高考数学一轮复习教学案基础知识高频考点解题训练变化率与导数导数的计算含解析 11页

第十一节变化率与导数、导数的计算 ‎[知识能否忆起]‎ 一、导数的概念 ‎1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 ‎(1)定义：‎ 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.‎ ‎(2)几何意义：‎ 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎2．函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．‎ 二、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xn(n∈Q*)‎ f′(x)＝nxn－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 三、导数的运算法则 ‎1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎3.′＝(g(x)≠0)．‎ ‎(理)4.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ ‎[小题能否全取]‎ ‎1．(教材习题改编)若f(x)＝xex，则f′(1)＝(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　B．e C．2e D．e2‎ 解析：选C　∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.‎ ‎2．曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为(　　)‎ A．2 B．－2‎ C.D．－ 解析：选A　依题意得y′＝1＋ln x，y′x＝e＝1＋ln e＝2，所以－×2＝－1，a＝2.‎ ‎3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝‎10 m/s2)，则当t＝2 s时，它的加速度是(　　)‎ A．‎14 m/s2B．‎4 m/s2‎ C．‎10 m/s2D．－‎4 m/s2‎ 解析：选A　由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．‎ ‎4．(2012·广东高考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．‎ 解析：∵y′＝3x2－1，∴y′x＝1＝3×12－1＝2.‎ ‎∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.‎ 答案：2x－y＋1＝0‎ ‎5．函数y＝xcos x－sin x的导数为________．‎ 解析：y′＝(xcos x)′－(sin x)′‎ ‎＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x ‎＝cos x－xsin x－cos x ‎＝－xsin x.‎ 答案：－xsin x ‎1.函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．‎ ‎2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系 ‎(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．‎ ‎(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．‎ 利用导数的定义求函数的导数 典题导入 ‎[例1]用定义法求下列函数的导数．‎ ‎(1)y＝x2；　(2)y＝.‎ ‎[自主解答](1)因为＝ ‎＝ ‎＝＝2x＋Δx，‎ 所以y′＝＝ (2x＋Δx)＝2x.‎ ‎(2)因为Δy＝－＝－，‎ ＝－4·，‎ 所以＝＝－.‎ 由题悟法 根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤 ‎(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；‎ ‎(2)求平均变化率＝；‎ ‎(3)计算导数f′(x0)＝li.‎ 以题试法 ‎1．一质点运动的方程为s＝8－3t2.‎ ‎(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；‎ ‎(2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)．‎ 解：(1)∵s＝8－3t2，‎ ‎∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2，‎ ＝＝－6－3Δt.‎ ‎(2)法一(定义法)：质点在t＝1时的瞬时速度 v＝li＝li (－6－3Δt)＝－6.‎ 法二(导数公式法)：质点在t时刻的瞬时速度 v＝s′(t)＝(8－3t2)′＝－6t.‎ 当t＝1时，v＝－6×1＝－6.‎ 导数的运算 典题导入 ‎[例2]求下列函数的导数．‎ ‎(1)y＝x2sin x；(2)y＝；‎ ‎[自主解答](1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.‎ ‎(2)y′＝ ‎＝＝.‎ 则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，‎ 即y′＝.‎ 由题悟法 求导时应注意：‎ ‎(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．‎ ‎(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．‎ 以题试法 ‎2．求下列函数的导数．‎ ‎(1)y＝ex·ln x；(2)y＝x；‎ 解：(1)y′＝(ex·ln x)′‎ ‎＝exln x＋ex·＝ex.‎ ‎(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.‎ 导数的几何意义 典题导入 ‎[例3](1)(2011·山东高考)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)‎ A．－9　　　　　　　　　B．－3‎ C．9 D．15‎ ‎(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　)‎ A．－B．2‎ C．4 D．－ ‎[自主解答](1)y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.‎ ‎(2)∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝k＝2.‎ 又f′(x)＝g′(x)＋2x，‎ ‎∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4.‎ ‎[答案](1)C　(2)C 若例3(1)变为：曲线y＝x3＋11，求过点P(0,13)且与曲线相切的直线方程．‎ 解：因点P不在曲线上，设切点的坐标为(x0，y0)，‎ 由y＝x3＋11，得y′＝3x2，‎ ‎∴k＝y′|x＝x0＝3x.‎ 又∵k＝，∴＝3x.‎ ‎∴x＝－1，即x0＝－1.‎ ‎∴k＝3，y0＝10.‎ ‎∴所求切线方程为y－10＝3(x＋1)，‎ 即3x－y＋13＝0.‎ 由题悟法 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：‎ ‎(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；‎ ‎(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；‎ ‎(3)已知切线过某点M(x1，f(x1))(不是切点)求切点，设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝＝f′(x0)求解．‎ 以题试法 ‎3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．‎ ‎(2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y＝x＋b与曲线y＝－x＋ln x相切，则b的值为(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．－D．1‎ 解析：(1)y′＝3ln x＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.‎ ‎(2)设切点的坐标为，依题意，对于曲线y＝－x＋ln x，有y′＝－＋，所以－＋＝，得a＝1.又切点 在直线y＝x＋b上，故－＝＋b，得b＝－1.‎ 答案：(1)y＝4x－3　(2)B ‎1．函数f(x)＝(x＋‎2a)(x－a)2的导数为(　　)‎ A．2(x2－a2)　　　　　　　B．2(x2＋a2)‎ C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)‎ 解析：选C　f′(x)＝(x－a)2＋(x＋‎2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．‎ ‎2．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为(　　)‎ A.B. C.D. 解析：选D　∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.