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  • 2021-05-13 发布

高考数学复习精品教学案专题12概率与统计学生版

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专题十二 概率与统计 ‎(一)知识梳理 ‎1.分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事情,共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.‎ ‎2.分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,……,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.‎ ‎3.两个原理的区别 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.‎ ‎4.排列与排列数公式 ‎(1)排列与排列数 ‎(2)排列数公式 A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= .‎ ‎(3)排列数的性质 ‎①A=n!; ②0!=1.‎ ‎5.组合与组合数公式 ‎(1)组合与组合数 ‎(2)组合数公式 C= = = .‎ ‎(3)组合数的性质 ‎①C=1; ②C=; ③C+C=C.‎ ‎6.排列与组合问题的识别方法 识别方法 排列 若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,即排列问题与选取元素顺序有关 组合 若交换某两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,即组合问题与选取元素顺序无关 ‎7.二项式定理 ‎(1)定理:‎ ‎(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn(n∈N*).‎ ‎(2)通项:‎ 第k+1项为:Tk+1=Can-kbk.‎ ‎(3)二项式系数:‎ 二项展开式中各项的二项式系数为:C(k=0,1,2,…,n).‎ ‎8.二项式系数的性质 ‎9.概率与频率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.‎ ‎(2)对于给定的随机事件A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定,我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小,并把这个常数称为随机事件A的概率,记作P(A).‎ ‎10.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含 关系 如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A ‎(或A⊆B)‎ 相等 关系 若B⊇A且A⊇B,那么称事件A与事件B相等 A=B 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B ‎(或A+B)‎ 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B ‎(或AB)‎ 互斥 事件 若A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B互斥 A∩B=∅‎ 对立 事件 若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B=∅;‎ P(A∪B)=P(A)+P(B)=1‎ ‎11.理解事件中常见词语的含义:‎ ‎(1)A,B中至少有一个发生的事件为;‎ ‎(2)A,B都发生的事件为AB;‎ ‎(3)A,B都不发生的事件为;‎ ‎(4)A,B恰有一个发生的事件为A∪B;‎ ‎(5)A,B至多一个发生的事件为A∪B∪.‎ ‎12.概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率:P(E)=1.‎ ‎(3)不可能事件的概率:P(F)=0.‎ ‎(4)概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).‎ ‎(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=1-P(B).‎ ‎13.互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.‎ ‎14.基本事件的特点 ‎(1)任意两个基本事件是互斥的.‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.‎ ‎15.古典概型 ‎(1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.‎ ‎①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.‎ ‎②每个基本事件出现的可能性相等.‎ ‎(2)古典概型的概率公式:P(A)= .‎ ‎16.几何概型 ‎(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.‎ ‎(2)几何概型的概率公式:P(A)= .‎ ‎17.条件概率及其性质 ‎(1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号P(B|A)来表示,其公式为P(B|A)==.‎ ‎(2)条件概率具有的性质:‎ ‎①0≤P(B|A)≤1;‎ ‎②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).‎ ‎18.相互独立事件 ‎(1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A、B是相互独立事件.‎ ‎(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).‎ ‎(3)若A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.‎ ‎(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.‎ ‎19.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示.所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.‎ ‎20.离散型随机变量的分布列及其性质 ‎(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 称为离散型随机变量X的概率分布列.‎ ‎(2)离散型随机变量的分布列的性质:‎ ‎①pi≥0(i=1,2,…,n); ②pi=1.‎ ‎21.常见离散型随机变量的分布列 ‎(1)两点分布:‎ 若随机变量X服从两点分布,则其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎1-p p 其中p=P(X=1)称为成功概率.‎ ‎(2)超几何分布 在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称分布列为超几何分布列.‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m P ‎…‎ ‎(3)二项分布 ‎①独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的.‎ ‎②在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记为X~B(n,p),并称p为成功概率.‎ ‎22.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎<1>均值:称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.‎ ‎<2>方差:称D(X)= (xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差.‎ ‎<3>均值与方差的性质 (a,b为常数).‎ ‎<4>两点分布与二项分布的均值、方差 X X服从两点分布 X~B(n,p)‎ E(X)‎ p(p为成功概率)‎ np D(X)‎ p(1-p)‎ np(1-p)‎ ‎23.