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  • 2021-05-13 发布

高考数学理二轮专练四中档大题目四

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中档大题(四)‎ ‎1.(2013·高考陕西卷)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:‎ 组别 ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E 人数 ‎ 50 ‎ ‎100 ‎ ‎150 ‎ ‎150 ‎ ‎50‎ ‎ (1)为了调查评委对7位歌手的支持情况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组抽取了6人,请将其余各组抽取的人数填入下表. ‎ 组别 ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E 人数 ‎ ‎50 ‎ ‎100 ‎ ‎150 ‎ ‎150 ‎ ‎50‎ 抽取人数 ‎ 6 ‎ ‎ (2)在(1)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率. ‎ ‎2.(2013·高考课标全国卷Ⅱ)‎ 如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,D ,E分别是AB,BB1的中点.‎ ‎(1)证明:BC1∥平面A1CD;‎ ‎(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥CA1DE的体积.‎ ‎3.(2013·河北省普通高中高三教学质量检测)已知正项数列{an},{bn}满足a1=3,a2=6,{bn}是等差数列,且对任意正整数n,都有bn,,bn+1成等比数列.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设Sn=++…+,试比较2Sn与2-的大小.‎ ‎4.(2013·湖北省武汉市高中毕业生调研测试)如图,已知正方形ABCD的边长为2,AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿对角线BD折起,得到三棱锥ABCD.‎ ‎(1)求证:平面AOC⊥平面BCD;‎ ‎(2)若三棱锥ABCD的体积为,且∠AOC是钝角,求AC的长.‎ ‎5.(2013·高考福建卷)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;‎ ‎(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?‎ 附:K2= P(K2≥k)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎6.(2013·高考福建卷)如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=2,点M在线段PQ上.‎ ‎(1)若OM=,求PM的长;‎ ‎(2)若点N在线段MQ上,且∠MON=30°,问:当∠POM取何值时,△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.‎ 答案:‎ ‎1.【解】(1)由题设知,分层抽样的抽取比例为6%,所以各组抽取的人数如下表:‎ 组别 A B C D E 人数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ 抽取人数 ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎(2)记从A组抽到的3位评委分别为a1,a2,a3,其中a1,a2支持1号歌手;从B组抽到的6位评委分别为b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中b1,b2支持1号歌手,从{a1,a2,a3}和{b1,b2,b3,b4,b5,b6}中各抽取1人的所有结果如图:‎ 由树状图知所有结果共18种,其中2人都支持1号歌手的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2共4种,故所求概率P==.‎ ‎2.【解】‎ ‎(1)证明:连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.‎ 又D是AB的中点,连接DF,则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱,‎ 所以AA1⊥CD.‎ 由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.‎ 又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.‎ 由AA1=AC=CB=2,AB=2得∠ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,‎ 故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.‎ 所以V三棱锥CA1DE=××××=1.‎ ‎3.【解】(1)∵对任意正整数n,都有bn,,bn+1成等比数列,且{an},{bn}都为正项数列,‎ ‎∴an=bnbn+1(n∈N*).可得a1=b1b2=3,a2=b2b3=6,‎ 又{bn}是等差数列,∴b1+b3=2b2,解得b1=,b2=.‎ ‎∴bn=(n+1)(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)可得an=bnbn+1=,‎ 则==2(-),‎ ‎∴Sn=2[(-)+(-)+…+(-)]‎ ‎=1-,∴2Sn=2-,又2-=2-,‎ ‎∴2Sn-(2-)=-=.‎ ‎∴当n=1,2时,2Sn<2-;当n≥3时,2Sn>2-.‎ ‎4.【解】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AO,BO⊥CO.‎ 折起后仍有BD⊥AO,BD⊥CO,AO∩CO=O,‎ ‎∴BD⊥平面AOC.‎ ‎∵BD⊂平面BCD,‎ ‎∴平面AOC⊥平面BCD.‎ ‎(2)由(1)知BD⊥平面AOC,‎ ‎∴VABCD=S△AOC·BD,又VABCD=,‎ ‎∴×OA·OC·sin∠AOC·BD=,‎ 即××××sin∠AOC×2=,‎ ‎∴sin∠AOC=,‎ ‎∵∠AOC是钝角,∴∠AOC=120°.‎ 在△AOC中,由余弦定理,得 AC2=OA2+OC2-2·OA·OC·cos∠AOC ‎=()2+()2-2×××cos 120°=6,‎ ‎∴AC=.‎ ‎5.【解】(1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名.所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有60×0.05=3(人),记为A1,A2,A3;25周岁以下组工人有40×0.05=2(人),记为B1,B2.‎ 从中随机抽取2名工人,所有的可能结果共有10种,它们是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).‎ 其中,至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率P=.‎ ‎(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375=15(人),据此可得2×2列联表如下:‎ 生产能手 非生产能手 合计 ‎25周岁以上组 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ ‎25周岁以下组 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 所以得K2= ‎==≈1.79.‎ 因为1.79<2.706,‎ 所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.‎ ‎6.【解】(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=,OP=2,由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OP·MP·cos 45°,得MP2-4MP+3=0,‎ 解得MP=1或MP=3.‎ ‎(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,‎ 在△OMP中,由正弦定理,得=,‎ 所以OM=,‎ 同理ON=.‎ 故S△OMN=·OM·ON·sin∠MON ‎=× ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎=.‎ 因为0°≤α≤60°,30°≤2α+30°≤150°,所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,此时△OMN的面积取到最小值,即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4.‎