‎ ‎3． (2012·哈尔滨模拟)已知a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数f′(x ‎)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为(　　)‎ A．y＝－3xB．y＝－2x C．y＝3xD．y＝2x 解析：选B　∵f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x，‎ ‎∴f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2.‎ ‎∵f′(x)为偶函数，∴a＝0.‎ ‎∴f′(x)＝3x2－2.∴f′(0)＝－2.‎ ‎∴曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x.‎ ‎4．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于(　　)‎ A．－1 B. C．－2 D．2‎ 解析：选A　∵y′＝＝，∴y′|x＝＝－1.由条件知＝－1，∴a＝－1.‎ ‎5．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　)‎ A．1 B. C.D. 解析：选B　设P(x0，y0)到直线y＝x－2的距离最小，则y′|x＝x0＝2x0－＝1.‎ 得x0＝1或x0＝－(舍)．‎ ‎∴P点坐标(1,1)．‎ ‎∴P到直线y＝x－2距离为d＝＝.‎ ‎6．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足(　　)‎ A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0‎ C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数 解析：选C　由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，‎ 即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．‎ ‎7．(2013·郑州模拟)已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.‎ 解析：∵f′(x)＝－‎2f′(－1)x＋3，‎ f′(－1)＝－1＋‎2f′(－1)＋3，‎ ‎∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.‎ 答案：8‎ ‎8．(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．‎ 解析：易知抛物线y＝x2上的点P(4,8)，Q(－2,2)，且y′＝x，则过点P的切线方程为y＝4x－8，过点Q的切线方程为y＝－2x－2，联立两个方程解得交点A(1，－4)，所以点A的纵坐标是－4.‎ 答案：－4‎ ‎9．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f(x)＝x－sin x－cos x的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，则tan x0＝________.‎ 解析：由f(x)＝x－sin x－cos x得f′(x)＝－cos x＋sin x，‎ 则k＝f′(x0)＝－cos x0＋sin x0＝1，‎ 即sin x0－cos x0＝1，即sin＝1.‎ 所以x0－＝2kπ＋，k∈Z，解得x0＝2kπ＋，k∈Z.‎ 故tan x0＝tan＝tan＝－.‎ 答案：－ ‎10．求下列函数的导数．‎ ‎(1)y＝x·tan x；‎ ‎(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；‎ 解：(1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′‎ ‎＝tan x＋x·′＝tan x＋x· ‎＝tan x＋.‎ ‎(2)y′＝(x＋1)′(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)[(x＋2)(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.‎ ‎11．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．‎ 解：根据题意有 曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，‎ 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a.‎ 所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.‎ 曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，‎ 得：y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.‎ 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)．‎ 得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，‎ 所以，两条切线不是同一条直线．‎ ‎12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1，当曲线y＝f(x)斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行时，求a的值．‎ 解：f′(x)＝3x2＋2ax－9＝32－9－，即当x＝－时，函数f′(x)取得最小值－9－，因斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，‎ 即该切线的斜率为－12，所以－9－＝－12，‎ 即a2＝9，即a＝±3.‎ ‎1．(2012·商丘二模)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝(　　)‎ A．0 B．26‎ C．29D．212‎ 解析：选D　∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，‎ ‎∴f′(x)＝x′(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)…(x－a8)]′‎ ‎＝(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)…(x－a8)]′，‎ ‎∴f′(0)＝(－a1)·(－a2)·…·(－a8)＋0＝a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.‎ ‎2．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 012＝________.‎ 解析：f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，‎ f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，‎ f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，‎ 以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，‎ 又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，‎ ‎∴f1＋f2＋…＋f2 012＝‎503f1＋f2＋f3＋f4＝0.‎ 答案：0‎ ‎3．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l，根据以下条件求l的方程．‎ ‎(1)直线l和y＝f(x)相切且以P为切点；‎ ‎(2)直线l和y＝f(x)相切且切点异于P.‎ 解：(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，‎ 故所求的直线方程为y＝－2.‎ ‎(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－3.‎ 又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，‎ 故其斜率可表示为＝，‎ 所以＝3x－3，‎ 即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)．‎ 解得x0＝1(舍去)或x0＝－，‎ 故所求直线的斜率为k＝3＝－.‎ 所以l的方程为y－(－2)＝－(x－1)，‎ 即9x＋4y－1＝0.‎ 设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．‎ 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，则解得故f(x)＝x－.‎ ‎(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝·(x－x0)，即y－＝(x－x0)．‎ 令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.‎ 令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．‎ 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.‎ 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.‎