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- 2021-05-13 发布
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2009年北京市高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)
1.(5分)(2009•北京)设集合,则A∪B=( )
A.{x|﹣1≤x<2} B. C.{x|x<2} D.{x|1≤x<2}
【考点】并集及其运算;一元二次不等式的解法.菁优网版权所有
【分析】根据题意,分析集合B,解x2≤1,可得集合B,再求AB的并集可得答案.
【解答】解:∵,B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1},
∴A∪B={x|﹣1≤x<2},
故选A.
【点评】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法.属于基础知识、基本运算的考查.
2.(5分)(2009•北京)已知向量=(1,0),=(0,1),=k+(k∈R),=﹣,如果∥,那么( )
A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向
C.k=﹣1且c与d同向 D.k=﹣1且c与d反向
【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】根据所给的选项特点,检验k=1是否满足条件,再检验k=﹣1是否满足条件,从而选出应选的选项.
【解答】解:∵=(1,0),=(0,1),若k=1,
则=+=(1,1),=﹣=(1,﹣1),
显然,与不平行,排除A、B.
若k=﹣1,则=﹣+=(﹣1,1),=﹣=(1,﹣1),
即∥ 且与反向,排除C,
故选 D.
【点评】本题考查平行向量的坐标表示,当两个向量平行时,一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍.
3.(5分)(2009•北京)若(a,b为理数),则a+b=( )
A.33 B.29 C.23 D.19
【考点】二项式定理的应用.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】利用二项式定理的展开式将二项式展开,利用组合数公式化简展开式,列出方程求出a,b,求出a+b.
【解答】解:∵
=,
由已知,得,
∴a+b=17+12=29.
故选B.
【点评】本题考查二项式定理的展开式;要熟练掌握公式.
4.(5分)(2009•北京)为了得到函数的图象,只需把函数y=lgx的图象上所有的点( )
A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
【考点】对数函数的图像与性质.菁优网版权所有
【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简,即可选出答案.
【解答】解:∵,
∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
故选C.
【点评】本题主要考查函数图象的平移变换.属于基础知识、基本运算的考查.
5.(5分)(2009•北京)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A.8 B.24 C.48 D.120
【考点】计数原理的应用.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】本题需要分步计数,首先选择2和4排在末位时,共有A21种结果,再从余下的其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43种结果,根据由分步计数原理得到符合题意的偶数.
【解答】解:由题意知本题需要分步计数,
2和4排在末位时,共有A21=2种排法,
其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43=4×3×2=24种排法,
根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24=48(个).
故选C.
【点评】本题考查分步计数原理,是一个数字问题,这种问题是最典型的排列组合问题,经常出现限制条件,并且限制条件变化多样,是一个易错题.
6.(5分)(2009•北京)“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】充要条件.菁优网版权所有
【专题】简易逻辑.
【分析】当α=时,cos2;反之,当时,,k∈Z,或.所以“”是“”的充分而不必要条件.
【解答】解:当α=时,cos2,
反之,当时,可得⇒,k∈Z,或⇒,
“”是“”的充分而不必要条件.
故应选:A.
【点评】本题考查充分条件、必要条件、充分条件,解题时要认真审题,仔细解答.
7.(5分)(2009•北京)若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A. B.1 C. D.
【考点】直线与平面平行的性质.菁优网版权所有
【专题】计算题;作图题;压轴题.
【分析】画出图象,利用线段的关系,角的三角函数,求解即可.
【解答】解:依题意,BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离,
∠B1AB=60°,BB1=1×tan60°=,
故选:D.
【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念,属于基础知识、基本运算的考查.
8.(5分)(2009•北京)设D是正△P1P2P3及其内部的点构成的集合,点P0是△P1P2P3的中心,若集合S={P|P∈D,|PP0|≤|PPi|,i=1,2,3},则集合S表示的平面区域是( )
A.三角形区域 B.四边形区域 C.五边形区域 D.六边形区域
【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.菁优网版权所有
【专题】压轴题;数形结合.
【分析】本题考查的知识点是二元一次不等式(组)与平面区域,要求集合S={P|P∈D,|PP0|≤|PPi|,i=1,2,3},表示的平面区域的形状,我们要先根据集合中点P满足的性质,找出所表示区域的边界,进而判断出区域各边界围成的图形形状.
