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  • 2021-05-13 发布

广东高考数学理科试卷含答案

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2008年普通高等学校招生全国统一考试 ‎(广东卷)‎ 数学(理科) ‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知,复数的实部为,虚部为1,则的取值范围是( C )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】,而,即, ‎ ‎2.记等差数列的前项和为,若,,则( D )‎ A.16 B.‎24 ‎ C.36 D.48‎ ‎【解析】,,故 一年级 二年级 三年级 女生 ‎373‎ 男生 ‎377‎ ‎370‎ ‎3.某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表1.已知在全校 学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( C )‎ A.24 B.‎18 ‎ C.16 D.12 表1‎ ‎【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人,那么三年级的学生的人数应该是,即总体中各个年级的人数比例为,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 ‎4.若变量满足则的最大值是( C )‎ A.90 B.‎80 ‎ C.70 D.40‎ ‎【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C.‎ ‎5.将正三棱柱截去三个角(如图1所示分别是三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( A )‎ E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图1‎ 图2‎ B E A.‎ B E B.‎ B E C.‎ B E D.‎ ‎【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.‎ ‎6.已知命题所有有理数都是实数,命题正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( D )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】不难判断命题为真命题,命题为假命题,从而上述叙述中只有 为真命题 ‎7.设,若函数,有大于零的极值点,则( B )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】,若函数在上有大于零的极值点,即有正根。当有成立时,显然有,此时,由我们马上就能得到参数的范围为.‎ ‎8.在平行四边形中,与交于点是线段的中点,的延长线与交于点.若,,则( B )‎ A. B. C. D.‎ 开始 n整除a?‎ 是 输入 结束 输出 图3‎ 否 ‎【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法则易得答案B.‎ 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.‎ ‎(一)必做题(9~12题)‎ ‎9.阅读图3的程序框图,若输入,,则输出 , ‎ ‎(注:框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”)‎ ‎【解析】要结束程序的运算,就必须通过整除的条件运算,‎ 而同时也整除,那么的最小值应为和的最小公倍 数12,即此时有。‎ ‎10.已知(是正整数)的展开式中,的系数小于120,‎ 则 .‎ ‎【解析】按二项式定理展开的通项为,‎ 我们知道的系数为,即,也即,‎ 而是正整数,故只能取1。‎ ‎11.经过圆的圆心,且与直线垂直的直线 方程是 .‎ ‎【解析】易知点C为,而直线与垂直,我们设待求的 直线的方程为,将点C的坐标代入马上就能求出参数的 值为,故待求的直线的方程为。‎ ‎12.已知函数,,则的最小正周期是 .‎ ‎【解析】,此时可得函数的最小正周期。‎ 二、选做题(13—15题,考生只能从中选做两题)‎ ‎13.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线的极坐标方程分别为,,则曲线与交点的极坐标为 .‎ ‎【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。‎ ‎14.(不等式选讲选做题)已知,若关于的方程有实根,则的取值范围是 .‎ ‎【解析】方程即,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数的取值范围为 ‎15.(几何证明选讲选做题)已知是圆的切线,切点为,.是圆的直径,与圆交于点,,则圆的半径 .‎ ‎【解析】依题意,我们知道,‎ 由相似三角形的性质我们有,‎ 即。‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须 写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ 已知函数,的最大值是1,其图像经过点.‎ ‎(1)求的解析式;(2)已知,且,,求的值.‎ ‎【解析】(1)依题意有,则,‎ 将点代入得,‎ 而,,,‎ 故;‎ ‎(2)依题意有,而,‎ ‎,‎ ‎。‎ ‎17.(本小题满分13分)‎ 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为.‎ ‎(1)求的分布列;(2)求1件产品的平均利润(即的数学期望);‎ ‎(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为,一等品率提高为.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?‎ ‎【解析】的所有可能取值有6,2,1,-2;,‎ ‎,‎ 故的分布列为:‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-2‎ ‎0.63‎ ‎0.25‎ ‎0.1‎ ‎0.02‎ ‎(2)‎ ‎(3)设技术革新后的三等品率为,则此时1件产品的平均利润为 依题意,,即,解得 所以三等品率最多为 ‎18.(本小题满分14分)‎ 设,椭圆方程为,抛物线方程为.如图4所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点.‎ ‎(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;‎ ‎(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).‎ ‎【解析】(1)由得,‎ A y x O B G F F1‎ 图4‎ 当得,‎ G点的坐标为,,,‎ 过点G的切线方程为即,‎ 令得,点的坐标为,‎ 由椭圆方程得点的坐标为,‎ 即,即椭圆和抛物线的方程分别为和;‎ ‎(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,‎ 以为直角的只有一个,‎ 同理 以为直角的只有一个。‎ 若以为直角,设点坐标为,、两点的坐标分别为和, ‎ ‎。‎ 关于的二次方程有一大于零的解,有两解,即以为直角的有两个,‎ 因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 设,函数,,,试讨论函数的单调性.‎ ‎【解析】 ‎ 对于,‎ 当时,函数在上是增函数;‎ 当时,函数在上是减函数,在上是增函数;‎ 对于,‎ 当时,函数在上是减函数;‎ 当时,函数在上是减函数,在上是增函数。‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ F C P G E A B 图5‎ D 如图5所示,四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形,其中是圆的直径,,,垂直底面,,分别是上的点,且,过点作的平行线交于.‎ ‎(1)求与平面所成角的正弦值;‎ ‎(2)证明:是直角三角形;‎ ‎(3)当时,求的面积.‎ ‎【解析】(1)在中,,‎ 而PD垂直底面ABCD,‎ ‎,‎ 在中,,即为以为直角的直角三角形。‎ 设点到面的距离为,‎ 由有,‎ 即 ‎ ‎ ‎ ;‎ ‎(2),而,即,‎ ‎,‎ ‎,是直角三角形;‎ ‎(3)时,,‎ 即,‎ 的面积 ‎21.(本小题满分12分)‎ 设为实数,是方程的两个实根,数列满足,,(…).‎ ‎(1)证明:,;‎ ‎(2)求数列的通项公式;‎ ‎(3)若,,求的前项和.‎ ‎【解析】(1)由求根公式,不妨设,得 ‎,‎ ‎(2)设,则,‎ 由得,‎ 消去,得,是方程的根,‎ 由题意可知,‎ ‎①当时,此时方程组的解记为 即、分别是公比为、的等比数列,‎ 由等比数列性质可得,,‎ 两式相减,得 ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 即,‎ ‎②当时,即方程有重根,,‎ 即,得,不妨设,‎ 由①可知 ‎,,‎ 即,等式两边同时除以,得,即 数列是以1为公差的等差数列,‎ ‎,‎ 综上所述,‎ ‎(3)把,代入,得,解得