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  • 2021-05-13 发布

高考数列经典题型全面解析

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高中数学:《递推数列》经典题型全面解析 类型1 ‎ 解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。‎ 例:已知数列满足,,求。‎ 解:由条件知:‎ 分别令,代入上式得个等式累加之,即 所以 ‎,‎ 类型2 ‎ 解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。‎ 例:已知数列满足,,求。‎ 解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即 又,‎ 例:已知, ,求。‎ ‎ ‎ ‎。‎ 类型3 (其中p,q均为常数,)。‎ 解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。‎ 例:已知数列中,,,求.‎ 解:设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令,则,且 ‎.所以是以为首项,2为公比的等比数列,则 ‎,所以.‎ 变式:递推式:。解法:只需构造数列,消去带来的差异.‎ 类型4 (其中p,q均为常数,)。 (,其中p,q, r均为常数) 。‎ 解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再待定系数法解决。‎ 例:已知数列中,,,求。‎ 解:在两边乘以得:‎ 令,则,解之得:所以 类型5 递推公式为(其中p,q均为常数)。‎ 解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为其中s,t满足 解法二(特征根法):对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。‎ 解法一(待定系数——迭加法):数列:, ,求数列的通项公式。由,得 ‎,且。‎ 则数列是以为首项,为公比的等比数列,于是 ‎。‎ 把代入,得,,‎ ‎,‎ ‎。把以上各式相加,得 ‎。‎ ‎。‎ 解法二(特征根法):数列:, 的特征方程是:。‎ ‎,。又由,于是 故 例:已知数列中,,,,求。‎ 解:由可转化为 即或 这里不妨选用(当然也可选用,大家可以试一试),则 是以首项为,公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法,分别令,代入上式得个等式累加之,即 又,所以 ‎。‎ 类型6 递推公式为与的关系式。(或)‎ 解法:这种类型一般利用与 消去 或与消去 进行求解。‎ 例:已知数列前n项和.(1)求与的关系;(2)求通项公 式.‎ 解:(1)由得:于是 所以.‎ ‎(2)应用类型4((其中p,q均为常数,))‎ 的方法,上式两边同乘以得:由 ‎.于是数列是以2为首项,2为公差的等差数列,所以 类型7 ‎ 解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令 ‎,与已知递推式比较,解出,从而转化为是公比为的等比数列。‎ 例:设数列:,求.‎ 解:设,将代入递推式,得 ‎…(1)则,又,故 代入(1)得 说明:(1)若为的二次式,则可设 ‎;(2)本题也可由 ‎ ,()两式相减得转化为 求之.‎ ‎【例】、已知数列满足,,则通项公式 an=3^(n-1)+a(n-1) ‎ ‎--->an-a(n-1)=3^(n-1) ‎ 同样a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2) ‎ ‎……a(n-2(-a(n-3)=3^(n-3) ‎ ‎…………………… ‎ ‎……a3-a2=3^2 ‎ ‎……a2-a1=3^1 ‎ 以上的n个等式的两边相加得到 ‎ An-a1=3+3^2+……+3^(n-1)=3(1-3^n-1)/(1-3)=(3^n-1)/2‎