【解答】解:如图,A、B、C、D、E、F为各边三等分点,
若|PP0|=|PPi|
当i=1时,P点落在P1P0的垂直平分线上,又由P∈D,故P点的轨迹为ED;
当i=2时,P点落在P2P0的垂直平分线上,又由P∈D,故P点的轨迹为AF;
当i=3时,P点落在P3P0的垂直平分线上,又由P∈D,故P点的轨迹为BC;
故满足条件集合S={P|P∈D,|PP0|≤|PPi|,i=1,2,3},
则集合S表示的平面区域是六边形ABCDEF,
故选D
【点评】本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.
二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)
9.(5分)(2009•北京)若sinθ=﹣,tanθ>0,则cosθ= .
【考点】同角三角函数间的基本关系.菁优网版权所有
【分析】根据sin2θ+cos2θ=1可得答案.
【解答】解:由已知,θ在第三象限,
∴,
∴cosθ=.
故答案为:﹣.
【点评】本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.
10.(5分)(2009•北京)若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N*),则a5= 16 ;前8项的和S8= 255 .(用数字作答)
【考点】等比数列的前n项和.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】先根据a1=1,an+1=2an通过分别求出a1,a2,a3,a4,a5;通过an+1=2an可推知数列为等比数列,根据求和公式进而求得S8.
【解答】解:a1=1,a2=2a1=2,a3=2a2=4,a4=2a3=8,a5=2a4=16,
∵an+1=2an,即=2
∴数列{an}为等比数列,首项为1,公比为2.
∴,
∴故答案为:16,255.
【点评】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.属于基础知识、基本运算的考查.
11.(5分)(2009•北京)(文)若实数x,y满足则s=x+y的最大值为 9 .
【考点】简单线性规划的应用.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件的可行域,再求出可行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数s=x+y的最大值.
【解答】解:满足约束条件的可行域,如图中阴影所示,
由图易得:当x=4,y=5时,s=x+y=4+5=9为最大值.
故答案为:9.
【点评】在解决线性规划的问题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证,求出最优解.
12.(5分)(2009•北京)已知函数若f(x)=2,则x= log32 .
【考点】函数的图象与图象变化.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】要求若f(x)=2时,对应自变量x的值,我们可根据构造方程,然后根据分段函数的分段标准进行分类讨论,即可得到答案.
【解答】解:由⇒x=log32,
无解,
故答案:log32.
【点评】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值.属于基础知识、基本运算的考查.分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者.
13.(5分)(2009•北京)椭圆+=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|= 2 ,∠F1PF2的大小为 120° .
【考点】椭圆的简单性质.菁优网版权所有
【专题】计算题;压轴题.
【分析】第一问用定义法,由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,易得|PF2|;第二问如图所示:角所在三角形三边已求得,用余弦定理求解.
【解答】解:∵|PF1|+|PF2|=2a=6,
∴|PF2|=6﹣|PF1|=2.
在△F1PF2中,
cos∠F1PF2
=
==﹣,
∴∠F1PF2=120°.
故答案为:2;120°
【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题,这类题是常考类型,难度不大,考查灵活,特别是对曲线的定义和性质考查的很到位.
14.(5分)(2009•北京)设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k﹣1∉A且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有 6 个.
【考点】元素与集合关系的判断.菁优网版权所有
【专题】新定义;集合.
【分析】列举几个特殊的集合体会孤立元的意义是解本题的关键.
【解答】解:依题意可知,没有与之相邻的元素是“孤立元”,因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素.
因此,符合题意的集合是:{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共6个.
故答案为:6.
【点评】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.列举时要有一定的规律,可以从一端开始,做到不重不漏.
三、解答题(共6小题,满分80分)
15.(12分)(2009•北京)已知函数f(x)=2sin(π﹣x)cosx.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【考点】正弦函数的图象;三角函数中的恒等变换应用.菁优网版权所有
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】(1)先将函数f(x)化简为f(x)=sin2x,再由T=可得答案.
(2)先由x的范围确定2x的范围,再根据三角函数的单调性可求出最值.
【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=2sin(π﹣x)cosx=2sinxcosx=sin2x,
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(Ⅱ)由﹣≤2x≤π,
∴﹣≤sin2x≤1,
∴f(x)在区间上的最大值为1,最小值为﹣.
【点评】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识,主要考查基本运算能力.
16.(14分)(2009•北京)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.
(1)求证:平面AEC⊥平面PDB;
(2)当PD=AB,且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.
【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.菁优网版权所有
【专题】计算题;证明题.