正态分布:若随机变量的概率密度函数可以表示为,则称服从正态分布,记为,其中.‎ ‎24.正态曲线的特点 ‎(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;‎ ‎(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;‎ ‎(3)曲线在x=μ处达到峰值;‎ ‎(4)曲线与x轴之间的面积为1;‎ ‎(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;‎ ‎(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.‎ ‎(7)正态分布的三个常用数据(不需记忆)‎ ‎① P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6;‎ ‎② P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4;‎ ‎③ P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4.‎ ‎25.简单随机抽样 ‎(1)定义:一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等,就称这样的抽样方法为简单随机抽样.‎ ‎(2)常用方法:抽签法和随机数表法.‎ ‎26.系统抽样 ‎(1)步骤:①先将总体的N个个体编号;‎ ‎②根据样本容量n,当是整数时,取分段间隔k=;‎ ‎③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k);‎ ‎④按照一定的规则抽取样本.‎ ‎(2)适用范围:适用于总体中的个体数较多时.‎ ‎27.分层抽样 ‎(1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.‎ ‎(2)适用范围:适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时.‎ ‎28.三种抽样方法的比较 类别 各自特点 相互联系 适用范围 共同点 简单随机抽样 从总体中 逐个抽取 最基本的抽样方法 总体中的个体数较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 系统 抽样 将总体平均分成几部分,按事先确定的规则分别在各部分中抽取 在起始部分抽样时,采用简单随机抽样 总体中的个体数较多 分层 抽样 将总体分成几层,按各层个体 数之比抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 ‎29.作频率分布直方图的步骤 ‎(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).‎ ‎(2)决定组距与组数.‎ ‎(3)将数据分组.‎ ‎(4)列频率分布表.‎ ‎(5)画频率分布直方图.‎ ‎30.频率分布折线图和总体密度曲线 ‎(1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.‎ ‎(2)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.‎ ‎31.茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图,茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.‎ ‎32.样本的数字特征 ‎(1)众数:一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数.‎ ‎(2)中位数:把n个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数.‎ ‎(3)平均数:把称为a1,a2,…,an这n个数的平均数.‎ ‎(4)标准差与方差:设一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为,则这组数据 标准差为s= 方差为s2=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]‎ ‎33.变量间的相关关系 ‎(1)常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系,另一类是相关关系;与函数关系不同,相关关系是一种非确定性关系.‎ ‎(2)从散点图上看,点分布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系称为正相关,点分布在左上角到右下角的区域内,两个变量的相关关系为负相关.‎ ‎34.两个变量的线性相关 ‎(1)从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线.‎ ‎(2)回归直线方程为,其中 ‎ ‎(3)通过求Q= (yi-bxi-a)2的最小值而得出回归直线的方法,即求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法.‎ ‎(4)相关系数:‎ 当r>0时,表明两个变量正相关;‎ 当r<0时,表明两个变量负相关.‎ r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系,通常|r|大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.‎ ‎35.独立性检验 假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为:‎ y1‎ y2‎ 总计 x1‎ a b a+b x2‎ c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d K2=(其中n=a+b+c+d为样本容量).‎ ‎(二)考点剖析 考点一:二项式的多项展开问题 例1:(1)两项展开之积] (1+2x)3(1-x)4展开式中x项的系数为 .‎ ‎ (2)三项展开问题] (x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为 .‎ 考点释疑:(1)(a+b)m(c+d)n的多项展开问题分别用通项公式之积进行化简,对应指数后,讨论r1,r2的取值.‎ ‎(2)(a+b+c)n的展开型,转化为(a+b)+c]n二项展开求解,但注意a,b,c的结合或用展开的方式借助组合知识求解. ‎ 考点二:二项式的展开式系数和问题 例2:(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=________.‎ 考点释疑:(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.‎ ‎(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.   ‎ 考点三:条件概率 例3:(1)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ‎ . ‎ ‎(2)如图,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,‎ 则①P(A)=________;②P(B|A)=________.‎ 考点释疑:条件概率的求法:‎ ‎①利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=.这是通用的求条件概率的方法.‎ ‎②借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数,即n(AB),得P(B|A)=.     ‎ 考点四:相互独立事件同时发生的概率 ‎ 例4:甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.8,计算:‎ ‎(1)两人都击中目标的概率;‎ ‎(2)其中恰有一人击中目标的概率;‎ ‎(3)至少有一人击中目标的概率.‎ 考点释疑:(1)正确分析所求事件的构成,将其转化为几个彼此互斥事件的和或相互独立事件的积,然后利用相关公式进行计算.(2)注意根据问题情境正确判断事件的独立性.(3)在应用相互独立事件的概率公式时,对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”的情况,可结合对立事件的概率求解.‎ 考点五:离散型随机变量分布列的性质及应用 ‎ 例5:(1)随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(