广东高考数学理科试卷含答案 9页

2008年普通高等学校招生全国统一考试 ‎（广东卷）‎ 数学(理科) ‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】，而，即， ‎ ‎2．记等差数列的前项和为，若，，则（ D ）‎ A．16 B．‎24 ‎ C．36 D．48‎ ‎【解析】，，故 一年级 二年级 三年级 女生 ‎373‎ 男生 ‎377‎ ‎370‎ ‎3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）‎ A．24 B．‎18 ‎ C．16 D．12 表1‎ ‎【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 ‎4．若变量满足则的最大值是（ C ）‎ A．90 B．‎80 ‎ C．70 D．40‎ ‎【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C.‎ ‎5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）‎ E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图1‎ 图2‎ B E A．‎ B E B．‎ B E C．‎ B E D．‎ ‎【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.‎ ‎6．已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有 为真命题 ‎7．设，若函数，有大于零的极值点，则（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为.‎ ‎8．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（ B ）‎ A． B． C． D．‎ 开始 n整除a?‎ 是 输入 结束 输出 图3‎ 否 ‎【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法则易得答案B.‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎（一）必做题（9~12题）‎ ‎9．阅读图3的程序框图，若输入，，则输出 ， ‎ ‎（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）‎ ‎【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，‎ 而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍 数12，即此时有。‎ ‎10．已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，‎ 则 ．‎ ‎【解析】按二项式定理展开的通项为，‎ 我们知道的系数为，即，也即，‎ 而是正整数，故只能取1。‎ ‎11．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线 方程是 ．‎ ‎【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的 直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的 值为，故待求的直线的方程为。‎ ‎12．已知函数，，则的最小正周期是 ．‎ ‎【解析】,此时可得函数的最小正周期。‎ 二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）‎ ‎13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为 ．‎ ‎【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。‎ ‎14．（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ．‎ ‎【解析】方程即,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数的取值范围为 ‎15．（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径 ．‎ ‎【解析】依题意，我们知道,‎ 由相似三角形的性质我们有,‎ 即。‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须 写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 已知函数，的最大值是1，其图像经过点．‎ ‎（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．‎ ‎【解析】（1）依题意有，则，‎ 将点代入得，‎ 而，，，‎ 故；‎ ‎（2）依题意有，而，‎ ‎，‎ ‎。‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．‎ ‎（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；‎ ‎（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？‎ ‎【解析】的所有可能取值有6，2，1，-2；，‎ ‎，‎ 故的分布列为：‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-2‎ ‎0.63‎ ‎0.25‎ ‎0.1‎ ‎0.02‎ ‎（2）‎ ‎（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为 依题意，，即，解得 所以三等品率最多为 ‎18．（本小题满分14分）‎ 设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．‎ ‎（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；‎ ‎（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．‎ ‎【解析】（1）由得，‎ A y x O B G F F1‎ 图4‎ 当得，‎ G点的坐标为，，，‎ 过点G的切线方程为即，‎ 令得，点的坐标为，‎ 由椭圆方程得点的坐标为，‎ 即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；‎ ‎（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,‎ 以为直角的只有一个，‎ 同理 以为直角的只有一个。‎ 若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， ‎ ‎。‎ 关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，‎ 因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设，函数，，，试讨论函数的单调性．‎ ‎【解析】 ‎ 对于，‎ 当时，函数在上是增函数；‎ 当时，函数在上是减函数，在上是增函数；‎ 对于，‎ 当时，函数在上是减函数；‎ 当时，函数在上是减函数，在上是增函数。‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ F C P G E A B 图5‎ D 如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．‎ ‎（1）求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）证明：是直角三角形；‎ ‎（3）当时，求的面积．‎ ‎【解析】（1）在中，，‎ 而PD垂直底面ABCD，‎ ‎,‎ 在中，,即为以为直角的直角三角形。‎ 设点到面的距离为,‎ 由有,‎ 即 ‎ ‎ ‎ ;‎ ‎(2),而,即,‎ ‎，‎ ‎,是直角三角形；‎ ‎（3）时,,‎ 即,‎ 的面积 ‎21．（本小题满分12分）‎ 设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．‎ ‎（1）证明：，；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）若，，求的前项和．‎ ‎【解析】（1）由求根公式，不妨设，得 ‎，‎ ‎（2）设，则，‎ 由得，‎ 消去，得，是方程的根，‎ 由题意可知，‎ ‎①当时，此时方程组的解记为 即、分别是公比为、的等比数列，‎ 由等比数列性质可得,,‎ 两式相减，得 ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎②当时，即方程有重根，，‎ 即，得，不妨设，‎ 由①可知 ‎，，‎ 即，等式两边同时除以，得，即 数列是以1为公差的等差数列，‎ ‎,‎ 综上所述，‎ ‎（3）把，代入，得，解得