【分析】(Ⅰ)欲证平面AEC⊥平面PDB,根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直,而根据题意可得AC⊥平面PDB;
(Ⅱ)设AC∩BD=O,连接OE,根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角,在Rt△AOE中求出此角即可.
【解答】(Ⅰ)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,
∴平面AEC⊥平面PDB.
(Ⅱ)解:设AC∩BD=O,连接OE,
由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,
∴O,E分别为DB、PB的中点,
∴OE∥PD,,
又∵PD⊥底面ABCD,
∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,
在Rt△AOE中,,
∴∠AEO=45°,即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及直线与平面所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
17.(13分)(2009•北京)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.
(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.
【考点】离散型随机变量及其分布列;相互独立事件的概率乘法公式.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】(1)由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的,所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率,根据公式得到结果.
(2)由题意知变量的可能取值,根据所给的条件可知本题符合独立重复试验,根据独立重复试验公式得到变量的分布列,算出期望.
【解答】解:(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,
∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,
∴事件A的概率为
(Ⅱ)由题意可得ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min)
事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0,1,2,3,4),
∴,
∴即ξ的分布列是
ξ
0
2
4
6
8
P
∴ξ的期望是
【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指,两事件发生的概率互不影响,而对立事件是指同一次试验中,不会同时发生的事件,遇到求用至少来表述的事件的概率时,往往先求它的对立事件的概率.
18.(14分)(2009•北京)设函数f(x)=x3﹣3ax+b(a≠0).
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有
【分析】(1)已知函数的解析式f(x)=x3﹣3ax+b,把点(2,f(2))代入,再根据f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求出a,b的值;
(2)由题意先对函数y进行求导,解出极值点,然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间;
【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=3x2﹣3a,
∵曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,
∴
(Ⅱ)∵f′(x)=3(x2﹣a)(a≠0),
当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,此时函数f(x)没有极值点.
当a>0时,由,
当时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
当时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
当时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
∴此时是f(x)的极大值点,是f(x)的极小值点.
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.
19.(14分)(2009•北京)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,右准线方程为.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.
【考点】双曲线的标准方程;直线与圆锥曲线的关系.菁优网版权所有
【专题】计算题;压轴题.
【分析】(Ⅰ)由离心率和准线方程求的a和c,再根据b2=c2﹣a2求得b,进而可得双曲线的方程.
(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),直线方程与双曲线方程联立根据韦达定理表示出x0和y0,把点M代入圆的方程气的m.
【解答】解:(Ⅰ)由题意,得,解得,
∴b2=c2﹣a2=2,
∴所求双曲线C的方程为.
(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),
由得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0(判别式△>0),
∴=m,y0=x0+m=2m,
∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,
∴m2+(2m)2=5,∴m=±1.
【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力
20.(13分)(2009•北京)设数列{an}的通项公式为an=pn+q(n∈N*,P>0).数列{bn}定义如下:对于正整数m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值.
(Ⅰ)若,求b3;
(Ⅱ)若p=2,q=﹣1,求数列{bm}的前2m项和公式;
(Ⅲ)是否存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*)?如果存在,求p和q的取值范围;如果不存在,请说明理由.
【考点】等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.菁优网版权所有
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】(Ⅰ)先得出an,再解关于n的不等式,利用正整数的条件得出具体结果;
(Ⅱ)先得出an,再解关于n的不等式,根据{bn}的定义求得bn再求得S2m;
(Ⅲ)根据bm的定义转化关于m的不等式恒成立问题.
【解答】解:(Ⅰ)由题意,得,
解,得.
∴成立的所有n中的最小正整数为7,即b3=7.
(Ⅱ)由题意,得an=2n﹣1,
对于正整数m,由an≥m,得.
根据bm的定义可知
当m=2k﹣1时,bm=k(k∈N*);
当m=2k时,bm=k+1(k∈N*).
∴b1+b2+…+b2m=(b1+b3+…+b2m﹣1)+(b2+b4+…+b2m)=(1+2+3+…+m)+[2+3+4+…+(m+1)]=.
(Ⅲ)假设存在p和q满足条件,由不等式pn+q≥m及p>0得.
∵bm=3m+2(m∈N*),根据bm的定义可知,对于任意的正整数m都有,
即﹣2p﹣q≤(3p﹣1)m<﹣p﹣q对任意的正整数m都成立.
当3p﹣1>0(或3p﹣1<0)时,得(或),这与上述结论矛盾!
当3p﹣1=0,即时,得,
解得.(经检验符合题意)
∴存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*);p和q的取值范围分别是,.
【点评】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题.