=a+且|x﹣|≥0,‎ ‎∴f(x)≥a+,当x=时取等号,即f(x)的最小值为a+,‎ ‎∴a+=1,2a+b=2;‎ 法二:∵﹣a<,∴f(x)=|x+a|+|2x﹣b|=,‎ 显然f(x)在(﹣∞,]上单调递减,f(x)在[,+∞)上单调递增,‎ ‎∴f(x)的最小值为f()=a+,‎ ‎∴a+=1,2a+b=2.‎ ‎(2)方法一:∵a+2b≥tab恒成立,∴≥t恒成立,‎ ‎=+=(+)(2a+b )•=(1+4++),‎ 当a=b=时,取得最小值,‎ ‎∴≥t,即实数t的最大值为;‎ 方法二:∵a+2b≥tab恒成立,‎ ‎∴≥t恒成立,‎ t≤=+恒成立,‎ ‎+=+≥=,‎ ‎∴≥t,即实数t的最大值为;‎ 方法三:∵a+2b≥tab恒成立,‎ ‎∴a+2(2﹣a)≥ta(2﹣a)恒成立,‎ ‎∴2ta2﹣(3+2t)a+4≥0恒成立,‎ ‎∴(3+2t)2﹣326≤0,‎ ‎∴≤t≤,实数t的最大值为.‎ ‎ ‎ ‎2017年4月15日