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2019 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 2 文科数学 考试时间：2019 年 6 月 7 日 15：00——17：00 使用省份：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、重庆、海南 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分,满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上 答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷 （选择题，共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合 ， ，则 A∩B= A．(–1，+∞) B．(–∞，2) C．(–1，2) D． 2．设 z=i(2+i)，则 = A．1+2i B．–1+2i C．1–2i D．–1–2i 3．已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|= A． B．2 ={ | 1}A x x > − { | 2}B x x= < ∅ z 2 C．5 D．50 4．生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只 测量过该指标的概率为 A． B． C． D． 5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 6．设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)= ，则当 x<0 时，f(x)= A． B． C． D． 7．设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是 A．α 内有无数条直线与 β 平行 B．α 内有两条相交直线与 β 平行 C．α，β 平行于同一条直线 D．α，β 垂直于同一平面 8．若 x1= ，x2= 是函数 f(x)= ( >0)两个相邻的极值点，则 = A．2 B． 2 5 e 1x− − e 1x−− − 2 2 3 3 5 1 5 e 1x − e 1x− + e 1x−− + 4 π 4 3π sin xω ω ω 3 2 C．1 D． 9．若抛物线 y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p= A．2 B．3 C．4 D．8 10．曲线 y=2sinx+cosx 在点(π，–1)处的切线方程为 A． B． C． D． 11．已知 a∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则 sinα= A． B． C． D． 12．设 F 为双曲线 C： （a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与 圆 x2+y2=a2 交于 P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为 A． B． C．2 D． 第Ⅱ卷 （非选择题，共 90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．若变量 x，y 满足约束条件 则 z=3x–y 的最大值是___________. 3 3 1 2 2 2 13 x y p p + = 1 0x y− − π − = 2 2 1 0x y− − π − = 2 2 1 0x y+ − π + = 1 0x y+ − π + = π 2 1 5 5 5 2 5 5 2 2 2 2 1x y a b − = 2 3 5 2 3 6 0 3 0 2 0 x y x y y    + − ≥ + − ≤ − ≤ ， ， ， 14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率 的估计值为___________. 15． 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsinA+acosB=0，则 B=___________. 16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但 南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边 形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点 都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为 _________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 的体积． ABC△ 1 1E BB C C− 18．（12 分） 已知 是各项均为正数的等比数列， . （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 n 项和. 19．（12 分） 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度 相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表. 的分组 企业数 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表）.（精确到 0.01） 附： . { }na 1 3 22, 2 16a a a= = + { }na 2logn nb a= { }nb y [ 0.20,0)− [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80) 74 8.602≈ 20．（12 分） 已知 是椭圆 的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原点． （1）若 为等边三角形，求 C 的离心率； （2)如果存在点 P，使得 ，且 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围. 21.（12 分） 已知函数 .证明： （1） 存在唯一的极值点； （2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 1 2,F F 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2POF△ 1 2PF PF⊥ 1 2F PF△ ( ) ( 1)ln 1f x x x x= − − − ( )f x ( )=0f x （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在极坐标系中，O 为极点，点 在曲线 上，直线 l 过点 且与 垂直，垂足为 P. （1）当 时，求 及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 时， ，求 的取值范围. 0 0 0( , )( 0)M ρ θ ρ > : 4sinC ρ θ= (4,0)A OM 0 = 3 θ π 0 ρ ( ) | | | 2 | ( ).f x x a x x x a= − + − − 1a = ( ) 0f x < ( ,1)x∈ −∞ ( ) 0f x < a 2019年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2文科数学·参考答案 1．C 2．D 3．A 4．B 5．A 6．D 7．B 8．A 9．D 10．C 11．B 12．A 13．9 14．0.98 15． 16． 17．解：（1）由已知得 B1C1⊥平面 ABB1A1，BE 平面 ABB1A1， 故 . 又 ，所以 BE⊥平面 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ∠ BEB1=90°. 由 题 设 知 Rt△ABE ≌ Rt△A1B1E ， 所 以 ， 故 AE=AB=3， . 作 ，垂足为 F，则 EF⊥平面 ，且 . 所以，四棱锥 的体积 . 18．解：（1）设 的公比为q，由题设得 ，即 . 解得 （舍去）或q=4. 3π 4 2 1− ⊂ 1 1B C BE⊥ 1BE EC⊥ 1 1EB C 1 1 45AEB A EB °∠ = ∠ = 1 2 6AA AE= = 1EF BB⊥ 1 1BB C C 3EF AB= = 1 1E BB C C− 1 3 6 3 183V = × × × = { }na 22 4 16q q= + 2 2 8 0q q− − = 2q = − 因此 的通项公式为 . （2）由（1）得 ，因此数列 的前n项和为 . 19.解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为 . 产值负增长的企业频率为 . 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企 业比例为2%. （2） ， ， ， 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%. 20.解：（1）连结 ，由 为等边三角形可知在 中， ， ， ，于是 ，故 的离心率是 . （ 2 ） 由 题 意 可 知 ， 满 足 条 件 的 点 存 在 当 且 仅 当 ， ， ，即 ，① ，② ，③ { }na 1 2 12 4 2n n na − −= × = 2(2 1)log 2 2 1nb n n= − = − { }nb 1 3 2 1n n+ + + − = 14 7 0.21100 + = 2 0.02100 = 1 ( 0.10 2 0.10 24 0.30 53 0.50 14 0.70 7) 0.30100y = − × + × + × + × + × = ( )5 22 1 1 100 i i i s n y y = = −∑ 2 2 2 2 21 ( 0.40) 2 ( 0.20) 24 0 53 0.20 14 0.40 7100  = − × + − × + × + × + ×  =0.0296 0.0296 0.02 74 0.17s = = × ≈ 1PF 2POF△ 1 2F PF△ 1 2 90F PF∠ = ° 2PF c= 1 3PF c= 1 22 ( 3 1)a PF PF c= + = + C 3 1ce a = = − ( , )P x y 1 | | 2 162 y c⋅ = 1y y x c x c ⋅ = −+ − 2 2 2 2 1x y a b + = | | 16c y = 2 2 2x y c+ = 2 2 2 2 1x y a b + = 由②③及 得 ，又由①知 ，故 . 由②③得 ，所以 ，从而 故 . 当 ， 时，存在满足条件的点P. 所以 ， 的取值范围为 . 21.解：（1） 的定义域为（0，+ ）. . 因为 单调递增， 单调递减，所以 单调递增，又 ， ，故存在唯一 ，使得 . 又当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增. 因此， 存在唯一的极值点. （2）由（1）知 ，又 ，所以 在 内存在唯一根 . 由 得 . 又 ，故 是 在 的唯一根. 综上， 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 22．解：（1）因为 在C上，当 时， . 2 2 2a b c= + 4 2 2 by c = 2 2 2 16y c = 4b = ( )2 2 2 2 2 ax c bc = − 2 2c b≥ 2 2 2 22 32,a b c b= + ≥ = 4 2a ≥ 4b = 4 2a ≥ 4b = a [4 2, )+∞ ( )f x ∞ 1 1( ) ln 1 lnxf x x xx x −′ = + − = − lny x= 1y x = ( )f x′ (1) 1 0f ′ = − < 1 ln 4 1(2) ln 2 02 2f −′ = − = > 0 (1,2)x ∈ ( )0 0f x′ = 0x x< ( ) 0f x′ < ( )f x 0x x> ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x ( )0 (1) 2f x f< = − ( )2 2e e 3 0f = − > ( ) 0f x = ( )0 ,x +∞ x α= 0 1xα > > 0 1 1 xα < < 1 1 1 1 ( )1 ln 1 0ff α α α α α α    = − − − = =       1 α ( ) 0f x = ( )00, x ( ) 0f x = ( )0 0,M ρ θ 0 3 θ π= 0 4sin 2 33 ρ π= = 由已知得 . 设 为l上除P的任意一点.在 中 ， 经检验，点 在曲线 上. 所以，l的极坐标方程为 . （2）设 ，在 中， 即 .. 因为P在线段OM上，且 ，故 的取值范围是 . 所以，P点轨迹的极坐标方程为 . 23．解：（1）当 a=1 时， . 当 时， ；当 时， . 所以，不等式 的解集为 . （2）因为 ，所以 . 当 ， 时， . 所以， 的取值范围是 . | | | | cos 23OP OA π= = ( , )Q ρ θ Rt OPQ△ cos | | 23 OPρ θ π − = =   (2, )3P π cos 23 ρ θ π − =   cos 23 ρ θ π − =   ( , )P ρ θ Rt OAP△ | | | | cos 4cos ,OP OA θ θ= = 4cosρ θ= AP OM⊥ θ ,4 2 π π     4cos , ,4 2 ρ θ θ π = ∈   π ( )=| 1| +| 2|( 1)f x x x x x− − − 1x < 2( ) 2( 1) 0f x x= − − < 1x ≥ ( ) 0f x ≥ ( ) 0f x < ( ,1)−∞ ( )=0f a 1a ≥ 1a ≥ ( ,1)x∈ −∞ ( )=( ) +(2 )( )=2( )( 1)<0f x a x x x x a a x x− − − − − a [1, )+∞